第五章积分变换法
第五章 积分变换法
分离变量主要是解决有界区域问题，对于大多数无界区域问题或半无界区域问题，如何求解，需引出另一种求解办法——积分变换法。
（一）积分变换法
1．积分变换：就是将某些函数类A 中的函数)(x f ,经过某种可逆的分积手续
?=dx x f p x k p F )(),()(
变成另一函数类B 中的函数F(p)。其中F(p 称为f(x)的像函数,f(x)称为原函数,而),(p x K 是
p 和x 的己知函数,称为积分变换核。
2．积分变换法：对偏微分方程(常微分方程,积分方程)的定解问题中的各项实施积分变换,从而将偏微分方程(常微分方程和积分方程)的求解转换为常微分方程(代数方程)的求解办法叫积分变换法。
(二)Fourier 变换
1．定义：设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续,分段光滑且可积,则称函数
?
+∞
∞
--=dx e x f G x i ωω)()(
为函数)(x f 的Fourier 变换,记为)()]([x G x f F = 而称函数
?
∞
+∞
-=
ωωπ
ωd e G x f x i )(21
)(
为)(ωG 的Fourier 逆变换,记为)]([)(1
ωG F x f -=
显然)())](([1
x f x f F F =-
类似的,称函数
?
??+∞
∞
-++-=dxdydz e
z y x f G z y x i )
(321321),,(),,(ωωωωωω
为),,(z y x f 的Fourier 变换,而称函数
???+∞
∞
-++=
321)(32
1
3
321),,()
2(1),,(ωωωωω
ωπωωωd d d e G z y x f z y x i
为函数),,(321ωωωG 的逆变换
2．性质
若记)())((ωG x f F =，则有
1° 线性性:][][][21112111f F f F f f F βαβα+=+ 2° 延迟性:)()]([00ωωω-=G x f e
F x
i
3° 位移性质:)]([)]([0
0x f F e x x f F iwx -=-
4° 相似性质:)(1)]([a
G a ax f F ω=
5° 微分性质:若当∞→x 时,0)()
1(→-x f n Λ3,2,1=n ,则
)]([)()]([x f F i x f F n n ω=
6° 积分性质:)]([1
])([
x f F iw
d f F x
x =
?
ξξ 7° 卷积性质:)]([)]([)](*)([2121x f F x f F x f x f F ?= 其中：?
+∞
∞
--=
ξξξd x f f x f x f )()()(*)(2121定义为)(1x f 和)(2x f 的卷积
(三)Laplace 变换:
1．定义：设函数)(x f 满足以下条件： (1)当0 (2)0≥t 时,)(t f 及)(t f '除去有限个第一类间断点外,处处连续 (3)当+∞→t 时存在常数M 及0≥β使得 ∞<<≤t Me t f t 0,)(0β 则称函数 ? +∞ -=0 )()(dt e t f p F pt 为函数)(t f 的Laplace 变换,并记作)()]([p F t f L =,称函数 ?∞+∞-= i i pt dp e p F i t f ββπ)(21)( 为函数)(p F 的Laplace 逆变换,并记作)()]([1 t f p F L =- 显然)())](([1 t f t f L L =- 2．性质 若记则有),()]([p F t f L = (1)线性性质：][][][2121f L f L f xf L βαβ+=+ (2)延迟性质：000Re(),()]([0β>--=p p p p F t f e L t p (3)位移性质：)()]([p F e t f L p τ τ-=- (4)相似性质 )(1)]([a p F a at f L = (5)微分性质：)0()0()]([)]([)1(21) (-------=n n n n n f p f p t f L p t f L Λ (6)积分性质：)]([1 ])([ t F L p d f L t = ? ττ (7)卷积性质：)]([)]([)](*)([2121x f L t f L t f t f L ?= 3．利用积分变换法求解数己定方程时常用到的积分公式 ① ? ∞ +- ->= 4)0(2 1cos 22 a a e bxdx e a b ax π ② ?∞ +-= 2 2 π dx e x ③0 2 >= ? ∞ +∞ --a a dx e ax π ④? ∞ +=02 sin π dx x x ⑤ 0 x )(0 1>Γ=? +∞ --x dt t e x t (四) 积分变换法解题步骤 用积分变换法解题分三步 step1：对方程和定解条件的各项取变换,得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。 Step2：求解常微方程的定解问题，得到像函数； Step3：求像函数的逆，即得原定解问题的解。 (五) 应用举例: 例1:利用积分变换法求解弦振动方程的初值问题 ?? ?+∞<<∞-==>+∞<<∞-=x x u x x u t x u a u t xx tt 0)0,( )()0,(0 , 2? 解:将t 视为参数,对变量x 作Fourier 变换,并证 )(~)]([ ),(~)),((ω? ?ω==x F t u t x u F 则原偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题 ???? ?????==-=0)0,(~)(~)0,(~),(~),(~222 2ωω?ωωωωt u u r u a dt t u d 解上面常微分方程的定解问题，得 t a t u ωω?ωcos )(~),(~= 将Fourier 空间的解还原到原空间 则 ]cos )(~[)],(~[),(1 1 t a F t u F t x u ωω?ω--== ?∞ +∞ -=ωωω? πd te a iwx cos )(~21 ? ∞ +∞ --++=])[(~41)()(at x iw at x iw e e ω? π ])(~21)(~21[21)()(?? ∞+∞-∞ +∞ --+++=at x i at x iw e d e ωω? πωω?