1.5.1曲边梯形的面积(教学用)

第三步：求和。 第四步：取极限。
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为： 分割→近似代替→求和→取极限 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
例．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正 比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量）， 求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力 的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
小结
1、求曲边梯形的面积 2、求变力做功
分割—近视代替—求和—取极限
作业：优化设计
y
y
y x2
y
y x2
y x2
y x2

o
1x o 1x o
1x
o
1x
图1.5 5
4取极限 分别将区间0, 1等分成4, 8,, 20, 等份 图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即x趋向
于0时,S n 1 3 1 1 1 n 1 2n 趋向于S ,从而有 n 1 i 1 1 1 1 1 lim f lim 1 1 . n n 3 n 2n 3 i 1 n n
y
可以发现，图1.5—2中的曲边梯形 与“直边图形”的主要区别是：前者 有一边是曲线段，而“直边图形”的 所有边都是直线段。
y x2
S
o
1
x
图1.5 2
在过去的学习中，我们曾经用多边形逼 近圆的方法，利用多边形面积求出圆的面积。 这种“以直代曲”的思想启发我们，是否也 能用直边形（比如矩形）逼近曲边梯形的方 法，求图1.5—2中阴影部分面积呢？
y
y x2
3求和
n
由2,图1.5 4中阴影部分的面积 Sn 为
n n 2 ' i
i 1 i 1 1 Sn ΔS f Δx n i1 i1 n i1 n
1 x
o
放 大
i 1 i n n
图1.5 3
如不加说明，下面研究的都是连续的函数。
新课探究
y
f b f a
y f x
o
a
图1.5 1
b
x
图1.5—1中，阴影部分类似于一个梯形，但有一边 是曲线y=f(x)的一段，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，如何计算这 个曲边梯形的面积呢？
在区间 0,1 上间 2 y x 隔地插入 n 1个点, 将它等 分成 n个小区间 : 1 1 2 n 1 i o 0, n , n , n , , n ,1 , 1 x n 图1.5 3 i 1 i 记第 i个区间为 , i 1 ,2, , n, 其长度为 n n i i 1 1 分别过上述 n 1个点作 x轴的 Δx . n n n 垂线, 把曲边梯形分成 n个小曲边梯形 图1.5 3 ,
y
n
一般地，对如图1.5—1所示 的曲边梯形，我们也可以采用 分割—近似代替—求和—取极限 的方法求出其面积。
f b f a
y f x
o
a
图1.5 1
b
x
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似代替 小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．
课题引入
在过去的学习中，我们已经知道正方形、三角 形、平行四边形、梯形等平面“直边图形”的面积； 物理中，我们知道了匀速直线运动的时间、速度与 路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会 遇到计算平面曲线围成的平面“曲边图形”的面积、 变速直线运动物体位移、变力做功的问题。如何解 决这些问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为 求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知 识解决变速直线运动的问题？为此，我们需要学习 新的数学知识—定积分。
S lim S n
n
我们通过下表还可以从数值上看出这一变化趋势.
区间0,1的等分数n来自百度文库2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的近似值Sn 0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741
下面先研究一个特殊情形 : 如何求抛物线y x 阴影部分)的面积S ?
2
与直线x 1, y 0所围所的平面图形(图1.5 2中
y
y x2
S
o
图1.5 2
1
x
思考？图1.5—2中的曲边梯形与我们熟悉的
“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这 个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形” 面积问题？
y
yx
2
1 1 1 n 1 1 0 n n n n n 1 2 2 2 3 1 2 n 1 n
2
2
可以证明 1 2 n 1
2 2 2



n 1n 2n 1 .
6
1 1 n 1n2n 1 1 1 1 1 . 3 3 n 2n n 6
1
o
i 1 i n n
x
图1.5 4
1 1 1 从而可得 S的近似值 S Sn 1 1 . 3 n 2n
y
1分割
y
i 1 n
它们的面积记作 Δs1, ΔS2 , , ΔSn .显然, S ΔSi .
i1
n
y
y x2
o
i 1 i n n
1 x
图1.5 3
y
y x2
o
放 大
i 1 i n n
1 x
图1.5 3
y
y x2
o
i 1 i n n
1
x
图1.5 4
n 1 n 1 2
kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
kb 2 n(n 1) kb 2 1 2 (1 ) n 2 2 n
2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.
a4
a3 an
a1
a2
如图1.5 3, 把区间 0,1 分成 许多小区间 , 进而把曲边梯形 拆分为一些小曲边梯形 .对每 一个小曲边梯形 " 以直代曲 " 即用矩形 的面积 近似 代 替 小 曲边梯形的面积 , 得到每个小
y
y x2
o
i 1 i n n
1 x
图1.5 3
曲边梯形面积的近似值 .可以想象 ,随着拆分越来越 细, 近似程度就会越来越好 . 也即 : 用化归为计算矩 形面积和逼近的思想方 法求出曲边梯形的面积 .我 们通过下面步骤来具体 实施这种方法 .
探究？ 探究 在 " 近似代替" 中,如果认为函数 f x
x2 在
i 1 i 区间 , i 1, 2, ,n 上的值近似地等于右端 点 n n i i 处的函数值 f ,用这种方法能求出 S 的值吗 ? n n i 1 i 1 若能求出 ,这个值也是 吗 ? 取任意i , 处 3 n n
的函数值f i 作为近似值,情况又怎样 ?
i 1 i 可以证明, 取f x x 在区间 , 上任意一 n n 点ξ i处的值 f ξ i 作近似值 , 都有
2
1 1 S lim f ξ i Δx lim f ξ i . n n n 3 i1
b 将[0，b] n等分，记△x= n ， 2b b 分点依次为x0=0，x1= ，x2= n ,„„， n (n 1)b
xn－1=
n
，xn=b，
当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用的力约
b 为kxi，所做的功△W≈kxi· △x= kxi n
则从0到b所做的总功W近似地等于
ib b kb Wi k 2 [0 1 2 (n 1)] n n n i 0 i 0