加速度分解的妙用

加速度分解的妙用

——分析弹力的技巧

湖北省恩施高中 陈恩谱

在分析弹力大小及其变化的动力学问题中，分解加速度到弹力方向的方法，比分解力到加速度方向的方法，得出答案更方便快捷。

【例1】如图所示，扶梯与水平面的夹角为30°，当电梯向上以加速度a 运动时，则扶梯对人的支持力和摩擦力。 【解析】以人为研究对象，其受力如图所示，将加速度分解到水平、竖直方向，由牛顿第二定律，有

︒=30cos f ma F ，︒=-30sin N

ma mg F

解得 ma F 23f =，ma mg F 2

1N += 【总结】这是一个分解加速度的经典例题。这种方法，显然比将力分解到平行、垂直加速度方向而言，需要分解的量达到了最少，方程与计算都简单不少。

【例2】倾角为θ、质量为M 的斜面体放在光滑水平地面上，其上表面光滑，将质量m 的物体放在斜面上，开始时系统处于静止状态。现对斜面体施加一水平推力，如图所示。要使物体m 相对斜面静止，力F 应为多大？此时斜面对物体支持力为多大？

【解析】以m 为研究对象，其受力如图所示，将系统加速度分解到垂直斜面、竖直方向，由牛顿第二定律，有

y ma mg =

解得 g a y =

则有 θθtan tan g a a y ==，θ

θcos cos /g

a a y x ==

则由牛顿第二定律，有

对m ： θ

cos N mg

ma F x ==

对整体： θtan )()(g m M a m M F +=+=

【总结】本题采用斜交分解，使得加速度直接求出，而支持力不需要分解，大大简化了计算。

【例3】如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g ． （1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；

（2）若ω=2

R

g

，求小物块受到的摩擦力大小和方向． 【解析】（1）以m 为研究对象，其受力如图所示，将系统加速度分解到陶罐半径方向、竖直方向，由牛顿第二定律，有

y ma mg =

解得 g a y =

则有 θθtan tan g a a y ==

而 θωsin 2

0R a =

解得 ω0=

R

g 2 a

a x

G

F f

F N

a a y F N

G

a

a x

a y

F N G

a

a x

a y

（2）ω＞ω0，则滑块有沿斜面向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下，如图所示，将重力、系统加速

度分解到陶罐半径方向、切线方向，由牛顿第二定律，有

y f ma mg F =+θsin

其中 θcos a a y = 而 θωsin 2

R a =

解得 mg F 2

3

f = 【总结】本题第（1）问采用斜交分解，使得加速度可直接求出，而第（2）问由于支持力、摩擦力两力互相垂直，所以将加速度分解到这两个力的方向，从而可以少分解力，直接求出摩擦力，并且这里不需要求出支持力。这样使本题的求解，相较传统的水平竖直分解要简单许多。

【例4】如图，水平地面上有一楔形物体b ，b 的斜面上有一小物块a ；a 与b 之间、b 与地面之间均存在摩擦．已知楔形物体b 静止时，a 静止在b 的斜面上．现给a 和b 一个共同的向左的初速度，与a 和b 都静止时相比，此时可能（ ）

A ．a 与b 之间的压力减少，且a 相对b 向下滑动

B ．a 与b 之间的压力增大，且a 相对b 向上滑动

C ．a 与b 之间的压力增大，且a 相对b 静止不动

D ．b 与地面之间的压力不变，且a 相对b 向上滑动

【解析】假设a 和b 相对静止，一起向左减速，则其共同加速度向右，以物块a 为研究对象，其受力如图所示（假设摩擦力沿斜面向上），将加速度分解到垂直、平行斜面方向，则由牛顿第二定律，有

x ma mg F =-θcos N

y ma F mg =-f sin θ

解得 x ma mg F +=θcos N ，y ma mg F -=θsin f 其中，加速度a 从0增加到了a .

可以看出 F N 一定增大了，即压力增大了。 若a 较小，θsin g a y <，F f 方向向上； 若θsin g a y =，F f =0；

若a 较大，θsin g a y >，F f 方向向下；

若a 太大，则F f 可能超过最大静摩擦力，物块a 就会相对斜面上滑。物块相对斜面上滑时，物块有竖直向上加速度，超重，因此整体对地压力大于整体重力。

本题选 BC.

【总结】本题若按常规将力分解到水平竖直方向，列、解方程较困难，而且也难以由结果一眼看出支持力、摩擦力变化趋势。而将加速度分解到支持力、摩擦力方向时，问题就一目了然。

F N G

a

a x a y

F f

F N

G

F f

a

a x

a y