π )]()([2 1 at x at x -++=?? 这与达朗贝尔公式的结果相一致。 例2：求解热传导方程的初值问题 ?? ? ??=>+∞<<∞-==)cos 21 ( cos 0 , 02x x u t x u a u t xx t 解:将t 视为参数,对x 作Fourier 变换,并记 ),(~)],([t u t x u F ω= )(~cos ][cos ω? ω==?+∞ ∞ -dx xe x F x i 则:原偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题. ?????=-=) (~)0,(~) ,(),(~2 2ω?ωωωωu t u a t u dt d 解常微分方程的定解问题，得 t a e t u 22)(~),(~ωω?ω-= ])(~[)],(~[),(2211t a e F t u F t x u ωω?ω---==∴]))[(cos (2211t a e F F F ω---*= (卷积性质) ][cos 2 21t a e F x ω--*= ωπ ωωωd e e e F x i t a t a ? ∞ +∞ ----= 2 22 2 21][1Θωωπ ωxd e t a cos 1 )(2 2? ∞ +-= 由广义积分求值得: 02 1cos 0 422 >= ? ∞ +- -a e bxdx e a b ax π t a x t a e t a e F 222 24121][---= ∴πω t a x e t a x t x u 22421 cos ),(- * =∴πξξπξd x e t a t a )cos(2122 4-= ? ∞ +∞ -- ]sin sin cos cos [2122 22 44ξξξξπξξd x e d x e t a t a t a ??∞ +∞ -- ∞ +∞-- += x e d e t a x t a t a cos cos cos 2 22 4-∞ +- == ? ξξπξ 例3：求解热传导方程 x x u x u a u xx t sin )0,(, 2=+∞<<∞-= 解:将t 视为参数,对变量x 实施Fourier 变换,并记 ? +∞∞ --===)(~sin ][sin ),(~)],([ω?ωωdx xe x F t u t x u F x i 于是原偏微分方程的定解问题化为: ??? ??=-=) (~)0,(~),(~),(~22ω?ωωωωu t u a dt t u d 解之得 t a e t u 22)(~),(~ωω?ω-= ][sin ])(~[),(222211 t a t a e F x e F t x u ωωω?----*=?=∴ t a x t a e t a e F 222 24121][- --= πωΘ t a x e t a x t x u 22421 sin ),(- * =∴πξξπξd x e t a t a )sin(2122 4-= ? ∞ +∞ -- ξξξπξd x x e t a t a ]sin cos cos [sin 2122 4-= ? ∞ +∞ -- ]sin cos cos sin [2122 22 44ξξξξπξξd x e d x e t a t a t a ??∞ +∞ -- ∞ +∞-- -= x d e t a t a sin cos 10 422 ?= ? ∞ +- ξξπξξξπξd e t a x t a cos 1sin 0 422 ? ∞ +- ? = 0 2 1 cos 40 22 >= - ∞ +-?a a e bxdx e a b ax π Θ t a e t a e xdx e t a t a t a 22441 4122 1412 1cos 222 2 ππ ξ?= =∴-?-∞ +- ?t a e t a π?=-2 t a e x t x u 2 sin ),(-?=∴ 例4：求解+∞<<∞-?????+===x x u u a u t xx t 1 2 02 解:将t 视为参数,对u(x,t)关于变量x 实施Fourier 变换,并记 )(~)1(]1[ ),(~)],([22w dx e x x F t u t x u F iwx ?ω=+=+=? +∞∞ - 则原偏微分积化为: ??? ??=-==)(~~),(~),(~0 22ω?ωωωt u t u a dt t u d 解之得:t a e t u 2 2 )(~),(~ωω?ω-= ])(~[)],(~[),(2211t a e F t u F t x u ωω?ω---==∴][)1(2212t a e F x ω--*+= t a x e t a x 2 24221)1(-* +=πξξπξd e t a t a x )1(2124)(2+= ? ∞ +∞ --- 令 n t a x =-2ξ 并利用2 2 π = ?∞ +-dx e x 得：t a x t x u 2 2 21),(++= 例5：利用Laplace 变换求解 ?? ?? ?='=>=+''0)0(000 )()()()(2T )T(t t f t T l a n t T π 解：两边关于t 实施Laplace 变换，并记][)]([p F t f L = )(~ )]([p T t T L = 则：)]([)]()( )([2 t f L t T l a n t T L =+''π )()(~)()0()0()(~ 22p F p T l a n T PT P T p =+'--∴π )()(~ ])([22p F p T l a n p =+∴π 2 2)(1 ) ()(~ l a n p p F p T π+=∴ 因为： ][sin )()(12 222t l a n L a n L l a n p l a n a n l l a n p ππππππ=+?=+ ][sin )()(~ t l a n L a n L p F p T ππ?=∴ )](sin )([)(1t l a n L a n L p F L t T ππ??=∴-t l a n t f a n L ππsin )(*= ?-=t d t l a n f a n l 0)(sin )(ττπτπ 例6：求解定解问题： ??? ? ???