12第十二章 动能定理

ω
r
O
11 2 2 1P 2 2 T= mr ω + rω 22 2g
1 P 2 2 = (m + 2 )r ω g 4
P
例
已知： 计算ຫໍສະໝຸດ Baidu滚不滑圆轮的动能。 已知：m、 r、 ω，计算只滚不滑圆轮的动能。
1 1 2 T = mvC + J Cω 2 2 2
ω
r
C I
1 2 2 1 1 2 2 = mr ω + ( mr )ω 2 2 2 3 2 2 = mr ω 4
卷扬机如图所示。 例 卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶矩作用下将圆柱体沿斜面 上拉。已知鼓轮的半径为R 质量为 质量为m 质量分布在轮缘上； 上拉 。 已知鼓轮的半径为 1,质量为 1 ， 质量分布在轮缘上 ； 圆柱体的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜面的倾角 圆柱体的半径为 质量为 质量均匀分布。 为θ，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱 ，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动， 体中心的速度与其路程之间的关系。 体中心的速度与其路程之间的关系。 取整体研究 解： 系统受到的约束是理想约束。 系统受到的约束是理想约束。 做功的主动力有M， 做功的主动力有 ， m2g。 。
z1
z2
对于质点系
∑W
12
= mg ( zC1 − zC 2 )
m为质点系总质量，zC为质点系质心的铅垂坐标。 为质点系总质量， 为质点系质心的铅垂坐标。
2、弹性力的功 、 弹性力： 弹性力： F
r2
= −k (r − l0 )r0
k——弹簧的刚性系数； 弹簧的刚性系数； 弹簧的刚性系数 l0——弹簧的原长。 弹簧的原长。 弹簧的原长
或
1 1 1 1 2 2 2 2 T = J I ω = ( J C + mr )ω = ( mr + mr 2 )ω 2 2 2 2 2 3 2 2 = mr ω 4
已知： 计算OA杆的动能 杆的动能。 例 已知：m、 l、 ω，计算 杆的动能。 O
ω
1 1 l 2 2 2 T = J Oω = ( J C + m( ) )ω 2 2 2 2 1 1 2 l = ( ml + m )ω 2 2 12 4 1 2 2 = ml ω 6
∑W = M ϕ − m g ⋅ sin θ ⋅ s
2
开始时动能为0， 时刻动能为 开始时动能为 ，t时刻动能为
1 1 1 2 2 2 T = J1ω1 + J Cω2 + m2 vC 2 2 2
1 2 J 1 = m R , J C = m2 R2 2
2 1 1
∑W = M ϕ − m g ⋅ sin θ ⋅ s
∑
i =1
n
n 1 2 d mi vi = ∑ δWi 2 i =1 n
即:
n
d[
∑
i =1
1 mi vi2 2
] = ∑ δWi
i =1
n
1 2 ∑ 2mi vi = T i =1
——质点系的动能 质点系的动能
即有: 即有:
dT = ∑ δWi
i =1
n
——微分形式 微分形式
dT = dt
∑ δW
i =1
n
i
dt
= ∑ Pi
——导数形式（功率方程） 导数形式（功率方程） 导数形式
2、积分形式质点系动能定理 、
T2 − T1 = ∑Wi
——积分形式 积分形式
质点系由起始位置运动到终了位置， 质点系由起始位置运动到终了位置，质点系动能的变化等 于作用在质点系上的所有力（主动力、约束力、内力、外力） 于作用在质点系上的所有力（主动力、约束力、内力、外力） 在此过程中所作功的代数和。 在此过程中所作功的代数和。 微分形式”一般用于理论推导； “微分形式”一般用于理论推导； 积分形式”常用来求速度、角速度、位移等； “积分形式”常用来求速度、角速度、位移等； 导数形式”常用来求加速度、角加速度等。 “导数形式”常用来求加速度、角加速度等。
vC = 2 ( M − m2 gR1 sin θ ) s R1 (2m1 + 3m2 )
如何求轮心的加速度a 如何求轮心的加速度 C ?
