第二章 用拉格朗日方程建立 系统数学模型

第二章用拉格朗日方程建立系统的数学模型

§2.1概述

拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模

特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范

适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。

§2.2拉格朗日方程

1．哈密尔顿原理

系统总动能

（2－1）系统总势能

（2－2）非保守力的虚功

（2－3）哈密尔顿原理的数学描述：

（2－4）2．拉格朗日方程：

拉格朗日方程的表达式：

（2－5）（推导：）

将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有

（2－6）利用分步积分

（2－7）并注意到端点不变分（端点变分为零）

（2－8）故

（2－9）从而有

（2－10）由变分学原理的基本引理：

（设 n维向量函数M(t)，在区间内处处连续，在内具有二阶连续导数，在处为零，并对任意选取的n维向量函数，有

则在整个区间内，有）

我们可以得到：

（2－11）即

（2－12）对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型，则阻尼力与广义速度成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D，

（2－13）阻尼力产生的广义非保守力为：

（2－14）对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为：

（2－15）如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为），则系统的拉格朗日方程为：

（2－16）§2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用

在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。

1．集中参数模型中应用

L

u

O

【例】质量为M的长直杆上有一个集中质量m

可在杆上滑动。杆绕固定点摆动，建立其自由振动方程。

势能( 以O点为势能零点)

动能

选广义坐标为，且，

代入拉格朗日方程得到：

以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统降阶的途径。

2．连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用

对一维连续系统，假设位移为：

（2－17）则系统具有N个自由度，N个广义坐标为，不一定是系统的真实模态，可以是假设的一种变形模态。只要满足以下条件：

（1）是位移形函数，反映某种可能的位移形状

（2）构成一组线性无关向量

（3）连续导数阶次满足势能中所要求的阶次

（4）满足位移边界条件（不一定满足力边界条件）

2.1 杆的纵向振动

p(x,t)

L

x

u(x,t)

轴向位移为

(2－14)

(2－15)

将代得到：

(2－18)

(2－19)其中

(2－20)分布轴力p(x，t) 在广义坐标上的虚功

（2－21）广义力

（2－22）代入拉格朗日方程得：

(2－23)或

（2－24）x

y

p(x,t)

u(x,t)

L

（2008-3-26）

2.2 梁的横向振动

横向位移函数

（2－22）

动能

（2－25）势能

（2－26）

，（2－27）分布外力做的功：

（2－28）

（2－29）代入拉格朗日方程：

（2－30）

或矩阵方程：

（2－31）

注意假设模态法与有限元素法的区别：这里的是对整个结构

的假设模态（相当于整个结构变形的形函数），不是单元的位

移形函数，对复杂结构，确定精度（品质）较高的假设模态是

比较困难的。

3. 粘性阻尼系统中阻尼的处理

假设结构中具有分布粘性阻尼力

（2－32）广义力

（2－33）

（2－34）代入拉格朗日方程得到

（2－35）上式中为其他的广义非保守力

§2.4 坐标约束与拉格朗日乘子

通常对一个N 维结构系统，采用拉格朗日方程建立振动方程时，广义坐标是线性独立的，但是实际问题中，有时希望采用一套不是独立的坐标来建立方程，可能更加方便。

记系统不独立的坐标为

则被约束坐标数

C=M-N （2－36）对广义坐标，有C个约束方程：

（2－37）如果令每一个坐标取变分，则：

（2－38）

（2－39）

上式说明这M个不独立，而是由上述C个方程联系起来。

在哈密尔顿原理式中，将坐标数由N扩展到M，即得到：

（2－40）注意，由于此时的不独立，不能直接由变分学基本原理，得出方括号内的项等于零的结论。

对上面的约束方程引入拉格朗日乘子（或称为拉格朗日乘子函数），得到：

（2－41）代入哈密尔顿原理方程式中，

（2－42）我们可以选择C个，使C个相应的方括号表达式为零，那么其余N=M-C个独立的对应的方括号内的项必为零。

从而得到带约束的拉格朗日方程（修正的拉格朗日方程）为：

(2－43)联立上两个方程，就可确定M+C个未知数

【应用实例】

求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。

L

x

u(x, t)

【解】令，（2－44）

即假设模态为

（2－45）约束边界条件：

（2－46）第一个条件由形函数满足，第二个条件实际为：

（2－47）这就是约束方程。

根据2.3节的公式（2-20），可以求出轴向振动的杆的质量矩阵和刚