最大公因式的一个性质
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（） ｚ 一
ｉ ｌ
ａ ｆ （ ） （ 一 １ ２ … ， ） ｏ ｌｚ ， ，， ，
故 ｄ ｚ ｌ ｚ ，， ）即 （ ） ｇ （ ）ｇ （ ， ， ｚ 的公因式． （ ） ｇ（ ）（＝１ ２ …， ， 为 ｚ ，２ ）… ｇ （ ） 又设 （ ） ｇ （ ）ｇ （ ） … ， ｚ 的任一公 因式 ， ｈ ） ｇ （ ）（一１２ …， ． ｚ 为 １ ，ｚｚ ， ｇ （ ） 有 （ Ｉｊｚ ，， ） 由于 （ ） ｚ
从而 （ ｌ （ ）（一１２ …，） 于是 ｈ Ｊ ｌ （ ） 即 ｈ ｚ 为 ｄ ｚ 的因式． ｄ ｚ 也是 ｇ （ ） ） ｚ ， ， ． （ ） ｚ ， （ ） ｃ ｄ （） 故 （） ｚ ，
ｇ （ ， ， （ 的最 大公 因式 ， ｚ ） … ｇ ） 即
（ １ｚ ， ２ｚ ， ， （ ） 一 （ １ｚ ， ２ｚ ， ， ｚ ） 厂 （ ）ｆ （ ） … ｚ ） ｇ （ ）ｇ （ ） … ｇ （ ）．
（ １ ） ｆ （ ） ｆ （ ） 一 （ ｌ ） ｇ （ ）ｇ （ ） ｇ （ ） － （ ， ｚ ｚ ， ３ｚ ） ｇ （ ， ２ Ｌ ， ３ｚ ， ４ ） Ｂ， 厂 ｚ
即
厂ｚ ）１ ）号。） ｇ ）１ （～３（＋ ｇｚ ） （一４ ｚ ｚ （＋ （， ｇ ｇ ｆ ）一７（＋９（＋ ｇｚ ） ２ 一 ）１ ）詈。） ｇｚ （ １ 主 ｚ （＋ （， ｇ ｇ （ 一 １ ｚ） １ ｇｚ ）号。）是 ） ） ｇ． ｇｚ ｇｚ （～ （一 （＋ （． ｚ
其 中 ， （ ） （ ， （ ） ｌｚ ， ） ｚ 是数 域 Ｐ上 的 多项式 ， （ ｌｚ）ｆ （ ） ｆ （ ） 一 （ ｚ ， ｚｚ ， 。 ｚ ） 则 ， （ ， ２ｚ ， ３ｚ ） ｇ （ ） ｇ （ ） ｇ （ ） ．
证 设 ｄ（ ｚ）一 （ （ ） ｆ ， （ ， 。（ ） ， ｄ（７ 厂（ ）（ ，，） ｚ） ｆ ｚ ） 则 ．）ｌｌ ２ ｚ 一１２３ ．由 （ ）式 知 １ （ ） ｇ （ ）（一１２ ３４ ， ｄ ｚ 为 ｇ （ ） ｇ （ ）ｇ （ ）ｇ （ ） ｚ Ｉ ｚ ， ，，） 即 （ ） ｚ ， ｚ ，。ｚ ， ｚ 的公 因式． 又设 ｈ ｓ 为 ｇ （ ）ｇ （ ）ｇ （ ）ｇ （ ） （ ） ｚ ，２ ，。ｚ ， ｚ 的任一公 因式 ， ｈ ｓ ｌ ｚ ＝ ，， ，） 由于（） ｃ 有 （ ） ｇ（ ）（＝ １２３ ４． ｃ ＝ １式
从而 （ ） （ ）（一１２ …，） 于 是 ｈ ｚ Ｉ （ ） 即 ｈ ｚ 为 ｄ ｚ 的因式． ｄ ｚ 也 是 ｇ （ ） Ｌ Ｉ ｚ ，， 住． ｚ （ ） ｚ ， ｄ （） （） 故 （） ｚ ，
［ 稿 日期 ］ ２ ０ —２０ ； ［ 改 日期］ ２ ０ —４２ 收 ０ ９０ —１ 修 ０ ９０ —１
．
大 公 因式 ， 果 它满 足下 面两 个条 件 ： 如 （） （ 是 厂 ） ｇ ｚ 的公 因式 ； ｉ ） （ ，（）