====>>=-∞→0),(lin 0),0(0)0,( 0)0,(0,0 cos x 2t x u t u x u x u t x at u a u t t tt tt 解：将x 视为参数，关于变量t 实施Laplace 变换有 ][cos ][][2t L u L a u L xx tt ω=- 并记)(~ ][cos ),()],([~ p f t L p x u t x u L ==ω 则有：)(~),(~),(~2 222 p f dx p x u d a p x u p =- 即?? ???==-=-∞→0),(~ 0),0(~)(~),(~),(~2222 2p x u lin p u a p f p x u a p dx p x u d x x 求得通解为： 221 )(~),(~p p f e c e c p x u x a p x a p ++=- 由边界条件0),(~=∞ →p x u lin x x 得01=c 由边界条件0),0(~=p u 2222)(~ 0)(~p p f c p p f c -=∴=+ ]1[)(~)(~)(~),(~2 22x a p x a p e p p f p p f e p p f p x u ---=+-=∴ 习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 复变函数与积分变换第五版答案 目录 练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24) 练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）i i i i 524321-- --； 解：i i i i 524321---- = i 2582516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re （2）3 ) 231(i + 解： 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ π π 210Im 1Re 1 ][)3 sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31- )35sin 35(cos 2ππi += （2）i i +12 解：i i +12 )4 sin 4(cos 21π π i i +=+= 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1）i i 2332++- 解：i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== （2）4 22i +- 解：4 22i +-4 1 )]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4．.设 321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位 圆z =1的一个正三角形的项点。 证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则, 321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又 ,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量 第六章 共形映射 一、选择题： 1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( ) （A ）21< z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2 11>+z 2．映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ） 2 π （C ）π （D ）2 π - 3．映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) （A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e 4．在映射i e iz w 4 π +=下，区域0)Im( （A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i 7．函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π< 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- 习题三 1. 计算积分2 ()d C x y ix z -+?,其中C 为从原点到点1+i 的直线段. 解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤ 故 ()()1 22 1 23 1 0()1 1 (1)(1)(1)333C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=?? ? 2. 计算积分(1)d C z z -?，其中积分路径C 为 (1) 从点0到点1+i 的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 11()C z dz x ix d x ix i -=-++=?? (2)设2 z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 22 211()3 C i z dz x ix d x ix -=-++=?? 3. 计算积分d C z z ?，其中积分路径C 为 (1) 从点-i 到点i 的直线段; (2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤ 11 1 1 C z dz ydiy i ydy i --===??? (2)设i z e θ =. θ从32π到2π 22 332 2 12i i C z dz de i de i π π θ θππ===??? (3) 设i z e θ =. θ从32π到2π 2 32 12i C z dz de i π θ π==?? 