4.2.2-线段长短的比较与运算ppt课件

方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段
长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运 用方程思想求解.
变式训练：
1 如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB 3 1 = CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm， 4 求AB，CD的长．
A
E D
B
F
C
解析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB=
A
C
D
B
3.已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长 为________. 15 cm A D
B
C
4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示
的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________ 11或1 ．
5. 如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线 段 AC 的中点．求线段 OB 的长度． A OB
例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm， BC=4cm，那么A，C两点的距离是（ C ） A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对 解析：分以下两种情况进行讨论：当点C在AB之 间上，故AC=AB-BC=1cm；当点C在AB的延长 线上时，AC=AB+BC=9cm．
方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，
一般分以下两种情况：点在某一线段上；点在 该线段的延长线.
变式训练： 已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm， 点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长 为（ D ） A．21cm或4cm C．4.5cm B．20.5cm D．20.5cm或4.5cm
课堂小结
度量法
线段 线段长短的比较 基本事实 叠合法 基本作图
长短
的比
较与
运算 线段的和 差
中点
两点间的距离 方程思想 思想方法
分类思想
b
C
做一做
1. 如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____ AC ； AD－CD=___ AC；BC＝ ___ AC －___= AB ___ BD － ___. CD A B C D
2. 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a－b. a b 2a b
A 2a－ b B
A
B
例2 如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=
3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求
线段AB、BC、CD的长． A E B C
F
D
解析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨
设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，
用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的
第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a. A a ∴ 线段 AB 为所求.
a
B
F
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和 圆规作图，这就是尺规作图.
讨论：你们平时是如何比较两个同学的身高 的？你能从比身高的方法中得到启示来比较 两条线段的长短吗？ 170cm 160cm
比较两个同学高矮的方法： ①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较. ——度量法.
练一练
1. 如图，点C 是线段AB 的中点，若 AB = 8 cm， 则 AC = 4 cm. A C B A C B 2. 如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的 中点的是 (C ) A. AC = CB C. AC + CB = AB B. AB = 2 AC 1 D. CB = AB 2
一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所
求各线段的长.
A
E
B
C
F
D
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，
因为E、F分别是AB、CD的中点， 1 3 1 5 所以 BE AB x, CF CD x, 2 2 2 2 3 5 所以EF=BE+BC+CF= x 2 x x 6 x. 2 2 因为EF=24，所以6x=24,解得x=4. 所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
A
C
B
3. 如图，线段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D 为 线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求 线段 DE 的长. A D B E C
答案：DE 的长为 5 cm.
三 有关线段的基本事实
议一议
如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外 能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能， 请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.
B. A.
两点之间线段最短
2. 把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长 度有什么变化？
A，B 两地间的 河道长度变短.
A
B
练一练
1. 如图，AB+BC ＞
AC，AC+BC ＞
AB，AB+
AC BC (填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的 ＞ 数学道理是两点之间线段最短 . A
B
C
2. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄， 如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽 车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中 画出汽车站的位置. A
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• B
• A
• B
经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本 事实：两点的所有连线中，线段最短. 简单说成： 两点之间，线段最短.
连接两点间的线段的长度，叫做 这两点的距离.
你能举出这条性质在生活中的应用吗？
想一想
1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由.
C
解：∵ AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)， 点O 为线段 AC 的中点， 1 1 ∴ OC = AC= ×7 = 3.5 (cm)， 2 2 ∴ OB = OC－BC = 3.5－3 = 0.5 (cm)．
6.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部 分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长． M B A C 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x, 所以AD=AB+BC+CD=10x. 因为M是AD的中点， 所以AM=MD=5x，所以BM=AM-AB=3x. 因为BM=6，即3x=6，所以x=2. 故CM=MD-CD=2x=4， AD=10x=20 ． D
②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮. ——叠合法.
试比较线段AB，CD的长短.
A
B
C
D
(1) 度量法； (2) 叠合法 将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一 端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段 另外两个端点的位置作比较.
C (A)
B D
叠合法结论：
导入新课
情境引入
三组图形中，线段a 与b的长度均相等
a b (1)
a
b
(2) 观察这三组图形，你能比较出每 组图形中线段 a 和 b 的长短吗？ b
a
(3)
很多时候，眼见未必为实. 准确 比较线段的长短还需要更加严谨 的办法.
讲授新课
一 线段长短的比较
合作探究
做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较 长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短 木棒的长，我们常采用以上办法.
M
B
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使 线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线 段的什么位置？
A
M
B
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地， 还有线段的三等分点、四等分点等. 线段的三等分点
线段的四等分点
M 是线段 AB 的中点
a
B DB
(A) C
二 线段的和、差、倍、分
画一画
在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线 上画线段 BC=b，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记 作 AC= a+b . 如果在 AB 上画线段 BD=b，那么线 段 AD 就是 a 与 b 的差，记作AD= a-b . a+ b
a
A a -b D b B
A C (A) A C (A) A
B
B D B (B) D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在C，D之间，那么 AB ＜ CD.
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D 重合 ，那么 AB = CD. 3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 CD 的延长线上，那么 AB ＞ CD.
C B
l
当堂练习
1. 下列说法正确的是
A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段
(C )
B. 两点之间的距离是指两点之间的直线
C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度 2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为 AD＝BC _____________.
思考：画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆 规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如 何再画一条与它相等的线段？ 小提示：在可打开 角度的最大范围内， 圆规可截取任意长 度，相当于可以移 动的“小木棍”.
作一条线段等于已知线段 已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a.
第一步：用直尺画射线 AF；
第四章 几何图形初步
4.2 直线、射线、线段
第2课时 线段长短的比较与运算
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两 条线段的长短. (重点) 2. 理解线段等分点的意义. 3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的 长度. (重点、难点) 4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化. 5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段 最短”的线段性质，并学会运用. (难点)
M
N
B
1 AM = MN = NB = ___ 3 AB
3 AM = ___ 3 MN = ___ 3 NB) (或 AB = ___
典例精析
例1 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少? D A C 解：∵ C 是线段 AB 的中点， 1 1 ∴ AC = CB = AB = ×6= 3 (cm). 2 2 ∵ D 是线段 CB 的中点， 1 1 ∴ CD = CB = ×3=1.5 (cm). 2 2 ∴ AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
3xcm,CD=4xcm,易得AC=6xcm.在由线段中点的
定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF
的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可.
A
E D
B
F
C
解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm，
因为E、F分别是AB、CD的中点， 1 3 1 所以 AE AB xcm, CF CD 2 xcm, 2 2 2 3 5 所以EF=AC-AE-CF= 6 x x 2 x x(cm). 2 2 5 因为EF=10，所以 x=10,解得x=4. 2 所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.
A M
a
B
几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点 1 ∴ AM = MB = AB 2 ( 或 AB = 2 AM = 2 MB )
1 反之也成立：∵ AM = MB = AB 2 ( 或 AB = 2 AM = 2 AB )
∴ M 是线段 AB 的中点
点 M , N 是线段 AB 的三等分点：
A