运筹学第二章线性规划资料

甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
解：因为，10米长的钢筋截为3米或4米长，共有三种 截法：Ⅰ：3 3 3 1 米；Ⅱ：3 3 4 0 米；Ⅲ：4 4 0 2 米
假设按截法Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ各截取10米长的钢筋分别为x1, x2, x3根。则可以获得3米长的短钢筋的根数是3x1+x2，4 米长短钢筋的根数是 x2+2x3
min w x1 x2 x3
劳动力安排：某单位由于工作需要，在不同的时间段需要 不同数量的工作人员，在一定的安排规则：比如每个工作 人员在连续做5个工作日后接连休息两天下，如何安排工 作人员才能用最少的工作人员来满足工作的需求？
约束条件
x1+2x2 ≤5 s.t. 2x1+ x2 ≤4
4x1+3x2 ≤9
x1 ,x2 ≥0
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例1中的问题常称为生产计划问题或产品组合（product mix） 问题。一般的生产计划问题可以表述为：设用m种资源，生 产n种不同的产品。已知第 i种资源在一给定的计划期最多可 以使用bi个单位，每生产一个单位的产品 j 需要第 i 种资源 aij 个单位，并且产品 j 的单位利润为Cj 元。问在该计划期应如 何组织生产才能获得最大利润？
所需人数 60 70 60 50 20 30
设服务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八 小时，问该酒店至少配备多少名服务员。列出此问题的线 性规划模型。
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min w x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 ≥ 60
x1
x2
≥
70
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配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
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线性规划模型的特征
决策变量 目标函数 约束条件 目标函数必须是决策变量的线性函数 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式
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例2.2 设有一批规格为10米长的圆钢筋，将它截成分别 为3米，4米长的预制构件的短钢筋各100根，问怎样截 取最省料。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z yຫໍສະໝຸດ Baidu
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
x2
x3
≥
60
s.t.x3 x4 ≥ 50
x4
x5
≥
20
x5 x6 ≥ 30
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
x5 ,
x6
0
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2.11 某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一 天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女 生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎 样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？
如果记xj是计划期第j种产品的产量(j=1,2, … ,n),则一般的生产 计划问题的数学模型具有如下形式:
max z = c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2 +… + a1nxn ≤b1 a21x1+a22x2+… + a2nxn ≤b2
st. ……
am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm x1,x2,…,xn ≥0
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2.12 某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、 乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、 各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号 糖果的单位加工费及售价如表所示。问该厂每月生产这三种 牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？
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例2.1 穗羊公司的例子
I
II
每周可使用量
A（千克）
1
2
5
B（吨）
2
1
4
C（百工时）
4
3
9
单位产品利润（万元）
3
2
问该公司每周应生产产品I与产品II各多少单位，才能使每周 的获利达到最大？
假设产品I、II每周的产量分别是x1和x2，得到如下数学模型:
目标函数 max z=3x1+2x2
第二章 线性规划
1. 线性规划问题的提出
线性规划是运筹学中研究较早、方法较成熟的 一个重要分支。在经济、管理、交通运输、军 事等领域存在着广泛的应用。
线性规划研究的问题大体上可归为两类：一是： 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何 统筹规划这些有限资源完成最大任务；二是： 对于给定的任务，如何运筹规划，合理安排， 以最少资源来完成它。
s.t.
3xx2 12xx23
100 100
x1 , x2 , x3 0
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2.10. 一家酒店24小时都需要安排服务员上班，在各时间段 中所需要的服务员数量见表
班次
1 x1
2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6
时间 6:00-10:00 10:00-14:00 14:00-18:00 18:00-22:00 22:00-2:00 2:00-6:00