1 2 d mv = δW 2
两边积分得： 两边积分得：
F
1 2 1 2 mv2 − mv1 = W12 2 2
——积分形式的质点动能定理 积分形式的质点动能定理
即质点某个运动过程中, 即质点某个运动过程中, 动能的改变量等于作用在质 点上的力所作的功。 点上的力所作的功。
二、质点系动能定理： 质点系动能定理：
1、微分形式质点系动能定理 、 个质点， 设质点系有 n个质点，在其中任取一质点，据质点动能定理 个质点 在其中任取一质点，据质点动能定理:
1 d mi vi2 = δWi 2
对每个质点都可列出上面的方程式， 个方程相加有: 对每个质点都可列出上面的方程式，将n个方程相加有 个方程相加有
J C′ = J C + md 2
1 T = ( J C + md 2 )ω 2 2 1 1 2 = J Cω + md 2ω 2 2 2
1 2 1 2 T = mvC + J Cω 2 2
已知： 计算物体系统的动能。 例 已知：m、 r、 ω 、P，计算物体系统的动能。
1 1P 2 2 T = J Oω + v 2 2g
δW = Fss ⋅ dr = Fss ⋅ vdt = 0
?
5、内力的功 、 A F rAB F'
∑ δW = F ⋅ dr
A
+ F 9drB = F ⋅ drA − F ⋅ drB ⋅
rA rB O
B
= F ⋅ (drA − drB ) = F ⋅ d(rA − rB ) = F ⋅ drAB
A、B两点之间距离发生改变，则内力功之和不为零。 、 两点之间距离发生改变 则内力功之和不为零。 两点之间距离发生改变， 质点系内力的功之和一般不为零。 质点系内力的功之和一般不为零。
W =∫
M2
M1
FR ⋅ dr = ∑ ∫
M2
M1
Fi ⋅ dr = ∑ Wi
合力在质点任一路程中所作的功， 合力在质点任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中 所作的功的代数和。 所作的功的代数和。
四、常见力的功
1、重力的功 、
δW = Fx dx + Fy dy + Fz dz
W12 = ∫ − mgdz = mg ( z1 − z2 )
δW = F ⋅ dr δW dr 力的功率为： 力的功率为： P = = F ⋅ = F ⋅ v = Ft ⋅ v dt dt
力矩的元功为： 力矩的元功为： 力矩的功率为： 力矩的功率为：
δW = M z ⋅ dϕ δW dϕ P= = Mz ⋅ = M z ⋅ω dt dt
= 1J / s
1W 功率是代数量。 功率的单位：瓦特（ 功率是代数量。 功率的单位：瓦特（ W ）。
一、 常力在直线运动中的功
W = F cos θ ⋅ s = F ⋅ s
功是代数量 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m （焦耳）
二、变力在曲线运动中的功
力在无限小位移中力所做的功称为元功
δW = F ⋅ dr = F cos θ ds = Ft ds
δW = Fx dx + Fy dy + Fz dz
Ft R = M z ( F ) = M z
R
δW = M z dϕ
W12 = ∫ M z dϕ
ϕ1 ϕ2
4、摩擦力的功 、 相反， 负功； 摩擦力方向与其作用点的运动方向相反 摩擦力作负功 摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，摩擦力作负功； 摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。 摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。 相同 正功 摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。 摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。 作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功： 作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功： FT
1 2 mv 2
1 1 2 2 T = ∑ mi vi = ∑ mv 2 i =1 2
n
通常用字母T表示质点系动能。 通常用字母 表示质点系动能。 表示质点系动能 动能的单位：焦耳（ 动能的单位：焦耳（ J ）。
