4.2 连续控制器的离散化方法

教学模块4数字控制器的模拟化设计方法

教学单元2连续控制器的

离散化方法

教学单元2连续控制器的离散化方法

连续控制器的离散化——求连续控制器传递函数D(s)的等效离散传递函数D(z)。

离散化的基本原则——保证D(z)与D(s)具有相同或相近的动态性能和频率特性。

◆z变换法

◆差分变换法

◆双线性变换法

◆零极点匹配法

2.1 z 变换法

[]

)()(s D Z z D =控制器的输入

[]

)()(s E Z z E =数字控制器算法)]

()([)

(1

z D z E Z k u -= z 变换法的特点

（1）形式简单、直观，这种变换方法符合z 变换的定义，通过z 变换直接得数字控制器。

——直接用z 变换，由模拟控制器求数字控制器

sT

z e

=符合z 变换定义

z 变换的频率映射关系

（2）若D (s )稳定，则D

(z

)也稳定，而且变换前后频率不会

发生畸变。

z 变换法的特点

（3）产生频率混叠——将s 平面上角频率以采样角频率为周期的所有信号，都重叠地映射到z 平面上同一频率点的信号。 z 变换法的特点

T

k j T

T

k j k T j T

j s e

e

e

e z )()2()

2(1ωωπωπωωω+++====ωωs 平面角频率与z 平面角频率之间的关系为：

sT

z e

=按z 变换定义

（3）频率混叠现象

z

变换法的特点ω

j s =虚轴单位圆ω

σj s +-=左半平面单位圆内ω

σj s +=右半平面

单位圆外

（3）频率混叠现象

◆频率混叠将使数字控制器的频率响应与模拟

控制器的频率响应的近似性变差，很少使用

◆为防止混叠现象发生，需要提高采样频率

2.2 差分变换法

——把微分方程中的导数用有限差分来近似等

效，得到一个与给定微分方程逼近的差分方程⎩⎨

⎧前向差分

后向差分

（1）后向差分变换法

假设有模拟信号e (t )，后向差分变换：

()()()

T

k e k e dt t de 1--=T

z

s 1

1--=

Ts

z -=

11或

)

()(z E s E =令

后向差分变换拉氏变换

)

(1)(1

z E T

z s sE --=

z 变换

后向差分变换法亦称为后向矩形积分法——以后向矩形面积近视代替积分面积

——后向矩形积分法

t

e (t )

kT

…

…

T

kT e dt t e kT

T

k ⋅=⎰

-)()()1(

后向矩形积分法

设控制器传递函数为：()1()()U s D s E s s

==()

()

du t e t dt =——微分方程(1)(1)(1)()

()()kT kT kT k T k T k T

du t dt du t e t dt dt ---==⎰⎰⎰(1)()((1))()kT k T

u kT u k T e t dt

---=⎰

T

kT e dt t e kT

T

k ⋅=⎰

-)()()1(取后向矩形积分：

后向矩形积分法

()((1))()u kT u k T e kT T

--=⋅1

()()()U z z U z TE z --=z 变换

=T

z s 1

1--=1()1()()(1)/U z D z E z z T -==-数字控制器()1()()U s D s E s s

==模拟控制器后向差分变换法也称为

后向矩形积分变换法

后向差分变换对系统性能的影响ωj s =当T e T J T j T j z ωωωωarctan 2212111212111+=-++=-=对S 左半平面，

设ω

σj s +-=T

j T T j T T j T z ωσωσωσ-++-+=-+=112121115

.05.0=-z 5.05.0<-z ——半径小于0.5圆

——半径为0.5

的圆

后向变换对系统性能的影响：

◆若D (s )稳定，则D (z )一定稳定；◆数字控制器D (z )的频率产生畸变；◆是否存在频混叠？

——不存在频率混叠。

ωj s =当T e T J T j T j z ωωωωarctan 22

12111212111+=-++=-

=

解：用后向差分变换，将代入D (s )得

已知，T =0.015s ，用后向差分法求D (z )控制器及控制算法。20(4)()10

s D s s +=+()0.87(1)18.43()17.39(1)

u k u k e k e k =-+--()()()U z D z E z =()()11(10.87)(18.4317.39)z U z z E z ---=-T z s 11--=111111120420(14)18.4317.39()111010.8710z T T z z D z z T z z T ------⎛⎫-+ ⎪+--⎝⎭===-+--+例题：

z 反变换

数字控制算法：