分部积分法

sinn1 x cos x ( n 1) I n 2 ( n 1) I n
1 n 1 n1 故 I n sin x cos x I n 2 ( n 3) n n 1 n 1 n1 n n 2 即 sin xdx sin x cos x sin xdx n n 1 n1 n n 1 n 2 同理 cos xdx cos x sin x cos xdx n n
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1 1 ex ex I1 x 2 dx x 2 dx (e 1) (e 1) 1 ex x dx x 2 dx 1 e (e 1) 1 ex ex 1 x dx de (e x 1)2 1 ex 1 1 x x dx de de (e x 1)2 1 ex
第三节 分部积分法
第四章
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一、基本内容
问题
x xe dx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数 u u( x ) 和 v v ( x )具有连续导数, uv u v uv , uv uv uv ,
uvdx uv uvdx,
x 2e x 2 xe x dx
2 x x
再次使用分部积分法
2 x x x x e 2 ( xe e ) C. x e 2 xde
在接连几次应用分部积分公式时，注意 注意： 前后几次所选的 u 应为同类型函数.
说明1: 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数，或者是 幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函数
x 1 1 x I ] C x 2 [ x ln(e 1) x 2(e 1) 2 e 1
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例10： 证明递推公式
n 2 2 I tan x (sec x 1) d x 证: n
tan
n 2
x d(tan x ) I n 2
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1 1 cos x n2 1 即 n dx dx n 1 n 2 sin x n 1 sin x n 1 sin x
( n 2)
同理 1 1 sin x n2 1 cosn xdx n 1 cosn1 x n 1 cosn2 x dx
或
udv uv vdu.
分部积分公式
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例1
求积分
x cos xdx .
解（一） 令 u cos x ,
x2 xdx d ( ) dv 2
x2 x2 x cos xdx 2 cos x 2 sin xdx 显然， u, v 选择不当，积分更难进行.
tan n1 x I n 2 n1
注:
或
计算： tan4 x dx ？
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例11：求 I n sin n x dx
n 1 I sin x d cos x 解: n
( n 3)
sin n1 x cos x ( n 1) sin n 2 x cos 2 xdx
例9：求积分 解： 令 u x ,
xe x I x 3 dx (e 1)
ex dv x 3 dx (e 1)
ex 1 1 x 则 v x 3 dx x 3 de (e 1) (e 1) 2(e x 1)2
x 1 1 I x 2 x 2 dx 2(e 1) 2 (e 1) 记 1 I1 x 2 dx (e 1)
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e sin t e sin t d t
t
t
1 x
2
x
t 1
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解法2
用分部积分法
1 arctan x I d e 1 x2 arctan x 1 arctan x x e e dx 3 2 2 1 x (1 x ) 2 1 x arctan x arctan x e d e 1 x2 1 x2 1 arctan x e (1 x ) I 2 1 x
1 2 x arctan x ln(1 x ) C 2
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例6 求积分
解
I (ln x )2dx
I x (ln x )2 xd (ln 2 x ) x (ln x )2 2 ln xdx x (ln x )2 2[ x ln x xd (ln x )] x (ln x )2 2 x ln x 2 dx
cos x cos x C x x x cos x sin x 2 C x
再求积分反而复杂.
说明: 此题若先求出
2 sin x 2 cos x cos x d x 2 x f ( x ) dx x x
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x arctan xdx .
x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
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3 x 例4 求积分 ln xdx .
3
1 4 ln xdx x ln xdx 解 4
1 4 1 3 x ln x x dx 4 4 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
1 x ln(e 1) x C e 1 x 1 1 x I ] C x 2 [ x ln(e 1) x 2(e 1) 2 e 1
x
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1 I1 x 2 dx 的另一种解法： (e 1) 1 x e t , 则 x ln t , d x d t 令 t 1 1 1 1 1 I1 dt ( 2 ) dt 2 t t 1 ( t 1) ( t 1) t 1 ln | t | ln | t 1 | C t 1 1 x x ln(e 1) x C e 1
二、内容小结
分部积分公式 1. 使用原则 :
u v dx u v uv dx v 易求出, uv d x 易积分
递推公式
2. 使用经验 : “反对幂指三, 前 u 后 v 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 基本积分表 (3)
(1) ( 2)
2 a x 2 2 2 2 2 2 x a dx x a ln| x x a | C 2 2 2 a x 2 2 2 2 2 x a dx x a 2 ln| x x a | C 2 2
说明2：若被积函数是幂函数和对数函数，或者是 幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对
数函数或反三角函数为 u 。
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例5 解
求积分 I arctan xdx
I x arctan x xd (arctan x )
x x arctan x 2 dx 1 x 1 1 2 x arctan x dx 2 1 x2
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1 例12：求 I n n dx sin x 1 1 dx n 2 d cot x 解: I n n 2 2 sin x sin x sin x ( n 2) cot x n 2 cot x ( 2 n) sin1 n x cos x dx sin x cos x 1 sin2 x n1 ( 2 n) dx n sin x sin x cos x n 1 ( 2 n ) I n ( 2 n ) I n 2 sin x 1 cos x n2 故 In I n 2 ( n 2) n 1 n 1 sin x n 1
x(ln x )2 2 x ln x 2 x C
说明3：若被积函数是对数函数或者是反三角函数 的幂，就设 u 是这个函数本身。
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例7 解
求积分
e
x
sin xdx .
x
e
x
x
sin xdx sin xde
x
e x sin x e x d (sin x )
2 2
2 2
2

dx x2 a2
2 x a 2 2 2 2 2 2 x a dx x a ln| x x a | C 2 2 2 x a 2 2 2 2 2 2 x a dx x a ln| x x a | C 同理 2 2
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为 u ，使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
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例3 解
求积分
1 2 arctan xd ( x ) x arctan xdx 2 x2 1 2 arctan x x d (arctan x ) 2 2 x2 1 x2 arctan x 2 dx 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 2 )dx 2 2 1 x
1 x arctan x I e C 2 2 1 x
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I
e arctan x
2
3
(1 x ) 2
dx
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例 14：已知 f ( x ) 的一个原函数是
cos x , 求 xf ( x )dx . x
解:
x f ( x ) d x x d f ( x ) x f ( x ) f ( x ) d x
e sin x e cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e x d cos x )
x x
e (sin x cos x ) e sin xdx 注意循环形式
x e x e sin xdx (sin x cos x ) C . 2
解（二） 令 u x , cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
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例2
解
求积分
2 x x e dx .
2 x 2 x x de x e dx
( n 2)
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例13：求
I
e arctan x
(1 x 2 ) 2
3
dx .
解法1 先换元后分部 令 t arctan x , 即 x tan t , 则 et I 3 sec 2 t d t e t cos t d t sec t
e t sin t e t cos t e t cos t d t 1 故 I (sin t cos t ) e t C 2 x 1 arctan x 1 C 2 2 e 1 x 2 1 x
说明4：做多次分部积分时，要注意观察是否会出现 循环形式。
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例8 ：
解: I x x 2 a 2
x2 dx 2 2 x a
2 2 2 ( x a ) a dx x x2 a2 2 2 x a
x x a x a dx a