第四章-镜像法

22
2015年8月1日星期六
柱面镜像法

例4
线密度为ρl 的无限长线电荷平行置于接地无限大 导体平面前，二者相距d, 求电位及等位面方程。

[分析]
边界条件： • 导体平面为等位面
• 接地，电位为零
• 无穷远处电位为零

d
ρl
x
源分布 • 导体平面前方仅有线电荷ρl
23 2015年8月1日星期六
2015年8月1日星期六
镜像法

镜像法推广
13 2015年8月1日星期六
镜像法
14 2015年8月1日星期六
镜像法
15 2015年8月1日星期六
镜像法
16 2015年8月1日星期六
镜像法

例2 如图示，求点电荷受到的导体板作用力 [解] 点电荷距周围导体板的距离均为d， 对导体板作该点电荷的镜像电荷， 则导体板对点电荷的作用力等于 其镜像电荷的作用力：
Note：上式m不同根的选取需借助b>a条件进行判断， 这里直接给出了结果。
30 2015年8月1日星期六
柱面镜像法

两导体圆柱间的电位差：
l U 1 2 [1n (m1 ) 1n (m2 )] 2 0 l b b2 a 2 l b b2 a 2 1n 1n 2 2 2 0 b b a 0 a

[分析] 介质分布： x<0 : ε1及x>0: ε2

源分布：
• x>0区域仅有点电荷q • x<0区域无电荷 • x=0介质分界面上存在束缚面电荷 边界条件
1 2 2 n n
32
ε1
ε2 d
q
x

1
2015年8月1日星期六
2 1 0
介质平面镜像法


[模型I] 空间全部均匀填充介质ε2 ，点电荷q、q’分别置 于(-d,0,0)点和(d,0,0)点，求x>0 空间的场分布 y [分析]
1
2015年8月1日星期六
2015年8月1日星期六
hmlu@mail.xidian.edu.cn
第四章 静态场的解

静态场问题
R E r (r ')dV ' 3 V 4 0 R 1
电荷分布
(r )
1 4 0
0 4

(r ')
R
电场分布
V
dV '
B(r )

采用镜像法分析问题时，位于导体上方的电荷和导体面上
的感应电荷共同作用，激励导体上方的场。

镜像法是应用唯一性定理的典型范例。
7
2015年8月1日星期六
镜像法

平面镜像法
q
h

8 2015年8月1日星期六
镜像法
例题1 求置于无限大接地平面导体上方距导体面h处的点 电荷q的电位

分析
• 当z>0 时，▽2φ=0 • 当z=0时，φ=0； • 当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。 (点（0,0,h)除外)；


q
40 r1

q'
40 r2
r2
r
q’
q d

球面电位为零
b
19
q
2015年8月1日星期六
40 r10

q' 40 r20
0
球面镜像法
q 40 r10


q' 40 r20
0
r10、r20是从q、q′到球面上点的距离 q′和b待定 取球面上的点分别位于A、B两点， 可以得到确定q′、b的两个方程： a q q' q' q 0 d d a a b 2 q q' a 0 b d a ab d q
3º 区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值
2 , 0 1 n
混合问题
2015年8月1日星期六
0
2
5
唯一性定理

唯一性定理 对任意的静电场，当空间各点的电荷 分布与整个边界上的边界条件已知时，空 间各处的场就唯一确定。
9 2015年8月1日星期六
镜像法
r+
q
r-
h
h
-q
2015年8月1日星期六
10
镜像法

点电荷分别位于z=0平面的上下侧
• 电位分布：
2 2
r [ x y ( z h) ] , r [ x y ( z h) ]
2 1/ 2 2 2
1 q q ' 40 r r

4 2015年8月1日星期六
边值问题的分类

边值问题按其边界条件不同可分为三类：
2 或 0 1º 已知区域边界上的位函数值： | 0 荻利克莱（Dirichlet）问题 2 2º 已知待求函数在区域边界上的法向导数值 n 0 Neumann问题
2015年8月1日星期六
25
柱面镜像法

等位面方程为
( x d )2 y 2 2 m ,m 0 2 2 (x d ) y
m 1 2md 2 x m2 1 d y m2 1
2 2 2
m为等位面参数
2 x x y y R 0 0 0 2 2
• 介质分布： x>0: ε2
• 源分布： x>0空间中仅有点电荷q • 边界条件：x=0处待定! q’ d
r1
r2 q d ε2 Region2
33
x
• 空间任意点电位：
1 q q' 2 42 r2 r1
静磁场Review



基本要求 • 熟练掌握磁通的连续性原理、安培环路定律、恒定磁 场的基本方程、矢量磁位和磁场的边界条件。 • 掌握电流分布已知时磁感应强度和磁场强度的计算， 矢量泊松方程和磁偶极子及其产生的场，互感和自感、 磁场能量、能量密度、磁场力的概念和求解 重点： • 磁通的连续性原理、安培环路定律、静磁场基本方程 和边界条件的数学表达式及其含意。 难点： • 静磁场的计算方法、电感的计算。
柱面镜像法


[模型I]沿z向分布无限长线电荷等距置于x=0平面两侧， 距离d，线密度分别为ρl ，-ρl电位及等位面方程。 y [分析] 边界条件： • 导体平面为等位面 • 等距，电位为零
-ρl d
d
ρl
x
• 无穷远处电位为零