（ ） （ ） ｇ ｚ 的公 因式 全是 （ ） ｉ厂 ｚ ，（） ｉ ｚ 的因式 ．
设 厂 ） ｇ ｚ 是两个 不 全为零 的多项式 ， （ （ ， （ ） 表 示 厂 ） ｇ ） （ ，（ ） 用 厂 ） ｇ ｚ ） （ ， （ 的首项 系 数是 １的那 个
—
１
２
，
其秩 为 ３ ．取 矩 阵
１ ４
第 ６期
丁 双 双 ： 大 公 因 式 的 一 个 性 质 最
１ ４
—
７ ９
— １ ７
１ ９
１ １
— ７
１ ３
Ｂ＝ Ａ （ ＡＡ
一
９
２
１ ８
４
— ９
８
则 有 ＡＢ＝ Ｅ， 中 Ｅ 为 ４级 单 位 矩 阵 ， 是 其 于
设 本 文所讨 论 的多项 式 都是 在某 一 固定 的数 域 Ｐ 上 的多 项 式 环 ＰＥ ］ 中进 行 的 ， 考 虑 的矩 阵 也 ｘ 所
是 数域 Ｐ上 的矩 阵．
定义 １
设 厂 ｚ）ｇ ． 是 Ｐ［ 中的两个 多项 式 ， ｘ 中多项Leabharlann Baidu （ 称 为 厂 ｚ） ｇ ） 一 个 最 （ ，（ ） ｚ ］ ＰＥ ］ ） （ ，（ 的
（ ） 厂 （ ） … ， （ ） ＝ （ １ｚ ， ２ ） … ， ｚ ） 厂 （ ， ２ｚ ， ｚ ）： ｇ （ ） ｇ （ ， ｇ （ ） Ａ一 ＝
即
（ 一 ｂ ｌ （ ＋ ６ ｚ） … ＋ ６ ｇ （ （ 一 １ ２ … ， ． ｚ） ｌ ｇｌ ｚ） ２ ２ ｇ （ ＋ ｚ） ， ， ）
［ 摘 要］给 出了最大公 因式的两个 性质 ， 应用此性质 推广了文［］ １ 中相应 的结论 ， 给出了两个 推论 并
［ 键 词 ］ 多项 式 环 ； 大 公 因式 ； 素 关 最 互 ［ 图分 类 号 ］Ｏ１ １ １ 中 ５． ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 文章 编 号 ］ １７ —４ ４ ２ ｌ ） ６０ ７—３ ６ ２１５ （Ｏ １ ０—０ ７０
ｉ １ 一
Ａ一（ ｎ ）× ∈Ｐ 可 逆 ， ｆ （ ） ｆ （ ， ， （ 互 素 的 充 分 必 要 条 件 是 ｇ （ ） ｇ （ ） … ， ｚ 则 ｚ ， ２ ｚ） … ） ｚ ， ｚ ， ｇ （ ） 互 素． 进 一 步推广 ， 有
定理２ 设ｇ（） Ｊｚ 一∑ ｎｆ（）其中 （ ∈Ｐ ｚ ， ， ） ［］ｎ ∈Ｐ （一１２…，；一１２…， ｉ ，， ，， ，
可用 矩 阵 的乘积 表示 为
２ ０
２
（ １ｚ ，２ ｚ ， ３ｚ ， ４ ） 一 （ ｌ ） ｆ （ ） ｆ （ ） ｇ （ ） ｇ （ ） ｇ （ ） ｇ （ ） 厂 （ ， ２ ｚ ， ３ｚ ）
—
１
１ ４
１ — １
２
Ｏ
今 Ａ： ０ ＝ ＝
１
１ １
ｉ １ 一
≤ ｍ） 又设 ｎ ． ×ｍ 级 矩 阵 Ａ一（ ）Ｘ ∈Ｐ ｎｍ 的秩 为 ， 则
（ ｚ ， ２ ） … ， （ ） 一 （ １ ｚ ， ２ｚ ， ， ｚ ） ， （ ）ｆ （ ， ｚ ） ｇ （ ） ｇ （ ） … ｇ （ ）．
证 设 ｄ ｓ 一（１ ，２ｚ ， （ ） ， （ ） ， （ ｆ （ ） …， ｚ ）则 （ ） ｆ（ （一１ ２ …，） 由于 ｃ ） ｚ ｌ ） ，， ｎ ．