6. 计算积分()sin z C z e z dz -???,其中C 为0 z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz -?=-????蜒 ? ∵sin z e z ?在z a =所围的区域内解析 ∴sin 0z C e zdz ?=?? 从而 ()20 22 sin 0 z i C C i z e z dz z dz adae a i e d π θ π θθ-?====?? ??蜒 故()sin 0 z C z e z dz -?=?? 7. 计算积分2 1 (1) C dz z z +??,其中积分路径C 为 （1）11:2 C z = （2） 23 :2 C z = （3） 31:2 C z i += （4） 43:2 C z i -= 解：（1）在 1 2 z = 所围的区域内， 21 (1)z z +只有一个奇点0z =. 12 1 11111 ()2002(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点 0,z z i ==±.故 22 1 11111()20(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点 z i =-,故 32 1 11111()00(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=-+-+??蜒（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点 0,z z i ==,故 习题二 1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44 u iv x y +=+ 所以 54u x = ,34 v y =+ 5344 ,u v x y == 所以()()2 253442u v +=即()()222253221u v +=，表示椭圆. 2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?ρ=或i w u v =+. （1）π02,4r θ<<= ； （2）π02,04 r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?ρ=，则π02,4 r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2 ρ?<<= (2) 记e i w ?ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2 ρ?<<<< (3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-= 即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. (1) 2 1lim 1z z →∞+; 解：令1z t =,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y =+有 000 Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1) z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+. 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：22 z x y =+； 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F 习题 七 1.证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有 ?+∞ ?=0d sin )()(ωωωt b t f 其中()?+∞ ?=0 tdt sin π2)(ωωt f b 当f (t )为偶函数时，则有?+∞ ?=0 cos )()(ωωtd w a t f 其中?+∞ ?=02 tdt c f(t))(ωωπ os a 证明： 因为ωωωd G t f t i ?+∞ ∞ -=e )(π21)(其中)(ωG 为f (t )的傅里叶变换 ()()()(cos sin )i t G f t e dt f t t i t dt ωωωω+∞+∞ --∞ -∞ ==?-?? ()cos ()sin f t tdt i f t tdt ωω+∞+∞-∞ -∞ =?-?? ? 当f (t )为奇函数时，t cos f(t)ω?为奇函数，从而 ? +∞ ∞-=?0tdt cos f(t)ω t sin f(t)ω?为偶函数，从而??+∞ ∞ -+∞ ?=?0 .sin f(t)2tdt sin f(t)tdt ωω 故.sin f(t)2)(0 tdt i G ωω?-=? +∞ 有)()(ωωG G -=-为奇数。 ωωωωπωωπωd t i t G d e G t f t i )sin (cos )(21)(21)(+?=?=??+∞∞ -+∞∞- =01()sin d ()sin d 2ππ i G i t G t ωωωωωω+∞+∞-∞?=??? 所以，当f(t)为奇函数时，有 2()b()sin d .b()=()sin dt.πf t t f t t ωωωωω+∞ +∞ =??? ?其中 同理，当f(t)为偶函数时，有 ()()cos d f t a t ωωω+∞ =??.其中 02()()cos π a f t tdt ωω+∞ = ?? 浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月 目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9) 1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2 1-1 1．试证：若 f t 满足Fourier积分定理中的条件，则有 f t a cos td b sin td 00 1 f cos d , b 1 sin d . 其中 a f ππ 分析：由 Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明 . 