加速度分解的妙用

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加速度分解的妙用

——分析弹力的技巧

湖北省恩施高中 陈恩谱

在分析弹力大小及其变化的动力学问题中,分解加速度到弹力方向的方法,比分解力到加速度方向的方法,得出答案更方便快捷。

【例1】如图所示,扶梯与水平面的夹角为30°,当电梯向上以加速度a 运动时,则扶梯对人的支持力和摩擦力。 【解析】以人为研究对象,其受力如图所示,将加速度分解到水平、竖直方向,由牛顿第二定律,有

︒=30cos f ma F ,︒=-30sin N

ma mg F

解得 ma F 23f =,ma mg F 2

1N += 【总结】这是一个分解加速度的经典例题。这种方法,显然比将力分解到平行、垂直加速度方向而言,需要分解的量达到了最少,方程与计算都简单不少。

【例2】倾角为θ、质量为M 的斜面体放在光滑水平地面上,其上表面光滑,将质量m 的物体放在斜面上,开始时系统处于静止状态。现对斜面体施加一水平推力,如图所示。要使物体m 相对斜面静止,力F 应为多大?此时斜面对物体支持力为多大?

【解析】以m 为研究对象,其受力如图所示,将系统加速度分解到垂直斜面、竖直方向,由牛顿第二定律,有

y ma mg =

解得 g a y =

则有 θθtan tan g a a y ==,θ

θcos cos /g

a a y x ==

则由牛顿第二定律,有

对m : θ

cos N mg

ma F x ==

对整体: θtan )()(g m M a m M F +=+=

【总结】本题采用斜交分解,使得加速度直接求出,而支持力不需要分解,大大简化了计算。

【例3】如图所示,半径为R 的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合.转台以一定角速度ω匀速旋转,一质量为m 的小物块落入陶罐内,经过一段时间后,小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g . (1)若ω=ω0,小物块受到的摩擦力恰好为零,求ω0;

(2)若ω=2

R

g

,求小物块受到的摩擦力大小和方向. 【解析】(1)以m 为研究对象,其受力如图所示,将系统加速度分解到陶罐半径方向、竖直方向,由牛顿第二定律,有

y ma mg =

解得 g a y =

则有 θθtan tan g a a y ==

而 θωsin 2

0R a =

解得 ω0=

R

g 2 a

a x

G

F f

F N

a a y F N

G

a

a x

a y

F N G

a

a x

a y

(2)ω>ω0,则滑块有沿斜面向上滑的趋势,摩擦力沿罐壁切线向下,如图所示,将重力、系统加速

度分解到陶罐半径方向、切线方向,由牛顿第二定律,有

y f ma mg F =+θsin

其中 θcos a a y = 而 θωsin 2

R a =

解得 mg F 2

3

f = 【总结】本题第(1)问采用斜交分解,使得加速度可直接求出,而第(2)问由于支持力、摩擦力两力互相垂直,所以将加速度分解到这两个力的方向,从而可以少分解力,直接求出摩擦力,并且这里不需要求出支持力。这样使本题的求解,相较传统的水平竖直分解要简单许多。

【例4】如图,水平地面上有一楔形物体b ,b 的斜面上有一小物块a ;a 与b 之间、b 与地面之间均存在摩擦.已知楔形物体b 静止时,a 静止在b 的斜面上.现给a 和b 一个共同的向左的初速度,与a 和b 都静止时相比,此时可能( )

A .a 与b 之间的压力减少,且a 相对b 向下滑动

B .a 与b 之间的压力增大,且a 相对b 向上滑动

C .a 与b 之间的压力增大,且a 相对b 静止不动

D .b 与地面之间的压力不变,且a 相对b 向上滑动

【解析】假设a 和b 相对静止,一起向左减速,则其共同加速度向右,以物块a 为研究对象,其受力如图所示(假设摩擦力沿斜面向上),将加速度分解到垂直、平行斜面方向,则由牛顿第二定律,有

x ma mg F =-θcos N

y ma F mg =-f sin θ

解得 x ma mg F +=θcos N ,y ma mg F -=θsin f 其中,加速度a 从0增加到了a .

可以看出 F N 一定增大了,即压力增大了。 若a 较小,θsin g a y <,F f 方向向上; 若θsin g a y =,F f =0;

若a 较大,θsin g a y >,F f 方向向下;

若a 太大,则F f 可能超过最大静摩擦力,物块a 就会相对斜面上滑。物块相对斜面上滑时,物块有竖直向上加速度,超重,因此整体对地压力大于整体重力。

本题选 BC.

【总结】本题若按常规将力分解到水平竖直方向,列、解方程较困难,而且也难以由结果一眼看出支持力、摩擦力变化趋势。而将加速度分解到支持力、摩擦力方向时,问题就一目了然。

F N G

a

a x a y

F f

F N

G

F f

a

a x

a y

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