：
∑ ａ ）（ １ ， ｍ ， 矩阵的 表示为 ｏ （ ， …，） ｆ 一 ２ 用 乘积
一
１
（ （ ， ２ ｚ） … ， （ ） 一 （ ｌ ｚ） 厂 （ ， ， （ ） ｚ） ｇ （ ， ｇ １ ） 厂 （ ， ２ ｚ） … ｚ） Ａ． ｚ
由于 Ａ 的秩 为 ， ｍ× 级 矩 阵 Ｂ－Ａ Ａ 一（ ∈Ｐ 取 － （ Ａ ） － ６） ， ， 则有 Ａ Ｂ＝Ｅ， 中 Ｅ 为 级 单位 矩 其 阵 ，于是
推论２ ｇ（）＝ 日ｆ（） （） ［］日∈Ｐ （ ，， ，， ， 设 Ｊ ＝∑ ， ＝ 其中 ∈Ｐ ， ２…，；一ｌ２…， —ｌ
１
≤ｍ） 又设 × 级矩 阵 Ａ一 （ ∈Ｐ 的 秩 为 ， ｆ （ ） ｆ （ ） … ， （ ） 素 的充 分必 要 条 ． ａ） 则 ｚ ，２ｚ ， ｚ 互 件是 ｇ （ ， ２ｚ ， ， ） ｌ ） ｇ （ ） … ｇ （ 互素 ．
第 ２ ７卷 第 ６期
２１ ０ １年 １ ２月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７， ． １２ № ６
Ｄｅ ．２ １１ ｃ Ｏ
最 大 公 因式 的一 个 性 质
丁 双 双
（ 国海 洋 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 东 青 岛 ２ ６ ７ ） 中 山 ６０ １
证 设 （ ） 厂 （ ， ２Ｉ ， ， （ ） 则 （ ） ｆ （ ） （一１ ２ … ， ． Ｌ 一（ ） ｆ （ ） … ） ， ｚ ｚ ｚ ｌ ｚ ， ， ） 由于
ｇ（） Ｊ 一∑ ａ ） （ １２…， ， （ 产 ， ｆｚ ， ）
故 （ ｌ ｚ ，， ， （ ） ｇ （ ）ｇ （ ）… ， 的公因式． ） ｇ（ ）（一１ ２ …，） 即 为 ｚ ， ｚ ， ｇ （ ） 又设 （ ） ｇ （ ，２ｚ ， ， ｚ 的任 一公 因式 ， ｈ 『，ｚ ， ， ，） 由于 ｇ （ ｚ为 ｌ ）ｇ （ ） … ｇ （ ） 有 （ ） ｇ（ ）（一１２ … ７ ． ２ ）
７ ８ ｇ （ ， ， ｚ 的最 大公 因式 ， ｚｚ） … ｇ （ ） 即
大 学 数 学
第２ ７卷
（ ｌ ） ｆ （ ）， ， （ ） （ １ ｚ） ｇ （ ， ， ） ． ｆ （ ， ２ ｚ … ｚ） 一 ｇ （ ， ２ ｚ） … ｇ （ ）
推论ｒ 设 ｇ（） 』 一∑ ａｆ（）其中ｆ（） Ｐ ， ∈ （ ，， ， 设 ｎ ｚ ０ ， ｚ ∈ ［］ｎ Ｐ 一１２…，）又 ， 级矩阵
一
∑ ａｆ（）（一１２…，）用矩阵的乘积表示为 ｉ ，， ， ｊ
＝１
（ ｌ ｚ） ｇ （ ， ， ） 一 （ （ ， ２ ｚ） … ， （ ） ｇ （ ， ２ ｚ） … ｇ （ ） 厂１ ） ｆ （ ， ｚ） Ａ．
因为 Ａ可 逆 ， 其 逆矩 阵为 Ａ 一（ ， 设 ６） 于是
注
例
若ｎ ＞ ， 则设 Ａ 的秩 为 ｍ， 述结 论仍 成 立． 上
设
ｇ１ ｚ） ｆ （ ＋ （ ， （ 一 １ ） ｚ） ｇ （ 一 一 ｆ１ ） ｆ （ ） ｆ （ ２ ｚ） （ ＋ ２ ｚ ＋ ３ ｚ）＇ …
