§3.3随机向量函数的分布与数学期望
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f ( x , y )dxdy
D
其中D {( x, y ) : g( x, y ) z }
例2. (随机变量的和)
卷积公式
设( X , Y )的密度函数为 f ( x , y ), 求Z X Y的密度函数.
例3 (最大值与最小值 ) 设X ,Y的分布函数为F ( x ), G ( x ), 密度函数为 f ( x ), g ( x ), 且X与Y相互独立, 令M max{ X ,Y }, N min{ X ,Y }, 求M和N的分布函数与密度函数 .
五、随机变量和与积的期望与方差
性质1 (1) E ( X Y ) EX EY
此性质可推广为 E ( X1 X n ) EX1 EX n
1 n 1 n 特别地，E ( X i ) EX i n i 1 n i 1
( 2 ) D( X Y ) DX DY 2 E ( X EX )(Y EY )
性质2 若X与Y相互独立，则 (1) E ( XY ) EXEY ( 2) D( X Y ) DX DY
性质2中， (1)与(2)等价.
此外, 性质2的逆命题不一定成立.
若X1， ，X n相互独立, 则有
E ( X 1 X n ) EX 1 EX n D( X 1 X n ) DX1 DX n
例4. 随机变量X ,Y独立同分布且X的分布函数为F ( x ), 则Z max{ X ,Y }的分布函数为（ ）A.F 2 ( x ) B .F ( x )F ( y ) C .1 [1 F ( x )]2 D.[1 F( x )][1 F ( y )]
例5. 设( X ,Y )在矩形G {( x , y ) | 0 x 2,0 y 1} 上服从均匀分布, 求边长为X和Y的矩形面积S的 密度函数f ( s ).
推广 有限个独立的正态变量 的线性函数 仍服从正态分布 . 若X i ~ N ( i , i2 ), i 1,2, , n, 且X 1 , X 2 , , X n
相互独立, 常数a1 , a 2 , , a n不全为零, 则有
i 1 2 2 a X ~ N ( a , a i i i i i i ) i 1 i 1 n n n
特别地, 若X 1 , X 2 , , X n相互独立且都服从于N ( , 2 ), 1 n 2 记 X X i ,则wk.baidu.comX ~ N ( , ) n i 1 n
例6(续). 设随机变量X和Y的联合密度为 8 xy 0 x 1,0 y x f ( x, y) 其他 0 求E ( X Y ), DX , DY , D( X Y ).
(独立正态随机变量之和 )
2 X ~ N ( , 设X 1与X2独立， i i i )(i 1,2), 2 2 则X 1 X 2 ~ N ( 1 2 , 1 2 ).
E ( X ) xi pi
i 1
离散
E( X )
xf ( x )dx
连续
g ( x ) p , X 离散型 i i E (Y ) E[ g ( X )] i 1 g ( x ) f ( x )dx , X连续型
三、离散型随机向量函数的数学期望
设g( X , Y )是随机变量X , Y的函数, 且E[ g( X , Y )]存在. ( X , Y )是离散型随机向量
i j 特别地, 有 E ( XY ) xi y j pij
E[ g( X , Y )] g( x i , y j ) pij
EX x i pij
i
j
x i pi
i
i
j
EY y j pij
X
yj pj
j
i
j
Y
例1(续)
Y X 1 1
1 0.25 0.5
1 0 0.25 0.25 0.75
0.75 0.25
求EX , EY , E ( XY ).
EX 0.5 EY 0.5 E ( XY ) 0
0.75 0.25 求 X Y , XY的概率分布.
二、连续型随机向量函数的分布
已知二维随机变量 ( X , Y )的概率密度函数 f ( x , y ), 求Z g( X , Y )的概率密度函数 .
