加速度分解的妙用
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加速度分解的妙用
——分析弹力的技巧
湖北省恩施高中 陈恩谱
在分析弹力大小及其变化的动力学问题中,分解加速度到弹力方向的方法,比分解力到加速度方向的方法,得出答案更方便快捷。
【例1】如图所示,扶梯与水平面的夹角为30°,当电梯向上以加速度a 运动时,则扶梯对人的支持力和摩擦力。 【解析】以人为研究对象,其受力如图所示,将加速度分解到水平、竖直方向,由牛顿第二定律,有
︒=30cos f ma F ,︒=-30sin N
ma mg F
解得 ma F 23f =,ma mg F 2
1N += 【总结】这是一个分解加速度的经典例题。这种方法,显然比将力分解到平行、垂直加速度方向而言,需要分解的量达到了最少,方程与计算都简单不少。
【例2】倾角为θ、质量为M 的斜面体放在光滑水平地面上,其上表面光滑,将质量m 的物体放在斜面上,开始时系统处于静止状态。现对斜面体施加一水平推力,如图所示。要使物体m 相对斜面静止,力F 应为多大?此时斜面对物体支持力为多大?
【解析】以m 为研究对象,其受力如图所示,将系统加速度分解到垂直斜面、竖直方向,由牛顿第二定律,有
y ma mg =
解得 g a y =
则有 θθtan tan g a a y ==,θ
θcos cos /g
a a y x ==
则由牛顿第二定律,有
对m : θ
cos N mg
ma F x ==
对整体: θtan )()(g m M a m M F +=+=
【总结】本题采用斜交分解,使得加速度直接求出,而支持力不需要分解,大大简化了计算。
【例3】如图所示,半径为R 的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合.转台以一定角速度ω匀速旋转,一质量为m 的小物块落入陶罐内,经过一段时间后,小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g . (1)若ω=ω0,小物块受到的摩擦力恰好为零,求ω0;
(2)若ω=2
R
g
,求小物块受到的摩擦力大小和方向. 【解析】(1)以m 为研究对象,其受力如图所示,将系统加速度分解到陶罐半径方向、竖直方向,由牛顿第二定律,有
y ma mg =
解得 g a y =
则有 θθtan tan g a a y ==
而 θωsin 2
0R a =
解得 ω0=
R
g 2 a
a x
G
F f
F N
a a y F N
G
a
a x
a y
F N G
a
a x
a y
(2)ω>ω0,则滑块有沿斜面向上滑的趋势,摩擦力沿罐壁切线向下,如图所示,将重力、系统加速
度分解到陶罐半径方向、切线方向,由牛顿第二定律,有
y f ma mg F =+θsin
其中 θcos a a y = 而 θωsin 2
R a =
解得 mg F 2
3
f = 【总结】本题第(1)问采用斜交分解,使得加速度可直接求出,而第(2)问由于支持力、摩擦力两力互相垂直,所以将加速度分解到这两个力的方向,从而可以少分解力,直接求出摩擦力,并且这里不需要求出支持力。这样使本题的求解,相较传统的水平竖直分解要简单许多。
【例4】如图,水平地面上有一楔形物体b ,b 的斜面上有一小物块a ;a 与b 之间、b 与地面之间均存在摩擦.已知楔形物体b 静止时,a 静止在b 的斜面上.现给a 和b 一个共同的向左的初速度,与a 和b 都静止时相比,此时可能( )
A .a 与b 之间的压力减少,且a 相对b 向下滑动
B .a 与b 之间的压力增大,且a 相对b 向上滑动
C .a 与b 之间的压力增大,且a 相对b 静止不动
D .b 与地面之间的压力不变,且a 相对b 向上滑动
【解析】假设a 和b 相对静止,一起向左减速,则其共同加速度向右,以物块a 为研究对象,其受力如图所示(假设摩擦力沿斜面向上),将加速度分解到垂直、平行斜面方向,则由牛顿第二定律,有
x ma mg F =-θcos N
y ma F mg =-f sin θ
解得 x ma mg F +=θcos N ,y ma mg F -=θsin f 其中,加速度a 从0增加到了a .
可以看出 F N 一定增大了,即压力增大了。 若a 较小,θsin g a y <,F f 方向向上; 若θsin g a y =,F f =0;
若a 较大,θsin g a y >,F f 方向向下;
若a 太大,则F f 可能超过最大静摩擦力,物块a 就会相对斜面上滑。物块相对斜面上滑时,物块有竖直向上加速度,超重,因此整体对地压力大于整体重力。
本题选 BC.
【总结】本题若按常规将力分解到水平竖直方向,列、解方程较困难,而且也难以由结果一眼看出支持力、摩擦力变化趋势。而将加速度分解到支持力、摩擦力方向时,问题就一目了然。
F N G
a
a x a y
F f
F N
G
F f
a
a x
a y