ｇ （ 一 ２ ｌ ） ｆ （ ） ｆ （ ， ｇ （ ） ２ ２ ） ４ ３ ） ３ ） ｆ （ ＋ ２ ｚ 一 ｓｚ） ｚ 一 ｆ （ ＋ ｆ （ ，
最 大公 因式 ． 定义 ２ ＰＦ ］ ｘ 中两个 多项 式 厂 ） ｇ ） 为互 素 的 ， （ ，（ 称 如果 （ （ ） ｇ １ ） ， ｚ ， （ ） 一１． ｚ
（ ｚ） ｇ（ ） （ １ ） ｇ （ ） ，（ ， ｚ） 一 厂 （ ， ｚ） ．
结 论［幻 设 ｆ （ ） 厂 ｚ）－ ｇ ｘ ， ２ｚ 一ｃ ｘ ＋ ｇ ｚ ， ａ －ｂ ： Ｏ 则 １ ｚ 一＆ （ ￣ｂ （ ） ｆ （ ） ｆ（ ） （ ）且 ｄ ｃ＝ ， ／
此 结 论 可 以 推 广 为
定理１ 设ｇ（） ∑ ａ厂（）其中ｆ（） Ｐｚ， ∈ Ｊ ，， ７， 设 ， 一 ｚ ｉ ， ｊ ｚ ｉ ∈ ［］口 Ｐ（ 一１ …，） 又 级矩阵 ｚ ， ２ ｚ
ｚ １ 一
Ａ＝ （ ）× ＝ 口 ∈Ｐ 可逆 ， ＝ 则
（ ｚ） ｆ （ ） … ， （ ）＝（ ｚ） ｇ （ ， ， －） ． ， （ ， ２ Ｉ ， ） ＝ ｇ （ ， ２ ） … ｇ （ ） ｚ ＝ ｚ
（ １ｚ ， ２ｚ ， ， （ ） 一 （ １ ） ｇ （ ） … ， ｚ ） 厂 （ ） ｆ （ ） … ｚ ） ｇ （ ， ２ ｚ ， ｇ （ ） Ｂ，
即 （ － ｂ （ ＋ ｂ （ ＋ … ＋ ｂ （ （ 一 １， ， ， ． ｚ） － ｌ ｇ１ ｚ） ２ ２ ｚ） ｇ ｇ ｚ） ２ … ）
ｉ ｌ
ａ ｆ （ ） （ 一 １ ２ … ， ） ｏ ｌｚ ， ，， ，
故 ｄ ｚ ｌ ｚ ，， ）即 （ ） ｇ （ ）ｇ （ ， ， ｚ 的公因式． （ ） ｇ（ ）（＝１ ２ …， ， 为 ｚ ，２ ）… ｇ （ ） 又设 （ ） ｇ （ ）ｇ （ ） … ， ｚ 的任一公 因式 ， ｈ ） ｇ （ ）（一１２ …， ． ｚ 为 １ ，ｚｚ ， ｇ （ ） 有 （ Ｉｊｚ ，， ） 由于 （ ） ｚ
从而 （ ｌ （ ）（一１２ …，） 于是 ｈ Ｊ ｌ （ ） 即 ｈ ｚ 为 ｄ ｚ 的因式． ｄ ｚ 也是 ｇ （ ） ） ｚ ， ， ． （ ） ｚ ， （ ） ｃ ｄ （） 故 （） ｚ ，
ｇ （ ， ， （ 的最 大公 因式 ， ｚ ） … ｇ ） 即
（ １ｚ ， ２ｚ ， ， （ ） 一 （ １ｚ ， ２ｚ ， ， ｚ ） 厂 （ ）ｆ （ ） … ｚ ） ｇ （ ）ｇ （ ） … ｇ （ ）．
（ １ ） ｆ （ ） ｆ （ ） 一 （ ｌ ） ｇ （ ）ｇ （ ） ｇ （ ） － （ ， ｚ ｚ ， ３ｚ ） ｇ （ ， ２ Ｌ ， ３ｚ ， ４ ） Ｂ， 厂 ｚ
即
厂ｚ ）１ ）号。） ｇ ）１ （～３（＋ ｇｚ ） （一４ ｚ ｚ （＋ （， ｇ ｇ ｆ ）一７（＋９（＋ ｇｚ ） ２ 一 ）１ ）詈。） ｇｚ （ １ 主 ｚ （＋ （， ｇ ｇ （ 一 １ ｚ） １ ｇｚ ）号。）是 ） ） ｇ． ｇｚ ｇｚ （～ （一 （＋ （． ｚ