证明：利用 Fourier积分的复数形式，有 f t1f e j t e j t d 2π 11f cos j sin d e j t d 2π 1 j b cos t j sin t d a 2 由于 aa, b b, 所以 f 1 a cos td 1 b sin td t 2 2 a cos td b sin t d 00 2．求下列函数的 Fourier积分： 1）f 1t 2 ,t 21 2)f 0,t0 t t 2 ;t; 0,1 e t sin 2t, t0 0,t1 3)f 1,1t0 t 0t1 1, 0,1t 分析：由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解 . 解： 1）函数f 1t 2 , t 21 t t 2 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为0,1 F () F [ f (t )] f (t)e j t d t2 f (t )cos tdt 21 t 2 )cos tdt (1 — sin t2t cos t2sin t t 2 sin t 1 cos ) 4(sin (偶函 2233 数) f(t)的 Fourier积分为 f (t )1 F ()e j t d1 F ()cos td 2ππ 0 4(sin cos) td π 03cos 2) 所给函数为连续函数，其Fourier变换为 F ω F f (t ) f (t )e j t dt e t sin 2te j t dt 0e t e2tj e 2tj e j t dt1 [e( 1 2j j ) t e (1 2j j )t ]d t 2j2j 1e( 1 2j j )t e (1 2j j )t 2j 1 2j j 1 2j j0 j11 2 5 2 1 (2)j 1 (2)j25 62 2 j 24（实部为偶函数，虚 数为奇函数） f (t)的 Fourier变换为 f t1 F ()e j t d 2π 1252 2j cos t jsin t d 2π25624 152 cos t2sin t152 sin t 2 cos t π25624d π25 624 d 252 cos t2sin t π 025624d 这里用到奇偶函数的积分性质 . 3）所给函数有间断点 -1 ，0，1且 f(- t)= - f(t)是奇函数，其 Fourier变换为 F F f ( t ) f ( t)e j t dt2j f (t )sin tdt 1-1 1． 试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞=+? ? 其中()()()()d d π π 1 1 cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞ -∞ = = ?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞ -∞??= ????? ? ()()j j d e d π1 1cos sin 2 t f ωτωτ ωττω +∞+∞-∞ -∞ ??= -??? ? ?? ()()()j j d 1 cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞-∞ ??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 1 1 cos sin 2 2 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞ -∞ = + ?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞= + ? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1） ()22 2 1,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 2 1()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞+∞?====-?-∞ ???F 习题五答案 1. 求下列函数的留数． (1)()5e 1 z f z z -=在z =0处． 解：5e 1 z z -在0<|z |<+∞的罗朗展开式为 234 5 43211 11111112!3!4!2!3!4!z z z z z z z z z +++++-=+?+?+?+L L ∴5e 111 Res ,014!24 z z ??-=?=???? (2)()11 e z f z -=在z =1处． 解：11 e z -在0<1z -| <+∞的罗朗展开式为 ()()()1 1 23 1111111e 112!3!!111z n z n z z z -=+ +?+?++?+----L L ∴11Res e ,11z -?? =??． 2. 利用各种方法计算f (z )在有限孤立奇点处的留数． (1)()()232 2 z f z z z +=+ 解：()()232 2z f z z z +=+的有限孤立奇点处有z =0，z =-2．其中z =0为二级极点z =-2为一级极 点． ∴()[]()()1 20013232324Res ,0lim lim 11!24 2z z z z z f z z z →→++--?? =?=== ? ?+?+ ()[]2232 Res ,2lim 1z z f z z →-+-==- 3. 利用罗朗展开式求函数()2 11sin z z +?在∞处的留数． 解：()()()2 2235111sin 21sin 11111 213!5!z z z z z z z z z z +?=++??? =++?-?+?+ ??? L ∴()[]1 Res ,013!f z =- 从而()[]1 Res ,13! f z ∞=-+ 5. 计算下列积分． (1)c tan πd z z ??，n 为正整数，c 为|z |=n 取正向．复变函数与积分变换习题答案
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