数理方程第12讲勒让德多项式资料

dr 2
dr
和球谐函数方程
（1.1）
1
sin
sin
Y
1
sin2
2Y
2
l(l
1)Y
0
（１.2）
(1.2)式的解 Y ( ,) 与半径 r 无关，故称为球谐函数
或简称为球函数．
球谐函数方程进一步分离变量，令 Y ( ,) ( )()
得到关于 的常微分方程
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
第六章 勒让德多项式
6.1 勒让德方程及其解的表示 1 勒让德方程 勒让德多项式 在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 r2
(r2 r
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
1
r2 sin 2
2u
2
0
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
r2 d2R 2r dR l(l 1)R 0
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
如 l 为 2n 1 （即为奇数）时，则 P2n1(x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2n1 (0) 0
d dx
[(1
x2
)Pl(
x)]
l(l
1)Pl
(x)
0
d dx
[(1
x2
)Pn
(
x)]
n(n
1)Pn
(
x)
0
两式相减，并在[-1,1] 区间上对x积分，得
1
1{Pn
(
x)
d dx
[(1
x
2
)Pl(
x)]
Pl
(
x)
d dx
[(1
x
2
)Pn(
x)]}dx
1
[n(n 1) l(l 1)] 1Pl (x)Pn (x)dx
1)
m2
sin2
0
称为 l 阶连带勒l让德方程.
（1.3）
令 x cos 和 y(x) (x)
把自变数从 换为 x ，则方程（1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
(1
x2 )
d2 y dx2
2x
dy dx
l(l
1)
m2 1 x2
y
0
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
dxl
dx
注意到 (x2 1)l (x 1)l (x 1)l 以 x 1 为 l 级零点，
而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5) 531
因此， (2n)! (2n)!!(2n 1)!!
(2) 勒让德多项式的微分表示
Pl (x)
1 dl 2l l ! dxl
(x2
1)l
（1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式(1.10)和（1.7）是相同的．
上式具有多项式的形式，故称 Pl (x) 为 l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
式（1.7）即为勒让德多项式的级数表示．
注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 (x) 1
P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos 2
1)
Pl (x) (1)l Pl (x)
（2.1）
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，
l 为奇数时 Pl (x) 为奇函数
(3) 勒让德多项式的正交性及其模
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l
1 0
2 勒让德多项式的表示
(1) 勒让德多项式的级数表示
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 Pl (x)
为
[l]
Pl (x)
2
(1)k
k 0
2l
(2l k!(l
2k)!
xl2k
k)!(l 2k)!
（1.7）
式中
[
l] 2
l
l, 2 1 2
,
l 2n l 2n 1
(n 0,1,2, )
P3 (x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
(5cos 3
3cos
)
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos
4
20
cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70
x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30
cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
Nl2
22l
1 (l !)2
1 dl (x2 1)l 1 dxl
d dl1(x2 1)l
dx
dxl 1
dx
1 22l (l!)2
dl (x2 1)l
dБайду номын сангаасl
dl1(x2 1)l dxl 1
1 1
1 22l (l!)2
1 dl1(x2 1)l 1 dxl1
d dx
dl (x2 1)l
因为上面等式左边的积分值为
(1 x2 )[Pn (x)Pl(x) Pl (x)Pn(x)] |11 0
1
所以当 n l 时，必然有 1Pl (x)Pn (x)dx 0
成立．
（2）模 （利用分部积分法证明）
根据
Nl2
1
1[Pl
(
x)]2
dx
为了分部积分的方便，把上式的 Pl (x)用微分表示给出，则有
(n l) (n l)
当
nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d，x 0
(2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1,2, )
(2.4)
下面给出公式（2.2），及其模(2.4)的证明
【证明】 （1）正交性
勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有
无关，则 m 0 ，即有
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
（1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
(1.6)
dx
dx
【证明】 (略）
6.2 勒让德多项式的性质
1 勒让德多项式的性质 (1) 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） Pn (x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn1(x) 的零点与 Pn (x) 的零点互相分离．
(2) 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
（１.8）
l 2n （即为偶数）时．，则 P2n (x) 含有常数项，即
（１.7）中 k l 2 n 的那一项，所以
P2n (0)
(1)n
(2n)! 2n n!2n n!
(1)n
(2n 1)!! (2n)!!
（１.9）
式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4) 6 4 2