其 中 ， （ ） （ ， （ ） ｌｚ ， ） ｚ 是数 域 Ｐ上 的 多项式 ， （ ｌｚ）ｆ （ ） ｆ （ ） 一 （ ｚ ， ｚｚ ， 。 ｚ ） 则 ， （ ， ２ｚ ， ３ｚ ） ｇ （ ） ｇ （ ） ｇ （ ） ．
证 设 ｄ（ ｚ）一 （ （ ） ｆ ， （ ， 。（ ） ， ｄ（７ 厂（ ）（ ，，） ｚ） ｆ ｚ ） 则 ．）ｌｌ ２ ｚ 一１２３ ．由 （ ）式 知 １ （ ） ｇ （ ）（一１２ ３４ ， ｄ ｚ 为 ｇ （ ） ｇ （ ）ｇ （ ）ｇ （ ） ｚ Ｉ ｚ ， ，，） 即 （ ） ｚ ， ｚ ，。ｚ ， ｚ 的公 因式． 又设 ｈ ｓ 为 ｇ （ ）ｇ （ ）ｇ （ ）ｇ （ ） （ ） ｚ ，２ ，。ｚ ， ｚ 的任一公 因式 ， ｈ ｓ ｌ ｚ ＝ ，， ，） 由于（） ｃ 有 （ ） ｇ（ ）（＝ １２３ ４． ｃ ＝ １式
从而 （ ） （ ）（一１２ …，） 于 是 ｈ ｚ Ｉ （ ） 即 ｈ ｚ 为 ｄ ｚ 的因式． ｄ ｚ 也 是 ｇ （ ） Ｌ Ｉ ｚ ，， 住． ｚ （ ） ｚ ， ｄ （） （） 故 （） ｚ ，
［ 稿 日期 ］ ２ ０ —２０ ； ［ 改 日期］ ２ ０ —４２ 收 ０ ９０ —１ 修 ０ ９０ —１
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大 公 因式 ， 果 它满 足下 面两 个条 件 ： 如 （） （ 是 厂 ） ｇ ｚ 的公 因式 ； ｉ ） （ ，（）
（ ） （ ） ｇ ｚ 的公 因式 全是 （ ） ｉ厂 ｚ ，（） ｉ ｚ 的因式 ．
设 厂 ） ｇ ｚ 是两个 不 全为零 的多项式 ， （ （ ， （ ） 表 示 厂 ） ｇ ） （ ，（ ） 用 厂 ） ｇ ｚ ） （ ， （ 的首项 系 数是 １的那 个
—
１
２
，
其秩 为 ３ ．取 矩 阵
１ ４
第 ６期
丁 双 双 ： 大 公 因 式 的 一 个 性 质 最
１ ４
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７ ９
— １ ７
１ ９
１ １
— ７
１ ３
Ｂ＝ Ａ （ ＡＡ
一
９
２
１ ８
４
— ９
８
则 有 ＡＢ＝ Ｅ， 中 Ｅ 为 ４级 单 位 矩 阵 ， 是 其 于
设 本 文所讨 论 的多项 式 都是 在某 一 固定 的数 域 Ｐ 上 的多 项 式 环 ＰＥ ］ 中进 行 的 ， 考 虑 的矩 阵 也 ｘ 所
是 数域 Ｐ上 的矩 阵．
定义 １
设 厂 ｚ）ｇ ． 是 Ｐ［ 中的两个 多项 式 ， ｘ 中多项Leabharlann Baidu （ 称 为 厂 ｚ） ｇ ） 一 个 最 （ ，（ ） ｚ ］ ＰＥ ］ ） （ ，（ 的
（ ） 厂 （ ） … ， （ ） ＝ （ １ｚ ， ２ ） … ， ｚ ） 厂 （ ， ２ｚ ， ｚ ）： ｇ （ ） ｇ （ ， ｇ （ ） Ａ一 ＝
即
（ 一 ｂ ｌ （ ＋ ６ ｚ） … ＋ ６ ｇ （ （ 一 １ ２ … ， ． ｚ） ｌ ｇｌ ｚ） ２ ２ ｇ （ ＋ ｚ） ， ， ）
［ 摘 要］给 出了最大公 因式的两个 性质 ， 应用此性质 推广了文［］ １ 中相应 的结论 ， 给出了两个 推论 并
