收敛数列的性质(经典课件)
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§２ 收敛数列的性质
教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。
教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证
明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 教学方法：讲练结合。 教学学时：4学时。
引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞
=的方法，这是极限较基本的内容，要
求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。
一、收敛数列的性质：
定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。
分析：设数列{}n a 有两个极限b a ,，只需证明b a =，即证b a -可小于任一给定充分小的数。 证明：设a a n n =∞
→lim 与b a n n =∞
→lim ，根据数列极限的定义，有
⎪⎩⎪⎨⎧<->∀∈∃<->∀∈∃>∀++.
,,.
,,,02211εεεb a N n N N a a N n N N n n 有有 取{}21,m ax N N N =.同时有,N >∀
εε<-<-b a a a n n ,,于是，,N >∀ε2)()(<-+-≤-+-=-b a a a b a a a b a n n n n ， 这就说明b a =，从而收敛数列的极限唯一。 定理2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。 分析：即证.,,0M a N n M n ≤∈∀>∃都有
证明：设a a n n =∞
→lim ，根据数列极限定义，对10＝ε，+∈∃N N ，N n >∀，有1<-a a n ，从而
N n >∀，有a a a a a a a a n n n +<+-≤+-=1，取{}
1,,,,max 21+=a a a a M N Λ，
于是，.,M a N n n ≤∈∀都有即收敛数列必为有界数列。
注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列{}
(1)n -有界，但它不收敛。 定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞
=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得
当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。
证明：设0>a ，取)0('0>-=a a ε，则0>∃N ，N n >∀，
有'