浙江大学微积分复习资料

x ® x0 n ®+¥
lim xn = x0 ( xn ¹ x0 ) 的数列 {xn } 均有， lim f ( xn ) = A.
n ®+¥
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
1、 求： lim [ x 2 + 2 x + sin x - ( x + 2)]
x ®+¥
I = lim = lim
x ®¥ 1 x x ®+¥ 1 x x ®-¥ 1
同样， 极限 lim 2 也不存在；因为 lim+ 2 = +¥， lim- 2 x = 0.
x ®0 x ®0 x ®0
对于一些复杂的数列极限，一般利用函数极限的“归结原理”化为函 数极限进行计算. 函数极限的“归结原理”
设f ( x) 在 x0 的某领域内有定义，则： lim f ( x) = A Û 对任意满足
sin x x2 10、 求：lim( ) . x ®0 x
æ sin x - x ö sin x - x x3 I = lim ç1 + = e 6. ÷ x ®0 x è ø sin x - x cos x - 1 1 其中： lim = lim =- . 3 2 x ®0 x ® 0 x 3x 6 1
两个重要极限：
(1) lim
1 sin x 1 = 1； (2) lim(1 + ) x = e = lim(1 + x) x . x ®0 x ®¥ x ®0 x x
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
关于 “1 ¥ ” 型极限的计算：
设 lim f ( x) = 0， lim g ( x) = ¥，且 lim f ( x) g ( x) = A，则： lim (1 + f ( x) )
ln u L ¢Hosptial 法则 1 = lim = 0. u ®+¥ u u ®+¥ u
.
4、 求： lim
x ®0
1 - x2 - 1
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
1 - cos x ln(1 + x) - sin x 1 + x 【方法一】：I = lim = -3lim x ®0 x ®0 1 2 2x - x 3 1 + sin x 3 (1 + x) 2 = -3lim = . x ®0 2 2 1 x3 [ x - x 2 + o( x 2 )] - [ x - + o( x 3 )] 3 2 6 【方法二】：I = lim = . x ®0 1 2 2 - x 3
1
1
x
×
sin x - x
11、 求： lim( x sin x + cos x) x .
2
x ®0
I = lim (1 + ( x sin x + cos x - 1) ) x sin x + cos x -1
x ®0
1
×
x sin x + cos x -1 x2
1
= e2 .
其中： lim
x sin x + cos x - 1 sin x cos x - 1 1 1 = lim + lim =1- = . 2 2 x ®0 x ®0 x ®0 x x x 2 2
1
5、 求： lim(e - x) .
x x2 x ®0
【方法一】：I = lim (1 + (e - 1 - x) ) e
x x ®0
1
x
-1- x
×
e x -1- x x2
= e2 .
1
其中： lim
e -1- x ex - 1 1 = lim = . x ®0 x ®0 2 x x2 2
x 1
x ®0
=e .
1 2
6、 求： lim
sin x - tan x . x ® 0 tan x (e x - 1)ln(1 - x )
tan x(cos x - 1) I = lim = lim x ®0 x ®0 - x3
1 x × (- x 2 ) 1 2 = . 3 -x 2
7、 求： lim
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
目
一. 二. 三. 四. 五.
录
极限与连续 ......................................................................................2 导数与微分 ....................................................................................12 不定积分 ........................................................................................23 定积分及其应用 ............................................................................26 级 数 ............................................................................................33
( x 2 + 2 x + sin x) - ( x + 2) 2 x 2 + 2 x + sin x + ( x + 2) -2 + x -1 sin x + 4 x -1
x ®+¥
= lim
-2 x + sin x + 4 x 2 + 2 x + sin x + ( x + 2)
x ®+¥
x ®+¥
1 x2
2 u ®+¥
(u 2 - 2u - 5) - (u - 2) 2 u 2 - 2u - 5 + (u - 2)
u ®+¥
= lim
2u - 1 u 2 - 2u - 5 + (u - 2)
u ®+¥
= 1.
1 1 2、 求： lim( - x ). x ®0 x e -1
ex - 1 - x ex - 1 - x ex - 1 1 = lim = lim = . x ® 0 x (e x - 1) x ®0 x ®0 2 x x2 2 1 [1 + x + x 2 + o( x 2 )] - 1 - x ex - 1 - x 1 2 【方法二】：I = lim = lim = . x 2 x ® 0 x (e - 1) x ®0 x 2 【方法一】：I = lim
4= lim
u ®+¥
u ®+¥
1
9、 求： lim(cos x)
x ®0
sin 2 x
.
I = lim (1 + (cos x - 1) )
x ®0
1 cos x -1 × cos x -1 sin 2 x
=e .