［ 键 词 ］ 多项 式 环 ； 大 公 因式 ； 素 关 最 互 ［ 图分 类 号 ］Ｏ１ １ １ 中 ５． ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 文章 编 号 ］ １７ —４ ４ ２ ｌ ） ６０ ７—３ ６ ２１５ （Ｏ １ ０—０ ７０
ｉ １ 一
Ａ一（ ｎ ）× ∈Ｐ 可 逆 ， ｆ （ ） ｆ （ ， ， （ 互 素 的 充 分 必 要 条 件 是 ｇ （ ） ｇ （ ） … ， ｚ 则 ｚ ， ２ ｚ） … ） ｚ ， ｚ ， ｇ （ ） 互 素． 进 一 步推广 ， 有
定理２ 设ｇ（） Ｊｚ 一∑ ｎｆ（）其中 （ ∈Ｐ ｚ ， ， ） ［］ｎ ∈Ｐ （一１２…，；一１２…， ｉ ，， ，， ，
可用 矩 阵 的乘积 表示 为
２ ０
２
（ １ｚ ，２ ｚ ， ３ｚ ， ４ ） 一 （ ｌ ） ｆ （ ） ｆ （ ） ｇ （ ） ｇ （ ） ｇ （ ） ｇ （ ） 厂 （ ， ２ ｚ ， ３ｚ ）
—
１
１ ４
１ — １
２
Ｏ
今 Ａ： ０ ＝ ＝
１
１ １
ｉ １ 一
≤ ｍ） 又设 ｎ ． ×ｍ 级 矩 阵 Ａ一（ ）Ｘ ∈Ｐ ｎｍ 的秩 为 ， 则
（ ｚ ， ２ ） … ， （ ） 一 （ １ ｚ ， ２ｚ ， ， ｚ ） ， （ ）ｆ （ ， ｚ ） ｇ （ ） ｇ （ ） … ｇ （ ）．
证 设 ｄ ｓ 一（１ ，２ｚ ， （ ） ， （ ） ， （ ｆ （ ） …， ｚ ）则 （ ） ｆ（ （一１ ２ …，） 由于 ｃ ） ｚ ｌ ） ，， ｎ ．
：
∑ ａ ）（ １ ， ｍ ， 矩阵的 表示为 ｏ （ ， …，） ｆ 一 ２ 用 乘积
一
１
（ （ ， ２ ｚ） … ， （ ） 一 （ ｌ ｚ） 厂 （ ， ， （ ） ｚ） ｇ （ ， ｇ １ ） 厂 （ ， ２ ｚ） … ｚ） Ａ． ｚ
由于 Ａ 的秩 为 ， ｍ× 级 矩 阵 Ｂ－Ａ Ａ 一（ ∈Ｐ 取 － （ Ａ ） － ６） ， ， 则有 Ａ Ｂ＝Ｅ， 中 Ｅ 为 级 单位 矩 其 阵 ，于是
推论２ ｇ（）＝ 日ｆ（） （） ［］日∈Ｐ （ ，， ，， ， 设 Ｊ ＝∑ ， ＝ 其中 ∈Ｐ ， ２…，；一ｌ２…， —ｌ
１
≤ｍ） 又设 × 级矩 阵 Ａ一 （ ∈Ｐ 的 秩 为 ， ｆ （ ） ｆ （ ） … ， （ ） 素 的充 分必 要 条 ． ａ） 则 ｚ ，２ｚ ， ｚ 互 件是 ｇ （ ， ２ｚ ， ， ） ｌ ） ｇ （ ） … ｇ （ 互素 ．
第 ２ ７卷 第 ６期
２１ ０ １年 １ ２月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７， ． １２ № ６
Ｄｅ ．２ １１ ｃ Ｏ
最 大 公 因式 的一 个 性 质
丁 双 双
（ 国海 洋 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 东 青 岛 ２ ６ ７ ） 中 山 ６０ １
证 设 （ ） 厂 （ ， ２Ｉ ， ， （ ） 则 （ ） ｆ （ ） （一１ ２ … ， ． Ｌ 一（ ） ｆ （ ） … ） ， ｚ ｚ ｚ ｌ ｚ ， ， ） 由于
