空间直线的方向向量及平面的法向量ppt课件
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.
1
空间直线的方向向量和平面的法向量
1 、 空 间 直 线 的 方 向 向 量 u r
与 直 线 l平 行 的 非 z 零 向 量 d
D1 A1
例 ： 直 线 A 1 C 的 方 向 向 量
C1
B1
A 1 (1,0,1)
C (0,1,0)
O D A
y
C ur B d (1,1,1)
x
.
2
z
2、 平 面 的 法 向 量
m 2
n
2
O D
r
A uuur
B
设 u E nu F u r,(n r2的 ,2夹 ,1角 ) 为 E( 4, 2co, 8s)Fx (u0uEuu,uFur0r ,4nrr)
EF(4,2,4) 8
| E F || n | 9
设 直 线 E F 和 平 面 A 1 B C 1 所 成 角 为 sin| cos |
A
B
r uuur r uuur
nBE r
nBF
x
设 n(m,n,k)
2n4k0
r 令k 1 m4 n 2 n (4, 2,1)
m4k0
.
3
三个基础命题
基础命题1 两 条 直 线 平 行 或 重 合 它 们 的 方 向 向 量 互 相 平 行 基础命题2 一 条 直 线 与 一 个 平 面 平 行 或 在 一 个 平 面 内 这 条 直 线 的 方 向 向 量 垂 直 于 该 平 面 的 法 向 量 基础命题3 两 个 平 面 平 行 或 重 合 它 们 的 法 向 量 互 相 平 行 .
C1 B1
y
C B
8
7 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
分 别 为 A 1 B 1 ,D D 1 的 中 点 ， 求 ： 点 B 1 到 平 面 A 1 B zC 1 的 距 离 .
r
所 在 直 线 和 平 面 垂 直 的 向 量 n D1
C1
已知：正方体ABCDA1B1C1D1 A1
E
F B1
的边长为4,E是中点，F是四分 r
点，求平面BEF的法向量n.
B (4, 4,0) E (4, 2, 4) F (3, 4, 4)
uuur BE(0, 2, 4)
O
o'
D
y
C
uuur
BF (1,0,4)
O
4n8k0令 k 1 4m8k0
m 2
n
2
A
D
r
u r
设 n rn,n u r1 的 (2夹 ,2,角 1)为 平 面 B cC oC s1 的 法 x| nrn向 r || n量 unur1r1 为 | n 231 (0,1,0)
二 面 角 A 1 B C C 的 大 小 为 a r c c o s. 23
A 1 (4,0,8) B (4,4,0) C 1 (0,4,8)
D1
uuur
uuuur
A1B (0,4,8) B C1 (4,0,8)
A1
E
B1
r
设 平 r 面 uA u1 uB rC 1 r的 法 uu向 uur量 为 rn .
F
nA1B n BC1 设 n(m,n,k)
4n8k0令 k 1 4m8k0
直 线 E F 和 平 面 A 1 B C 1 所 成 角 为 a r c s.i n 98
8 9
C1
y
C
7
6 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
分 别 为 A 1 B 1 ,D D 1 的 中 点 ， 求 ： 二 面 角 A 1 B C 1 z C 的 大 小 .
的 解 ： 如 图 ， 中 建 立 空 :平 间 直 点 D 角 坐 标 面 系 A 平 ， .A E 1 D 1 面 求 F z 证
则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),
D1
C1
B(4,4,0),D1(0,0,4),A1(4,0,4), A1
E
B1
C1(0,4,4),B1(4,4,4)
同理可得平 A1D面 1F的一个法向量 n为 1•n2 0n1 n2
n2 (0,2,1),,
.
平 面 ADE 平 面 A1D 6 1F
5 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
分 解 ：别 如 为 图 A 1 ， B 1 建 ,D 立 D 1 的 空 中 间 点 直 ， 角 求 坐 ： 标 直 系 线 .E F 和 平 面 zA 1 B C 1 所 成 角 的 大 小 .
.
4
例：在 A直 B A 1 C B 1 三 C 1 中 棱 A ， C 柱 9B ,0 A C B,C
M ,N 分别 C 1A ,B 是 1 的 B 中
解 ： 如 图 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
点 :M/， N 平 / A 求 面 B证 C
z
设 A C 2 a ,C1 C 2 c , 则C(0,0,0), A(2a,0,0),
解 ： 如 图 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
D1
A 1 (4,0,8) B (4,4,0) C 1 (0,4,8)
uuur
uuuur
A1B (0,4,8) B C1 (4,0,8)
A1
r
设 平 r 面 uA u1 uB rC 1 r的 法 uu向 uur量 为 rn .
nA1B n BC1 设 n(m,n,k)
wk.baidu.com
F
E (4 ,4 ,2)F ,(0 ,2 ,0),
E
设平面ADE的一个法向量为 O D
F
n1 (x, y, z),,
y
C
D A (4,0,0)D , E (4,4,2) A
B
n 1•D A n 1•D E 0 x 4 x 4 4 x y 2 0 z 0 令 y 1 , n 1(0 , 1 ,2 )
C1
L
M
A1
B(0,2a,0),C1(0,0,2c),
A1(2a,0,2c),B1(0,2a,2c)
M
M(a,0,c),N(0,2a,c), MN(a,2a,0)
O
C
N
A
易知平 A面 B的 C 一个法向 n量 (0,0,为 1)
x
M•N n0 M/N /平A 面 BC
.
