微元法在解题中的应用

微元法在解题中的应用

江苏省镇江第一中学 邹建平

随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用．比如：位移对时间的变

化率——瞬时速度：dt dx v =

，求位移：⎰=vdt x ；速度对时间的变化率——加速度：dt

dv a =，求速度⎰=adt v ；动量对时间的变化率——力：dt

dp

F =，求冲量⎰=∆=Fdt p I ；磁通量对时

间的变化率——感应电动势：dt

d E φ

=；通过导体某一截面的电量对时间的变化率——电流强度：

dt dq I =，求电量⎰=idt q ；功对时间的变化率——瞬时功率：dt

dW P =，求功⎰=Fdx W ；穿

过线圈的磁通量对时间的变化率——感应电动势：dt

d n E φ

=。学生掌握微元思想对这些物理概

念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。

一、用微元法解题的基本方法和步骤

例. 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R 与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B 的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab 质量为m 以初速度v 0向右运动。求这个过程的总位移？

解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作用，导体棒做非匀减速运动，

ma R v

L B BIL =-=-22 在某一时刻取一个微元

t

v

m R v L B i ∆∆=-22 变式

v m t v R L B i ∆=∆-22 两边求和

∑∑∆=∆-v m t v R

L B i 2

2 因i i x t v ∆=∆ 故

)0(02

2v m x R L B -=- 得 220L

B R m v x =

小结：在处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。在解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。

微元法的解题思路：①选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时变化问题的困难）；②利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分

利用数学工具，既完成问题“转化”且保证所求问题的性质不变，又能简单地求得结果）

微元法的解题步骤：①确定研究对象，选取“微元”；②列出相关微元的方程；③对相关微元进行累积求和或求导。

二、用微元法解题的方法的应用

1、微元法在动量定理中应用

例1、 一质量为m 、带电量为＋q 的带电粒子（重力不能忽略），以速度v 0从磁场上边界竖立进入一宽度为d 的匀强磁场区域（如图所示），磁感应强度为B ，试求粒子飞出磁场的方向？

解: 该带电粒子的运动分解为水平和竖直两个方向的运动．在水平方向除洛仑兹力分力外无其它力的作用，所以在水平方向用动量定理有： △p x =F x △t =qEv y △t

∑△p x =∑qBv y △t mvcos θ=qBd ，而粒子在下落过程中只有重力做功，所以有

mv 2/2-mv 02/2=mgd,，得v=o v gd 22+，代人上式则得cos θ=qBd/(m o v gd 2

2+)．

2、微元法在变化的电量中运用

如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为L 和2L ，宽间距的导轨间相距均为2L 、窄间距的导轨间相距均为L ，最左端用导线连接阻值为R 的电阻，各段导轨间均用导线连接，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中．质量为m 的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．导轨和导体棒电阻均忽略不计．现使导体棒从ab 位置以初速度v 0垂直于导轨向右运动，则

（1）若导体棒在大小为F 、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd 位置时的速度为v ，

求在此运动的过程中电路产生的焦耳

热． （2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速

运动，求导体棒运动到cd 位置的过程中，水平拉力做的功和电路中电流的有效值．

（3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到cd 位置时的速度大小．

解析：（1）22011922Q FL mv mv =+

- （2）230

1218B L v W W W R

=+=

L v I R

=

重点讨论第（3）题

（3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为1v ∆和2v ∆，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律，在t t t ∆+→时间内有

F v t m ∆=

∆，则 12BL v I t m

∆=∑∆ ， ∑q I t ∆=∆ 111E q t R R φ∆=⋅∆==写出式，2314B L v Rm ∆= 同理 23

22B L v Rm

∆= 所以导

体棒运动到cd 位置时的速度大小 23

0120183()B L v v v v v mR

'=-∆+∆=-

3、微元法在变化的速度中应用

例．如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为d ，导轨上面横放着两根导体棒L 1和L 2，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m ，电阻都为R ，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B 。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持L 1向上作速度为υ的匀速运动，在t =0时刻将靠近L 1处的L 2由静止释放(刚释放时两棒的距离可忽略)， 经过一段时间后L 2也作匀速运动。已知d =0.5m ， m =0.5kg ，R =0.1Ω，B =1T ， g 取10m/s 2。

(1)为使导体棒L 2向下运动，L 1的速度υ最大不能超过多少？

(2)若L 1的速度υ为3m/s,在坐标中画出L 2的加速度a 2与速率υ2 的关系图像；

(3)若L 1的速度υ为3m/s ，在L 2刚作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m ，求在此时刻前L 2运动的距离。

解： ⑴ 4/m s υ<

⑵

22.5 2.5a υ=-

重点讨论第（3）题

(3) 当导体棒L 2做匀速运动时，L 1和L 2两棒的速度分别是υ和υ2，由平衡条件得

222()

2B d mg R

υυ+= 得24/m s υυ+=

设当导体棒L 2、L 1的相对速度为υ相时，棒的加速度 222B d a g Rm

υ=-

相

取极短时间Δt ，在时间Δt 内速度变化Δυ 222B d g t t Rm

υυ∆=∆-

∆相

22

2B d g t t Rm υυ∆=∆-∆∑∑∑相 又υ相Δt =Δx 相

得22

22B d gt x Rm

υ=-

相 代入数据得两棒间距为4m 所用时间t=1.1s 导体棒L 1运动的位移x 1=υt=3×1.1m =3.3m

导体棒L 2运动的位移m x x x 7.012=-=相

4、微元法在变化的位移中应用

例：从地面上以初速度v 0竖直向上抛出一质量为m 的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t 1时刻到达最高点，再落回地面，