ｇ（） Ｊ 一∑ ａ ） （ １２…， ， （ 产 ， ｆｚ ， ）
故 （ ｌ ｚ ，， ， （ ） ｇ （ ）ｇ （ ）… ， 的公因式． ） ｇ（ ）（一１ ２ …，） 即 为 ｚ ， ｚ ， ｇ （ ） 又设 （ ） ｇ （ ，２ｚ ， ， ｚ 的任 一公 因式 ， ｈ 『，ｚ ， ， ，） 由于 ｇ （ ｚ为 ｌ ）ｇ （ ） … ｇ （ ） 有 （ ） ｇ（ ）（一１２ … ７ ． ２ ）
７ ８ ｇ （ ， ， ｚ 的最 大公 因式 ， ｚｚ） … ｇ （ ） 即
大 学 数 学
第２ ７卷
（ ｌ ） ｆ （ ）， ， （ ） （ １ ｚ） ｇ （ ， ， ） ． ｆ （ ， ２ ｚ … ｚ） 一 ｇ （ ， ２ ｚ） … ｇ （ ）
推论ｒ 设 ｇ（） 』 一∑ ａｆ（）其中ｆ（） Ｐ ， ∈ （ ，， ， 设 ｎ ｚ ０ ， ｚ ∈ ［］ｎ Ｐ 一１２…，）又 ， 级矩阵
一
∑ ａｆ（）（一１２…，）用矩阵的乘积表示为 ｉ ，， ， ｊ
＝１
（ ｌ ｚ） ｇ （ ， ， ） 一 （ （ ， ２ ｚ） … ， （ ） ｇ （ ， ２ ｚ） … ｇ （ ） 厂１ ） ｆ （ ， ｚ） Ａ．
因为 Ａ可 逆 ， 其 逆矩 阵为 Ａ 一（ ， 设 ６） 于是
注
例
若ｎ ＞ ， 则设 Ａ 的秩 为 ｍ， 述结 论仍 成 立． 上
设
ｇ１ ｚ） ｆ （ ＋ （ ， （ 一 １ ） ｚ） ｇ （ 一 一 ｆ１ ） ｆ （ ） ｆ （ ２ ｚ） （ ＋ ２ ｚ ＋ ３ ｚ）＇ …
ｇ （ 一 ２ ｌ ） ｆ （ ） ｆ （ ， ｇ （ ） ２ ２ ） ４ ３ ） ３ ） ｆ （ ＋ ２ ｚ 一 ｓｚ） ｚ 一 ｆ （ ＋ ｆ （ ，
最 大公 因式 ． 定义 ２ ＰＦ ］ ｘ 中两个 多项 式 厂 ） ｇ ） 为互 素 的 ， （ ，（ 称 如果 （ （ ） ｇ １ ） ， ｚ ， （ ） 一１． ｚ
（ ｚ） ｇ（ ） （ １ ） ｇ （ ） ，（ ， ｚ） 一 厂 （ ， ｚ） ．
结 论［幻 设 ｆ （ ） 厂 ｚ）－ ｇ ｘ ， ２ｚ 一ｃ ｘ ＋ ｇ ｚ ， ａ －ｂ ： Ｏ 则 １ ｚ 一＆ （ ￣ｂ （ ） ｆ （ ） ｆ（ ） （ ）且 ｄ ｃ＝ ， ／
此 结 论 可 以 推 广 为
定理１ 设ｇ（） ∑ ａ厂（）其中ｆ（） Ｐｚ， ∈ Ｊ ，， ７， 设 ， 一 ｚ ｉ ， ｊ ｚ ｉ ∈ ［］口 Ｐ（ 一１ …，） 又 级矩阵 ｚ ， ２ ｚ
ｚ １ 一
Ａ＝ （ ）× ＝ 口 ∈Ｐ 可逆 ， ＝ 则
（ ｚ） ｆ （ ） … ， （ ）＝（ ｚ） ｇ （ ， ， －） ． ， （ ， ２ Ｉ ， ） ＝ ｇ （ ， ２ ） … ｇ （ ） ｚ ＝ ｚ
（ １ｚ ， ２ｚ ， ， （ ） 一 （ １ ） ｇ （ ） … ， ｚ ） 厂 （ ） ｆ （ ） … ｚ ） ｇ （ ， ２ ｚ ， ｇ （ ） Ｂ，
即 （ － ｂ （ ＋ ｂ （ ＋ … ＋ ｂ （ （ 一 １， ， ， ． ｚ） － ｌ ｇ１ ｚ） ２ ２ ｚ） ｇ ｇ ｚ） ２ … ）