一阶微分方程解法

例6 求方程 x dy y(ln y ln x) 的通解.
dx
解 将方程恒等变形 为 dy y ln y
dx x x
令 u y , 即 y ux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程, 得 x du u u ln u
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln(ln u 1) ln x ln c
即 ln u cx 1 将u y 代入上式, 并化简得方程的通解为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程
形如 y’+ p(x)y = q(x)的方程，称为一阶线性微分方程. 若 q(x) = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0
就可将齐次方程化为变量可分离的方程.
5
因为
dy x du u dx dx
所以
x
du dx
u
f
(u)
分离变量, 得
du 1 dx
f (u)u x
若 u- f(u)≠0, 两端积分, 得
du
du f (u)u
1 dx lnc x
于是, 得
x
ce
f (u)u
将变量还原, 便可得原方程的通解.
例5 求方程 dy 2 y y 的通解.
f
( x)dx
c
就为变量可分离方程的通解. 其中c为任意常数.
2
例2 求方程 y’= 2xy 的通解.
解 分离变量, 得 1 dy 2xdx
y
两边积分，得 ln y x2 lnc
于是原方程的通解为 y cex2
例3 求方程 cos xsin ydy cos ysin xdx 满足初始条件 y 的特解.
4
1Q2
即 p c1e 2
又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100
故需求函数为
1 Q2
p 100e 2
二. 可化为变量可分离的方程
1. 齐次方程 形如 y' f ( y) 的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称
x
齐次方程. 引入新的变换 u y , 即 y ux x
§10.2 一阶微分方程
一阶微分方程是最简单的方程. 求解的方法主要是 采用初等解法, 即把微分方程的求解问题化为积分问题.
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y') 0
一阶方程的初值问题的数学模型为
F(x, y, y ')0
y
x
x0
y0
根据方程本身的特点，一阶方程又可分为：
1
一. 变量可分离的方程
为一阶齐次线性微分方程
若 q(x) ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x)
为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解
方程 y’+ p(x)y = 0是变量可分离的方程, 其通解为 y ce p( x)dx 其中c为任意常数.
9
2.一阶非齐次线性微分方程的通解
一阶非齐次线性微分方程 y’+ p(x)y = q(x)是齐次方程
x0 4
解 分离变量, 得 sin y dy sin x dx
cos y cos x
两边积分，得 lncos y lncos x lnc
于是原方程的通解为 cos y ccos x
3
又将初始条件 y 代入通解中, 得 c 2
x0 4
2
故满足初始条件的特解为 cos y 2 cos x
2
例4 已知需求价格弹性为 η = -1/Q2, 且当 Q = 0 时,
p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q).
解 由需求价格弹性的定义, 有
p dQ 1 Q dp Q2
这是变量可分离的方程,移项化简，得
Q dQ 1 dp
p
两边积分,得
1 Q2 2
ln
p
ln c1
两端积分, 得 c( x) q( x)e p(x)dxdx c
10
于是, 一阶非齐次线性微分方程的通解为
y e p( x)dx [ q( x)e p( x)dxdx c]
注1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式. 它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个 特解相加而成的. 这也是线性微分方程解的一个性质.
解 将方程改写为 dy 2 y e x ( x 1)2
dx x 1
先求齐方程
dy 2 y 0 的通解
dx x 1
分离变量, 得 dy 2 dx
y x1
两端积分并整理, 得齐方程的通解 y c( x 1)2
用常数变易法求非齐次线性方程的通解
令 y c( x)( x 1)2 两端求导, 得 y ' c '( x)( x 1)2 c( x)2( x 1)
的一般情况. 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如 y c( x)e p( x)dx
的解, 但其中的 c 为 x 的待定函数.
因 y ' c '( x)e p( x)dx c( x)e p( x)dx p( x)
将 y与y’代入方程 y’+ p(x)y = q(x), 并整理, 得
c '( x) q( x)e p( x)dx
注2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为 待定函数c(x), 使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x),
从而得到非齐次线性方程通解的方法称为 “常数变易 法”. 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.
11
例7 求方程 ( x 1) dy 2 y e x ( x 1)3 的通解.
dx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, c '( x) e x
得
两端积分, 得 c( x) e x c
故原方程的通解为 y = (ex + c) (x+1)2
例8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
dx x x
解 令 u y , 即 y ux 则得 dy x du u
x
dx dx
代入原方程, 得
x
Байду номын сангаас
du dx
2
u
6
分离变量, 得 两端积分, 得
du dx
2u x
du 2u
dx x
ln c
于是 u ln x c
将u y 代入上式, 并化简得方程的通解为 x
y x(ln x c)2
形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程, 称为变量已分
离的方程.
形如 y’= f(x)g(y) 的一阶方程方程, 称为变量可分离 方程的. 设 g(y) ≠ 0, 则方程 可写成变量已分离的方程
dy g( y)
f
( x)dx
若函数f与g连续，则两边分别对 x 与 y 积分, 得
dy g( y)