-
1 2
1 - x2 cos x - 1 1 其中： lim = lim 22 = - . 2 x ®0 x ® 0 sin x 2
1 + 2 x -1 + x -2 sin x + (1 + 2 x -1 )
= -1.
【注】：计算 x ® -¥ 时的极限，一般宜通过变量代换x = -u 化为 u ® +¥的极限. 【例如】： lim [ x 2 + 2 x - 5 + ( x + 2)].
x ®-¥
令x = -u，则：I = lim [ u - 2u - 5 - (u - 2)] = lim
常见的等价无穷小量：
· 当x ® 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ~ x ； (2) tan x ~ x ； (3)ln(1 + x) ~ x ； (4) e x - 1 ~ x ； x2 ； (8) (1 + x)a - 1 ~ a x. 2
(5) arctan x ~ x ；(6) arcsin x ~ x ； (7) 1 - cos x ~
x®a x®a g ( x) x ®a x®a
= e A.
由于 lim ln (1 + f ( x) )
x®a
g ( x)
= lim
x®a x ®a
ln (1 + f ( x) ) f ( x)
g ( x)
´ [ f ( x) g ( x)] = A，
根据连续函数的性质， lim (1 + f ( x) )
3、 求： lim
x ®-¥
x 2 + sin x - x . x + ln x 1sin u +1 u2 = -2. ln u -1 + u
I = lim
x =- u
u ®+¥
u - sin u + u = lim u ®+¥ -u + ln u
2
其中： lim
ln(1 + x) - sin x
3
x®a
= e A.
1 é ù = lim ê(1 + f ( x) ) f ( x ) ú x®a ë û f ( x) g ( x)
此类极限计算的说明： lim (1 + f ( x) )
g ( x)
= e A.
一些常见函数的极限：
xa a xa -1 a (a - 1)L (a - k ) xa - k = lim = L = lim = 0. x ®+¥ e x x ®+¥ x ®+¥ ex ex 【注】：运用(k + 1) 此L¢Hosptial 法则后，可以使a - k £ 0. (1) lim ln x 1 ln x = lim = 0. 特别的， lim = 0. a a x ®+¥ x x ®+¥ a x x ®+¥ x 1 ln x x (3) 当 a > 0 时， lim+ xa ln x = lim+ -a = lim+ = -a lim+ xa = 0. -a -1 x ®0 x ®0 x x ® 0 -a x x ®0 x x x 【注】：极限 lim e 并不存在，因为 lim e = +¥， lim e = 0. (2) 当 a > 0 时， lim
x
x3 x 5 (2) sin x = x - + + o( x5 )； 3! 5! x3 2 (4) tan x = x + + x 5 + o( x5 )； 3 15 x3 x5 (6)arctan x = x - + + o( x 5 ) 3 5 a (a - 1) 2 (8) (1 + x)a = 1 + a x + x + o( x 2 ). 2!
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
8、 求： lim
4 x2 + x + 1 + x + 1 x 2 + sin x
x =- u 2
x ®-¥
.
1 1 1 + 2 -1+ u u u = 1. sin u 1- 2 u
I = lim
4u - u + 1 - (u - 1) u 2 - sin u
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题 一. 极限与连续
函数极限计算的一般方法：
(1) 先确定极限的类型；特别要注意在哪一点求极限. (2) 经过初等变换和无穷小量的等价， 化简函数表达式(使求导计算尽可能简单)； (3) 分母若为低阶 (2-3 阶)无穷小量，可用 L¢Hosptial 法则； 若为高阶无穷小量，可考虑用 Taylor 展开，不过在应用 Taylor 展开时，要求 对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”.
1 2 + cos x x [( ) - 1]. x ® 0 x3 3
I = lim
x ®0
e
æ cos x -1 ö x ln ç 1+ ÷ 3 ø è
-1
x
3
= lim
x ®0
x ln(1 +
cos x - 1 1 ) - x2 cos x - 1 1 3 = lim = lim 2 2 = - . 3 2 x ® 0 x ® 0 x 3x 3x 6
常见函数的 Maclaurin 展开式：
· 常见函数的Maclaurin展开式:(最高展开到 x5 ) x 2 x3 (1) e = 1 + x + + + o( x 3 )； 2! 3! x2 x4 (3) cos x = 1 - + + o( x 4 )； 2! 4! x3 3 5 (5) arcsin x = x + + x + o( x 5 )； 6 40 x 2 x3 (7)ln(1 + x) = x - + + o( x3 )； 2 3
2
【方法二】：记 y = (e x - x) x ，则： lim ln y = lim
x ®0 x
ln(e x - x) ex - 1 x 1 = lim = lim = . 2 x x x ®0 x ® 0 2 x (e - x ) x ® 0 2 x (e - x ) x 2
1 x2
因此， lim (e - x)