源分布 • 导体平面前方仅有线电荷ρl
24
2015年8月1日星期六
• 使用两个等效电荷：

一个是q′，其位置和大小由上式确定； 另一个是q″, q″=-q′, q″位于球心。 q q’ q”
d
2015年8月1日星期六
b
21
球面镜像法

如果导体球不接地，且带电荷Q，
• 球面是等位面， • 导体球上的总电荷为Q • 使用两个等效电荷：

q d
a Q
q′位置和大小同上 q″的位置也在原点，但q″=Q-q′, 即q″=Q+qa/d q d q’ q” b
2 1/ 2
• 电场分布：
qx 1 1 Ex 3 3 4 0 r r qy 1 1 Ey 3 3 4 0 r r q zh zh Ez 3 3 4 0 r r
11
2015年8月1日星期六
2md m2 1 R0 2 , x0 2 d , y0 0 m 1 m 1
26 2015年8月1日星期六
柱面镜像法
• 该问题的等位面为一簇圆柱面，圆心在(x0, y0)，半径是R0 每给定m(m>0)值，对应一个等位圆柱面，其电位为 ：
l 1n(m) 2 0
• • • • m>1时x>0，电位为正 m<1时x<0，电位为负 m=1时x=0，电位为零 可用来计算无限长圆柱导体的静电场问题

单位长度导体间的电容：
C
l
U

0
b b2 a 2 1n a

若b>>a时
C
0
2b 1n a
31
2015年8月1日星期六
wenku.baidu.com质平面镜像法

例6
设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x<0 及x>0 的半空间，在介质 2 中点(d, 0, 0)处有一点 电荷q, 求空间各点的电位。 y
q 2 ˆ F1 a 2 y 4 0 (2d ) q 2 ˆ F2 a 2 x 4 0 (2d ) ˆ x 2da ˆy 2da q2 F3 4 0 [(2d ) 2 (2d ) 2 ] (2d ) 2 (2d ) 2
d d
F F1 F2 F3
17 hmlu@mail.xidian.edu.cn
电流分布
J (r ') R V R3 dV ' 0 J A dV V 4 R
磁场分布
3 2015年8月1日星期六
第四章 静态场的解

静态场问题可分为两类：
• 一类是前面讨论的已知源分布求解场的分布型问题；
• 一类是已知位场方程和位场在边界上的条件来求解场 的边值型问题。

边值型问题的空间场分布可以化为求解给定边界条 件下位函数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边 值问题。 拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，可用解析法、数 值计算法、实验模拟法及图解法等方法求解。
柱面镜像法

以原点为电位参考点
l r 1n 0 20 r l r0 1n 2 0 r
l r 1n 20 r
y
r-ρl d
d
r+
ρl x
l ( x d )2 y 2 ( x, y ) 1n 40 ( x d )2 y 2
2015年8月1日星期六
y
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1
ρl a (b,0) m>1
2d
x
29
柱面镜像法

镜像法参数的确定：
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1

b m b
b2 a 2 ,m 1 a b2 a 2 ,m 1 a
28
2015年8月1日星期六
柱面镜像法

由圆柱面镜像法等位面的公式知：
x x0 y y0
2
2
R0
2
2md R0 2 m 1
m2 1 x0 2 d m 1
2md a 2 1 m m2 1 d b 2 m 1
a -ρ l (-b,0) m<1
2015年8月1日星期六
球面镜像法

例3 半径为a的接地导体球，点电荷位于距球心d处， 求球外任一点的电位。 [分析] • 球外仅有点电荷q，距球心距离d • 球面是等位面，半径a，接地，电位为零 q a

d
18 2015年8月1日星期六
球面镜像法

[模型I] 半径为a的球形边界面，点电荷q位于距球心d处， 球 内距球心b处置以点电荷q’，求球外任一点的电位。 [分析] • 球外仅有点电荷q，距球心距离d • 空间任一点电位由点电荷q和点电荷q’共同决定 r1
• 以上定理表明，只要给定了介质分布和电荷 分布以及边界上电位满足的边界条件，则场被 唯一确定，不会有两组不同的解满足同样的场 方程和边界条件。
6
2015年8月1日星期六
镜像法

镜像法是解静电边值问题的一种特殊方法，主要用来求解 分布在导体附近的电荷产生的场。

对于架设在地面上的双线传输的电场分布可以采用镜像法 来分析，此时，地面可作为无穷大导体平面。
镜像法

导体表面的面电荷密度： ρS=Dn
qh S 0 Ez 2 ( x 2 y 2 h 2 )3 / 2

导体表面的感应电荷量
qin S dS qh dxdy 2 ( x 2 y 2 h 2 )3/ 2 q
12
r10
d
q’ r20 b A B
q' q q r20 |d a| r10 q 4 0 r10 q' 4 0 r20 0
20
2015年8月1日星期六
球面镜像法

若导体球不接地，可用镜像法和叠加原理求球外 的电位。
• 球面是等位面， • 导体球上的总感应电荷为零 q d a
27 2015年8月1日星期六
柱面镜像法

例5 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距 离是 2b，求导体单位长的电容。
a
2b
a

[解]设两个导体圆柱单位长带电分别为ρl和-ρl，利用柱 面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷ρl和-ρl代 替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别 为 φ1 和 φ2 。