【最新】一元二次方程及其应用

第7讲┃一元二次方程及其应用
解
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解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0， x－3＝0 或 2－3x＝0，
所以 x1＝3，x2＝32.
解法二(公式法)： 2x－6＝3x2－9x， 3x2－11x＋6＝0， a＝3，b＝－11，c＝6， b2－4ac＝121－72＝49，
探究四 (选讲)一元二次方程根与系数的关系
命题角度： 1．利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积； 2．利用根与系数的关系求有关两根的代数式的值； 3．利用根与系数的关系求方程中未知系数的值．
例4 [2013·荆州] 已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k －1)＝0.
(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1－x2|＝2，求k
舍去． 答：她购买了 20 件这种服装．
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一元二次方程解法多
教材母题 北师大版九上P56例2
解方程：3x2＋8x－3＝0. 解：两边都除以 3，得 x2＋83x－1＝0. 移项，得 x2＋83x＝1. 配方，得
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第7讲┃一元二次方程及其应用
考点4 〈选学〉一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1， x2，则 x1＋x2＝－ab，x1x2＝ac.
误区警示：利用一元二次方程根与系数的关 系时，要注意判别式Δ≥0.
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第7讲┃一元二次方程及其应用 考点5 一元二次方程的应用
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x2＋83x＋432＝1＋432， x＋432＝295. 两边同时开平方，得 x＋43＝±53， 即 x＋43＝53或 x＋34＝－53. 所以 x1＝31，x2＝－3.
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第7讲┃一元二次方程及其应用
定义
通过配成完全平方的形式解一元二次方 程
配方 法
①化二次项系数为1；②把常数项移到 配方法 方程的另一边；③在方程两边同时加上 解方程 一次项系数一半的平方；④把方程整理
的步骤 成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平
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探究二 一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法． 例2 解方程：2x－3＝3xx－3.
解 析 可用因式分解法或公式法．
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(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别 式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算 前应先将方程化为一般式．
(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．
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考点1 一元二次方程的概念及一般形式
含有___一_____个未知数，并且未知数的最高次 数是____2____的整式方程．
一般形式：__a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠_0_) _． 注意：在一元二次方程的一般形式中要注意强
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解 析 根据一次性购买多于10件，那么每增加1件， 购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单 价，进而得出方程，解出即可．
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解 设购买了 x 件这种服装，根据题意得出： [80－2(x－10)]x＝1200， 解得 x1＝20，x2＝30， 当 x＝30 时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，
的值
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解 析 (1)确定判别式的范围即可得出结论； (2)根据根与系数的关系表示出x1＋x2，x1x2，继而根 据题意可得出方程，解出即可．
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解
(1)证明：①当 k＝0 时，方程是一元一次方程，有实数根；
②当 k≠0 时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝(3k－1)2－4k×2(k－1)＝(k－1)2≥0，
∴无论 k 为何实数，方程总有实数根．
(2)∵此方程有两个实数根 x1，x2，
∴x1＋x2＝3k－k 1，x1x2＝2（k－k 1）.
∵|x1－x2|＝2， ∴(x1－x2)2＝4， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
调a≠0.
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考点2 一元二次方程的四种解法
直接 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋ 开平 d)2 形式的方程
方法
因式 分解 法
基本思想 方法规律
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0 或b＝0
常用的方法主要运用提公因式法、 平方差公式、完全平方公式型因式 分解
即9k2－k62k＋1－4×2（k－k 1）＝4，
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解得 k＝1 或 k＝－13.
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探究五
一元二次方程的应用
命题角度： 1．用一元二次方程解决变化率问题； 2．用一元二次方程解决商品销售问题．
例5 [2013·淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商店 经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件， 单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件， 购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50 元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200 元．请问她购买了多少件这种服装？
根
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第7讲┃一元二次方程及其应用
考点3 一元二次方程的根的判别式
一 元 二
根的判 别式定
义
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的根的判别式为 b2－4ac.
次
(1)b2－4ac>0⇔方程有两__个__不_相__等_的实
方 判别式
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探究三 一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
例3 [2013·北京] 已知关于x的一元二次方 程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k
方解方程
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一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0, 且 b2
求根公式
－4ac≥0 时，则 x1,2＝
－b± b2－4ac
公式
_____2_a_____
法
(1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
公式法解方程 的一般步骤
的形式；(2)确定 a，b，c 的值；(3) 若 b2－4ac≥0，则代入求根公式，得 x1，x2；若 b2－4ac<0，则方程无实数
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第7讲┃一元二次方程及其应用
解 (1)根据题意得：Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k＞0， 解得 k＜52； (2)由 k 为正整数，得到 k＝1 或 2， 利用求根公式表示出方程的解为 x＝－
1± 5－2k. ∵方程的解为整数，∴5－2k 为完全平方数， 则 k 的值为 2.
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的值．
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解 析 (1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的 判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解 集即可得到k的范围； (2)找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得 到满足题意的k值．
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即 x1＝－2－ 6，x2＝－2＋ 6.
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应用类型 增长率问题
利率问题 销售利润问题
等量关系
(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来 的量，m为平均增长率，n为增长次数，b 为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平
均下降率时，则a(1－m)n＝b
(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金 ×利率×期数
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润 ＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率
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1．解方程：(x－3)2－9＝0
解
(x－3)2＝9，x－3＝±3，
∴x1＝0，x2＝6.
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2．解方程：x2＋4x－2＝0.
解
∵b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24，
∴x＝－42±×124＝－4±22 6＝－2± 6 ，
＝利润÷进货价
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第7讲┃一元二次方程及其应用
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探究一
一元二次方程的有关概念
命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念．
例1 [2013·牡丹江] 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5 ＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( A )
x＝112±×349，
∴x1＝3，x2＝23. 12
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第7讲┃一元二次方程及其应用
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含 未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式， 因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此 因式可以为零，则方程会失去一个根，出现漏根错 误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
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第7讲┃一元二次方程及其应用
解 析 ∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个 根， ∴a·12＋b·1＋5＝0，∴a＋b＝－5， ∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018.
数根；
程 与根的 (2)b2－4ac＝0⇔方程有两__个__相__等__的实
根 关系
数根；
的
(3)b2－4ac<0⇔方程__没_有_____实数根
判 别 式
防错提 醒
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在使用根的判别式解决问题时，如果 二次项系数中含有字母，要加上二次
项系数不为零这个限制条件 6
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