质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。 质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。 质点系的动能等于随质心平动的动能和相对质心运动的 动能之和。 动能之和。
2
1 1 1 2 2 2 T = J1ω1 + J Cω2 + m2 vC 2 2 2
1 2 J 1 = m R , J C = m2 R2 2
2 1 1
ω1 =
vC v s , ω2 = C , ϕ = R1 R2 R1
1 2 T = (2m1 + 3m2 )vC 4
T − T0 = ∑ W
1 M 2 (2m1 + 3m2 )vC − 0 = ( − m2 g ⋅ sin θ ) s 4 R1
r W12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ −k (r − l0 ) ⋅ dr r1 r d(r ⋅ r ) = dr ⋅ r + r ⋅ dr = 2r ⋅ dr
d(r ⋅ r ) dr 2 2rdr r ⋅ dr = = = = rdr 2 2 2
r0
W12 = ∫ − k ( r − l0 )dr
第十二章
§12-1 力的功 §12-2 动能
动能定理
§12-3 质点系动能定理 §12-4 势力场.势能 机械能守恒定律 势力场 势能.机械能守恒定律 势能 §12-5 普遍定理综合应用
§12-1 力的功
力的功的概念 力的功是力对物体的作用效应在路程上的累积。 力的功是力对物体的作用效应在路程上的累积。 路程上的累积
1 2 1 2 1 2 T = ∑ mi vi = mvC + ∑ mi vri 2 2 2
式中： 式中：
柯尼西定理
vri
1 2 mvC 2
质点M 质点 i相对于质心运动的速度 质点系随同质心平动的动能 质点系相对质心运动的动能
1 2 ∑ 2mi vri
三、刚体的动能 1．平动刚体的动能 ．
1 1 2 1 2 2 T = ∑ mi vi = v ∑ mi = mvC 2 2 2
dr ∆r
三、合力的功
个力作用，其合力矢F 设某质点上同时受 n 个力作用，其合力矢 R=ΣFi 。 合力在该质点的无限小的位移 dr上的元功为 上的元功为
δW = FR ⋅ dr = (∑ Fi ) ⋅ dr = ∑( Fi ⋅ dr ) = ∑ δWi
合力在从M 合力在从 1到M2的有限路程上所作的总功为
r1
r2
1 = k ( r1 − l0 ) 2 − ( r2 − l0 ) 2 2
1 W12 = k (δ12 − δ 22 ) δ 1 、δ 2——始、末位置弹簧的变形量。 始 末位置弹簧的变形量。 2
3、作用在定轴转动刚体上力的功 、
δW = F ⋅ dr = Ft ds = Ft Rdϕ
A
§12-3 质点与质点系动能定理 一、质点动能定理： 质点动能定理：
dv m = Ft dt dv m ⋅ ds = Ft ⋅ ds dt dt
F
mv ⋅ dv = Ft ⋅ ds
1 2 d mv = δW 2
——微分形式的质点动能定理 微分形式的质点动能定理
即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
五、理想约束
约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束。 约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束。 （1）光滑固定面 ） （2）光滑铰链或轴承约束 ） （3）刚性连接的约束 ） （4）联结两个刚体的铰 ） （5）不可伸长的柔索约束 ）
六、功率
力的功对时间的变化率称为功率。 力的功对时间的变化率称为功率。 功率可以描述力作功的快慢程度。 功率可以描述力作功的快慢程度。 力的元功为： 力的元功为：
§12-2 动能
动能是一个恒为正值的标量， 动能是一个恒为正值的标量，它的值取决于各质点的质 量及其速度的大小，而与速度方向无关。 量及其速度的大小，而与速度方向无关。因此计算质点系 动能时不必考虑各质点速度的方向， 动能时不必考虑各质点速度的方向，这给计算带来很大方 便。 一、 质点的动能 二、质点系的动能
2．定轴转动刚体的动能 ．
1 2 T = ∑ mi vi 2 1 = ∑ mi ri 2ω 2 2 1 2 = ω ⋅ ∑ mi ri 2 2
1 T = J zω 2 2
3．平面运动刚体的动能 ．
T=
1 J C ′ω 2 2
C9为通过速度瞬心，且与运动平面垂直的轴。 为通过速度瞬心，且与运动平面垂直的轴。 为通过速度瞬心