圆锥曲线椭圆及标准方程

若2a =F1F2轨迹是什么呢？
轨迹是一条线段
若2a <F1F2轨迹是什么呢？
轨迹不存在
二、椭圆的标准方程的推导
Y
YM
F1 O
F2 X
F2 M
O
X
F1
方案一
方案二
思考 观察椭圆的形状 , 你认为怎样选择坐标
系才能使椭圆的方程简 单 ?
类比利用圆的对称性建 立圆的方程的过程 , 我
们根据椭圆的几何特征 , 选择适当的坐标系 , 建
y
P
O
F2 x
图2.1 ? 3
由图2.1? 3可知,| PF1 ?| PF2 |? a,| OF1 |?| OF2 |? c,
| PO |? a 2 ? c2 .
三、归纳总结椭圆方程与图像
定义 图形 方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
?
y2 b2
3）区别焦点所在坐标轴的依据是看分母的的大小。
? 1(a
?
b
?
0)
ox
F1
(y? c)2 ? x2 ? (y? c)2 ? x2 ? 2a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
由椭圆的定义可知 ,2a ? 2c, 即a ? c, 所以a 2 ? c2 ? 0.
F1
思考讨论 观察图2.1? 3 ,你能
从中找出表示 a, c, a 2 ? c2 的线段吗?
焦点是 F1(? c,0) F2 (c,0) ，中心在坐标原点
的椭圆方程 ,其中 a 2 ? b2 ? c2
椭圆的标准方程:
y
M
焦点在x轴：ax22
?
y2 b2
?
1?a
?
b?
0?
F1 o F2 x
(x? c)2 ? y2 ? (x? c)2 ? y2 ? 2a
y
F2
M
焦点在y轴：ay22
?
x2 b2
四、典型例题
例1.下列方程哪些表示椭圆？哪些是标准方程，若是,试确定a， b的值并写出焦点坐标？
x2
y2
(1 )
?
?1
25 16
x2
y2
(2) ?
?1
16 16
x2
y2
(3) ?
?1
25 9
( 4 )9 x 2 ? 4 y 2 ? 36
评注：1）标准方程的特点：方程的左边是平方和，右边是1.
2）求a、b、c及焦点坐标时先化为标准式方程。
立它的方程 .
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线
为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆
y
的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的
M
和等于常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的
坐标分别是(? c,0)、(c,0) .
由椭圆的定义得，限制条件：
圆锥曲线
? 解析几何是在坐标系的基础上，用坐标表 示点、用方程表示点的轨迹——曲线（包 括直线）。通过研究方程的性质，进一步 研究曲线的性质。也可以说，解析几何是 用代数的方法研究几何问题的一门数学学 科。本章是平面解析几何内容中的圆锥曲 线部分，是在学生已掌握平面几何知识与 平面直角坐标系、平面向量、两点距离公 式及基本初等函数、直线与圆的方程等知 识的基础上学习的。本章主要内容有：椭 圆、双曲线、抛物线。
关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少? 在我们的实际生活中有这些曲线吗? 它们分别给我们什么印象?
星系中的椭圆
用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥
面的顶点时，可得到 两条相交直线 ；当平面与圆锥 面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一 个圆．当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察 截线的变化情况，并思考： ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具 有哪些几何特征？
?
1
?a
?
b?
0?
ox
F1
y2 a2
?
x2 b2
?
1
?a
?
b?
0?
焦点 a,b,c之间的关系
F(±c，0)
F(0，±c)
c2= a 2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 y2项分母较大.
由椭圆定义可知 2a ? 2c ,即 a ? c , 所以 a 2 ? c 2 ? 0, 设
a 2 ? c 2 ? b2 ( b ? 0 ), b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2
两边除以 a 2 b 2
叫做椭圆的标准方程.
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
b
?
0 ).
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，
F1 0 F2 x
| MF 1 | ? | MF 2 |? 2 a
代入坐标 | MF1 |? (x ? c)2 ? y2 ,| MF2 |? (x ? c)2 ? y2
得方程 ( x ? c)2 ? y2 ? ( x ? c)2 ? y2 ? 2a
问题：下面怎样化简？
移项，再平方
(x ? c)2 ? y2 ? 4a 2 ? 4a (x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2
?
?
?
?
椭圆
双曲线
抛物线
及其标准方程
定义 ：平面内与定点距离等于定长的点的集合叫做圆
标准方程的推导
已知定点 A?a,b?.动点 P ?x,y?.定长为r
由两点间的距离公式可知
(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r
P(x,y) A
即 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
圆是与一定点的距离等于定长的点的集合。 那么
与两定点的距离之和为一定长的点的集合 又是什么图形呢？
取一条定长的细绳,把两端拉开一段距离分 别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧 绳子，移动笔尖，画出的是什么图形？该 曲线满足的几何条件是什么？
M
F1
F2
? ? P ? M MF1 ? MF2 ? 定值
一.椭圆定义：
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平面内与两个定点 F1, F2 的距离和等于常数 （大于 | F1F2 |）的点的轨迹叫作 椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 ．
P
注意:椭圆定义中的要点：
（1） 必须在平面内;
F1
F2
（2）两个定点，距离和为常数;(常记作2a)
（3）2a ? F1F2
a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2 F1
两边再平方，得
y
M (x, y)
O
F2
x
a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y2 整理得 (a 2 ? c 2 ) x2 ? a 2 y2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )