函数在区域内解析的条件及应用

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

前言 (1)

1.函数解析的定义 (1)

1.1定义 (1)

1.2初等函数的解析性 (2)

2. 函数解析的理论 (3)

2.1函数在区域D内解析的定理 (3)

2.2函数在区域D内解析的第一个等价定理 (4)

2.3函数在区域D内解析的第二个等价定理 (5)

2.4函数在区域D内解析的第三个等价定 (5)

2.5函数在区域D内解析的第四个等价定理 (7)

结语 (8)

参考文献 (8)

函数在区域内解析的条件及应用

学生姓名：杨玉亲 学号：20095031161

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业

指导教师:张萍 职称：讲师

摘 要：本文总结了函数解析的5个等价定理，并在此基础上研讨了它们的

应用.

关键词：初等函数；解析函数；函数在区域D 内解析.

The analytical conditions and applications of the function

in the region

Abstract: We summarize five equivalent theorems of the analytic function, and

discuss their application.

Key Words ：Elementary Functions; Analytic Functions; Analytic function within the regional D.

０ 前言

在区域上处处可导的复变函数，我们称这类函数为解析函数，这类函数具有

一系列非常重要的特征.虽然单变量复函数可导的概念与单变量实函数可导的概念在形式上完全一样，但在区域上处处可导的复函数与在区间上处处可导的实函数相比较，前者所具有的特征比后者更为深刻和丰富.本课题主要研究了函数在区域D 内解析的条件及应用问题，以下从六个方面给予了分析与概括.

1. 函数解析的定义

定义 若()f z 在0z 点的某一个邻域0()u z 内处处可导，则称()f z 在0z 点解析，

并称0z 是()f z 的解析点.

由定义可以推出：若函数()f z 在0z 点解析，则一定存在一个邻域0()u z ，在

0()u z 内任意一点1z 处()f z 解析，事实上1z 是0()u z 的内点，因而存在邻域

1()u z 0()u z ，使()f z 在1()u z 内处处可导，于是按定义()f z 在1z 点解析.

由以上结果进而可以推出：若函数()f z 在一区域D 内处处可导，则根据定义，

()f z 在D 内每一点都解析，这样的函数我们称之为解析函数，而D 称为()f z 的解析性区域，按照这一称呼，()f z 若在一点0z 解析，则()f z 是0z 的某一邻域0()u z 上的解析函数.

更一般的说，若()f z 是点集E 上的解析函数，按定义()f z 应在复盖点集E 的一个领域集上处处解析，例如E 是某一光滑曲线L ，则“()f z 在L 上解析”实际上表明()f z 在包含L 的一个区域上处处解析.再如E 是一闭区域D ，则“()f z 在闭区域D 上解析”实际上表明()f z 在包含D 的一个区域D '上处处解析.

1.2 初等函数的解析性

由解析定义及导数性质可知：区域D 上两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是解析函数.另外解析函数的复合函数仍是解析函数；单叶解析函数的反函数一定是解析函数.

(1)多项式，指数函数z e ，正弦和余弦函数sin z ，cos z 等函数在整个复平面

上处处可导，因而按定义它们在整个复平面上处处解析，在整个复平面上解析的函数称之为整函数.

(2)既约分式函数()()()

P z R z Q z =显然在整个复平面上除去的全部零点处处解析。即在其定义域上解析，其他单值初等函数也都在其定义域上解析，例如

sin tan cos z z z

=则在整个复平面除去使cos z 为零的点之处处处解析，以后称使函数()f z 不解析的点为的奇点.

(3)对于初等多值函数，我们已知其每一个单值连续分支在其可单值分解区 域上处处可导，因而由定义可知多值函数在其可单值分解区域中的每一个单值连续分支都是解析函数，我们称之为多值函数的单值解析分支，例如Lnz ω=在沿负半实

轴

割开的平面区域D 上可划分为单值解析分支

()ln ||arg 2(0,1,1,)k Lnz z i z k i k ωπ==++=-+⋅⋅⋅

它们的导函数都相同，为1z

ω'=. 显然负半实轴上的点都是每一个单值解析分支的奇点，在0z =的任一领域内Lnz ω=不可能划分为单值连续分支，当然也不能划分为单值解析分支，我们称0z =为函数的多值性奇点.

例1 函数()f z z =在平面上处处不可微.

证 很显然()f z 在z 平面上处处连续.

但 f z z z z z z z z z z z

∆+∆-+∆-∆===∆∆∆∆, 当0z ∆→时,上式极限不存在.因为让z ∆取实数而趋于零时,其极限为1;z ∆取纯虚数而趋于零时,其极限为-1.

例2 试证:函数()n

f z z = (n 为正整数)在z 平面上处处可微,且1n

n dz nz dz -=. 证 设z 是随意固定的点,我们有

12100()(1)lim lim[()]2

n n n n n z z z z z n n nz z z z ---∆→∆→+∆--=+++∆∆ 1n nz -=.

如函数()f z 在区域D 内处处可微,则称在区域D 内可微.

2.函数解析的理论

2.1 函数在区域D 内解析的定理

定理2.4 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是:

(1) 二元函数(,)u x y ,(,)v x y 在区域D 内可微;

(2) (,)u x y ,(,)v x y 在D 内满足..C R -方程.

例3 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在何处可导?何处解析?

解 22()u x y x =--,2(2)v xy y =- 21u x x ∂=-∂, 2u y y

∂=-∂,2v y x ∂=∂ ,22v x y y ∂=-∂. 上述偏导在平面上连续,