定积分定义

定积分
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众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。

目录

积分的分类不定积分
定积分
定积分的定义
黎曼积分
定积分的分点问题
微积分基本定理积分的分类 不定积分
定积分
定积分的定义
黎曼积分
定积分的分点问题
微积分基本定理
展开 编辑本段积分的分类
不定积分是一个函数，定积分是一个数值。求一个函数的原函数 定积分的几何意义
，叫做求它的不定积分；把上下限代入不定积分，求出来的数值，叫做定积分。
不定积分
就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。这也就是说如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分
定积分就是求函数F(X)在区间（a,b）中图线下包围 定积分
的面积。即 定积分
y=0 x=a x=b y=F(X)所包围的面积。这个图形称为曲边梯形， 定积分
特例是曲边三角形 定积分
定积分
。
编辑本段定积分的定义
设一元函数y=f(x) ,在区间（a,b）内有定义。将区间（a,b）分成n个 定积分
小区 定积分
间 (a,x0) (x0,x1)(x1,x2) .....(xi,b) 。设 △xi=xi－x(i-1)，取区间△xi中曲线上任意一点记做f（ξi），做和式： 和式
若记λ为这些小区间中的最长者。当λ → 0时，若此和式的极限 定积分
存在， 定积分
则称这个和式是函数f(x) 在区间(a,b)上的定积分。 记做：∫ _a^b (f(x)dx) （a在∫下方，b在∫上方） 其中称a为积分下限，b为积分上限， f(x) 为被积函数，f(x)dx 为被积式，∫ 为积分号。 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的 定积分
值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。
编辑本段黎曼积分
定积分的正式名称是黎曼积分，详见黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。 我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？
编辑本段定积分的分点问题
定积

分是把函数在某个区间上的图像[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1),那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值. 利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k（k∈Q，k≠-1），有∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。 我们选择等比级数来分点，令公比q=n^√(b/a),则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b,因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk,且Δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j那么“ 定积分
矩形面积和” Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)] 提出a^k*(aq-a),则 Sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)] 利用等比级数公式，得到 Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/N 其中N=(q^(k+1)-1)/(q-1),设k=u/v(u,v∈Z),令q^(1/v)=s,则 N=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/(( 定积分
s^v-1)/(s-1)) 令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为(u+v)/v=u/v+1=k+1. 于是∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。
编辑本段微积分基本定理
定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 若F’(x)=f(x) 那么∫ _a^b(f(x) dx ) = F(b)-F(a) 牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就 定积分
是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。 正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
扩展阅读：
1
/view/61339.htm
2
/view/3139.htm