3.3 随机数的含义与应用

张喜林制

3.3 随机数的含义与应用

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1．事件A 理解为区域Ω的某一予区域A ，A 的概率只与子区域A 的 成 比，而与A 的____无关，满足以上条件的试验称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率定义为 ，其中Ωμ表示区域Ω的几何度量，A μ表示子区域A 的几何度量．

3．随机数就是 ，并且得到这个范围内的____．

要点核心解读

1．几何概型

(1)几何概型的概念．

事件A 理解为区域n 的某一子区域A （如图3 -3 -1所示） A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．

(2)几何概型的概率计算公式．

在几何概型中，事件A 的概率定义为：,)(Ω

=μμ

A A P 其中Ωμ表示区域Ω的几何度量A μ,表示子区域

A 的几何度量．

2．如何求几何概型的概率

求几何概型的概率首先应确定某一试验是否为几何概型，这需要透彻理解几何概型的定义；其次要会利用甚至创造性地利用几何概型的概率计算公式，这需要我们认真审题，深入分析，深入挖掘题目的条件，必要时还可以画出甚至构造出随机事件对应的几何图形，通过图形帮助我们分析题意，理解题意，从而达

到解决问题的目的．

几何概型，以其形象直观的特点，备受人们青睐，尤其用几何概型解决古老的约会问题，让人们感受到数学美的思维之花，常见的几何概型如下：

(1)与数相关的几何概型； (2)与时间相关的几何概型； (3)与图形相关的几何概型． 3．随机数

(1)随机数的含义．

随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，它有很广阔的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复的试验．

(2)随机数的应用．

一般的科学计算器都能产生随机数，可以引导我们尝试用计算器或计算机产生随机数的方法，并能运用模拟方法（包括用计算器或计算机产生随机数来进行模拟）估计概率，甚至还可以进一步体会几何概型的意义．另外，用计算器或计算机模拟随机试验，特别是对于一些成本高、时间长的试验，可以起到降低成本、缩短时间的作用． 4．随机数的产生方法

(1)用函数型计算器产生随机数的方法：

每次按

键都会产生一个0～1之间的随机数，若需要多个，则重复按键．

(2)计算机中用软件产生随机数（本书用Scilab 产生随机数）． ①Scilab 中用rand()函数来产生O ～1的均匀随机数，每调用一次rand( )函数，就产生一个随机数，

②若要产生a ．b 之间的随机数，可以使用变换*)...(rand a a b +-)(得到．

(3)随机数在实际生活、科学研究等方面有广泛的用途，下面仅就中学阶段随机数的应用加以举例： ①用随机数进行排序；

②用随机模拟法估算古典概型的概率； ③用随机模拟法估算几何概型的概率；

④用随机模拟法近似计算不规则图形的面积，

典例分类剖析

考点1 与长度有关的几何概型问题

[例1] 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3分钟的概率是 ．

[解析] 容易判断这是一个几何概型问题，如图3 -3 -2所示，

记A 为“候车时间不超过3分钟”，以x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可以表示为x ，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t ，依据题意，乘客必在],5(t t -内来到车站，故

},5|{t x t x D ≤<-=欲使乘客候车时间不超过3分钟必须,3t x t ≤≤-

所以 ⋅≤≤-=}3|{t x t x d

.6.05

3

)(===

∴D d A P [答案]0.6

[点拨] 对于一个实际问题能否用几何模型的概率公式求解的关键是将问题几何化，本例设参数菇表示时间，转化为用数轴上的线段（几何图形）来表示，用区间长度作为几何度量．

1．(1)（2009年福建高考题）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，

则劣弧

AB 的长度小于1的概率为

(2)取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为 考点2 与角度有关的几何概型

[例2] 如图3-3 -3，在直角坐标系内，射线OT 落在

60角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．

[答案] 以0为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．

设事件A=“射线OA 落在∠xOT 内”．事件A 的几何度量是,60o

区域Ω的几何度量是,063

所以，由

几何概率公式得⋅==

Ω=

61

36060)(μμA A P

[点拨] 转化为几何概型求解时，千万要注意几何概型的两个特点：无限性和等可能性，而判断基本事件的等可能性，必须选择好观察角度， 考点3 与面积有关的几何概型

[例3] 甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

[解析] 甲、乙两人中每人到达会面地点钓时刻都是在6时到7时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达约定地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则x 轴0到60与y 轴O 到60的正方形中任一点的坐标（x ，y ）就表示甲、乙两人分别在6时到7时的时间段内到达的时间，而能会面的时间由15||≤-y x 所对应的图3 -3 -4中^的阴影表示，由于每人到达的时间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能被取到的（即基本事件等可能发生）．所以两人会面的概率只与阴影部分的面积有关，这就转化为面积型几何概率问题．