B1
N
y
B
5
例 ： A在 B A 1 B C 1 C 正 1 D 1 中 DA 方 ， 4 B ,E ,体 F 分B 别 1 ,C BD 是
1
空间直线的方向向量和平面的法向量
1 、 空 间 直 线 的 方 向 向 量 u r
与 直 线 l平 行 的 非 z 零 向 量 d
D1 A1
例 ： 直 线 A 1 C 的 方 向 向 量
C1
B1
A 1 (1,0,1)
C (0,1,0)
O D A
y
C ur B d (1,1,1)
x
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2
z
2、 平 面 的 法 向 量
m 2
n
2
O D
r
A uuur
B
设 u E nu F u r,(n r2的 ,2夹 ,1角 ) 为 E( 4, 2co, 8s)Fx (u0uEuu,uFur0r ,4nrr)
EF(4,2,4) 8
| E F || n | 9
设 直 线 E F 和 平 面 A 1 B C 1 所 成 角 为 sin| cos |
A
B
r uuur r uuur
nBE r
nBF
x
设 n(m,n,k)
2n4k0
r 令k 1 m4 n 2 n (4, 2,1)
m4k0
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三个基础命题
基础命题1 两 条 直 线 平 行 或 重 合 它 们 的 方 向 向 量 互 相 平 行 基础命题2 一 条 直 线 与 一 个 平 面 平 行 或 在 一 个 平 面 内 这 条 直 线 的 方 向 向 量 垂 直 于 该 平 面 的 法 向 量 基础命题3 两 个 平 面 平 行 或 重 合 它 们 的 法 向 量 互 相 平 行 .
C1 B1
y
C B
8
7 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
分 别 为 A 1 B 1 ,D D 1 的 中 点 ， 求 ： 点 B 1 到 平 面 A 1 B zC 1 的 距 离 .
r
所 在 直 线 和 平 面 垂 直 的 向 量 n D1
C1
已知：正方体ABCDA1B1C1D1 A1
E
F B1
的边长为4,E是中点，F是四分 r
点，求平面BEF的法向量n.
B (4, 4,0) E (4, 2, 4) F (3, 4, 4)
uuur BE(0, 2, 4)
O
o'
D
y
C
uuur
BF (1,0,4)
O
4n8k0令 k 1 4m8k0
m 2
n
2
A
D
r
u r
设 n rn,n u r1 的 (2夹 ,2,角 1)为 平 面 B cC oC s1 的 法 x| nrn向 r || n量 unur1r1 为 | n 231 (0,1,0)
二 面 角 A 1 B C C 的 大 小 为 a r c c o s. 23
A 1 (4,0,8) B (4,4,0) C 1 (0,4,8)
D1
uuur
uuuur
A1B (0,4,8) B C1 (4,0,8)
A1
E
B1
r
设 平 r 面 uA u1 uB rC 1 r的 法 uu向 uur量 为 rn .
F
nA1B n BC1 设 n(m,n,k)
4n8k0令 k 1 4m8k0
直 线 E F 和 平 面 A 1 B C 1 所 成 角 为 a r c s.i n 98
8 9
C1
y
C
7
6 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
分 别 为 A 1 B 1 ,D D 1 的 中 点 ， 求 ： 二 面 角 A 1 B C 1 z C 的 大 小 .
的 解 ： 如 图 ， 中 建 立 空 :平 间 直 点 D 角 坐 标 面 系 A 平 ， .A E 1 D 1 面 求 F z 证
则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),
D1
C1
B(4,4,0),D1(0,0,4),A1(4,0,4), A1
E
B1
C1(0,4,4),B1(4,4,4)
同理可得平 A1D面 1F的一个法向量 n为 1•n2 0n1 n2
n2 (0,2,1),,
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平 面 ADE 平 面 A1D 6 1F
5 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
分 解 ：别 如 为 图 A 1 ， B 1 建 ,D 立 D 1 的 空 中 间 点 直 ， 角 求 坐 ： 标 直 系 线 .E F 和 平 面 zA 1 B C 1 所 成 角 的 大 小 .
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4
例：在 A直 B A 1 C B 1 三 C 1 中 棱 A ， C 柱 9B ,0 A C B,C
M ,N 分别 C 1A ,B 是 1 的 B 中
解 ： 如 图 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
点 :M/， N 平 / A 求 面 B证 C
z
设 A C 2 a ,C1 C 2 c , 则C(0,0,0), A(2a,0,0),
解 ： 如 图 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
D1
A 1 (4,0,8) B (4,4,0) C 1 (0,4,8)
uuur
uuuur
A1B (0,4,8) B C1 (4,0,8)
A1
r
设 平 r 面 uA u1 uB rC 1 r的 法 uu向 uur量 为 rn .
nA1B n BC1 设 n(m,n,k)
wk.baidu.com
F
E (4 ,4 ,2)F ,(0 ,2 ,0),
E
设平面ADE的一个法向量为 O D
F
n1 (x, y, z),,
y
C
D A (4,0,0)D , E (4,4,2) A
B
n 1•D A n 1•D E 0 x 4 x 4 4 x y 2 0 z 0 令 y 1 , n 1(0 , 1 ,2 )
C1
L
M
A1
B(0,2a,0),C1(0,0,2c),
A1(2a,0,2c),B1(0,2a,2c)
M
M(a,0,c),N(0,2a,c), MN(a,2a,0)
O
C
N
A
易知平 A面 B的 C 一个法向 n量 (0,0,为 1)
x
M•N n0 M/N /平A 面 BC
.
B1
N
y
B
5
例 ： A在 B A 1 B C 1 C 正 1 D 1 中 DA 方 ， 4 B ,E ,体 F 分B 别 1 ,C BD 是