数列新定义专题

课题：基于数列的新定义相关题型

数列中新定义题型在近几年来算是高考中的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题型要求学生对之前所学的知识掌握要扎实，并能运用连贯，并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎实，同时也会引入其他新知识点。

基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系等要能熟练掌握。

1、数列与函数相结合

1）与二次函数相结合

例：在直角坐标平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,P n(a n,b n),……,对每一个自然数n,点P n(a n,b n)在函数y=x2的图象上，且点P n(a n,b n),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点P n(a n,b n)为顶点的等腰三角形。

（1）求对每一个自然数n，以点P n纵坐标构成的数列b n的通项公式；

（2）令，求的值。

2）与指数函数相结合

例：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,P n(a n,b n),……对每一个自然数n，点P n(a n,b n)在函数y=的图象上，且点P n(a n,b n)，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点P n(a n,b n)为顶点的等腰三角形。

（1）求点P n(a n, b n)的纵坐标b n的表达式；

（2）若对每一个自然数n, 以b n, b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形，求a的范围；（3）设B n=b1b2b3……b n(n∈N+)，若a是(2)中确定的范围内的最小整数时，求{B n}的最大项是第几项？

3）数列与对数函数相结合

例：已知函数,

（1）n=1,2,3,……时，把已知函数的图像和直线y=1的交点横坐标依次记为a1,a2,a3，……，a n,……。求证：a1+a2+a3+……+a n<1;

（2）对于每一个n值，设A n,B n为已知函数图像上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以A n B n为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切点坐标。

4）数列与分段函数相结合

例：设函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线。当n≤y≤n+1(n=0,1,2,……)时，该

图像是斜率为b n 的线段（其中正常数b≠1）。设数列{x n }由f(x n )=n(n=1,2,3,……)定义。 （1） 求x 1, x 2和x n 的表达式； （2） 求f(x)的表达式，并写出定义域。

5）数列与反函数相结合 例：已知函数f(x)=

(x≥2)的反函数为y=f -1(x)，若数列{a n }的前n 项之和

为S n (n∈N +)。对所有大于1的自然数n 都有S n =f -1(S n-1)，且a 1=2，求数列{a n }的通项公式。

2、数列与三角相结合

把三角函数融入到数列当中，使得数列变得复杂和陌生，但由于三角函数的周期性，也使得数列的项随之有了规律，因此在解决此类问题时，要充分利用三角函数周期性的特点，只有这样才能将所遇困难有效化解.

例：数列{}n a 的通项公式cos 2

n n a n π

=，其前n 项和为n S ，则2016S 等于多少？

例：2sin sin

sin (N )7

77

n n S n π

ππ*=+++∈L ，则在1S ，2S ，…，100S 中，正数的个数是多少？

例：数列{}n a 的通项公式2

2

2(cos sin )33

n n n a n ππ

=-，其前n 项和为n S . （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）令34

n

n n S b n =⋅，求数列

{}n b 的前n 项和n T .

3、其他新定义题型

这类题型通常会引入一些学生未学过的知识点，预设相关前提条件，再引出问题，该类题型重点在于审题，对相关题目所涉及的知识点需要牢牢把握。 例：若数列{}n a 满足

d a a n

n =-

+1

11

（*∈N n ,d 为常数）, 则称数列{}n a 为调和数列。已知数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n x 1为调和数列，且2002021=++x x x Λ，则=+165x x _____________.

例：定义：称n

P P P n

+++Λ21为n 个正数n P P P ,,,21Λ的“均倒数”。若数列{}n a 的前n 项

的“均倒数”为1

21

-n ，则数列{}n a 的通项公式为_____________.

例：有限数列）（n a a a A Λ,,21=，n S 为其前n 项和，定义

n

S S S n

Λ++21为A 的“凯森

和”，如有500项的数列),,,(50021a a a Λ的“凯森和”为2004，则有501项的数列

),,,,2(50021a a a Λ的“凯森和”为_____________.

例：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为_____________，这个数列的前21项和21S 为_____________.

例：在数列{}n a 中，对任意*∈N n 都有

k a a a a n

n n n =--+++11

2（k 为常数），则称数列{}n a 为“等

差比数列”.下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；

③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为c b a a n

n +⋅=（0≠a ，1,0≠b ）的数列一

定是等差比数列；⑤等差比数列中可以有无数项为0，其中正确的是_______________.

例：定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有d a a n n =++1（d 是常数），则称{}n a 为