FZ ( z ) P{ Z z } P{ g( X , Y ) z } P{( X , Y ) D}
§3.3
随机向量的函数的分布 与数学期望
一、离散型随机向量函数的分布
已知( X , Y )的概率分布为: P{ X x i , Y y j } pij 求Z g( X ,Y )的概率分布. 例1. 设X ,Y的联合分布为 Y 1 1 X 1 0.25 0 0.25
1
0.5
0.25 0.75
特别地，有 E ( XY )
EX
xf ( x , y )dxdy xf X ( x )dx yf ( x , y )dxdy yfY ( y )dy
EY
例6. 设随机变量X和Y的联合密度为 8 xy 0 x 1,0 y x f ( x, y) 其他 0 求EXY , EX , EY .
四、 连续型随机向量函数的数学期望
设g( X , Y )是随机变量X , Y的函数, 且E[ g( X , Y )]存在, ( X , Y )是连续型
E[ g( X , Y )]
g( x , y ) f ( x , y )dxdy
xyf ( x , y )dxdy
D
其中D {( x, y ) : g( x, y ) z }
例2. (随机变量的和)
卷积公式
设( X , Y )的密度函数为 f ( x , y ), 求Z X Y的密度函数.
例3 (最大值与最小值 ) 设X ,Y的分布函数为F ( x ), G ( x ), 密度函数为 f ( x ), g ( x ), 且X与Y相互独立, 令M max{ X ,Y }, N min{ X ,Y }, 求M和N的分布函数与密度函数 .
五、随机变量和与积的期望与方差
性质1 (1) E ( X Y ) EX EY
此性质可推广为 E ( X1 X n ) EX1 EX n
1 n 1 n 特别地，E ( X i ) EX i n i 1 n i 1
( 2 ) D( X Y ) DX DY 2 E ( X EX )(Y EY )
性质2 若X与Y相互独立，则 (1) E ( XY ) EXEY ( 2) D( X Y ) DX DY
性质2中， (1)与(2)等价.
此外, 性质2的逆命题不一定成立.
若X1， ，X n相互独立, 则有
E ( X 1 X n ) EX 1 EX n D( X 1 X n ) DX1 DX n
例4. 随机变量X ,Y独立同分布且X的分布函数为F ( x ), 则Z max{ X ,Y }的分布函数为（ ）A.F 2 ( x ) B .F ( x )F ( y ) C .1 [1 F ( x )]2 D.[1 F( x )][1 F ( y )]
例5. 设( X ,Y )在矩形G {( x , y ) | 0 x 2,0 y 1} 上服从均匀分布, 求边长为X和Y的矩形面积S的 密度函数f ( s ).
推广 有限个独立的正态变量 的线性函数 仍服从正态分布 . 若X i ~ N ( i , i2 ), i 1,2, , n, 且X 1 , X 2 , , X n
相互独立, 常数a1 , a 2 , , a n不全为零, 则有
i 1 2 2 a X ~ N ( a , a i i i i i i ) i 1 i 1 n n n
特别地, 若X 1 , X 2 , , X n相互独立且都服从于N ( , 2 ), 1 n 2 记 X X i ,则wk.baidu.comX ~ N ( , ) n i 1 n
例6(续). 设随机变量X和Y的联合密度为 8 xy 0 x 1,0 y x f ( x, y) 其他 0 求E ( X Y ), DX , DY , D( X Y ).
(独立正态随机变量之和 )
2 X ~ N ( , 设X 1与X2独立， i i i )(i 1,2), 2 2 则X 1 X 2 ~ N ( 1 2 , 1 2 ).
E ( X ) xi pi
i 1
离散
E( X )
xf ( x )dx
连续
g ( x ) p , X 离散型 i i E (Y ) E[ g ( X )] i 1 g ( x ) f ( x )dx , X连续型
三、离散型随机向量函数的数学期望
设g( X , Y )是随机变量X , Y的函数, 且E[ g( X , Y )]存在. ( X , Y )是离散型随机向量
i j 特别地, 有 E ( XY ) xi y j pij
E[ g( X , Y )] g( x i , y j ) pij
EX x i pij
i
j
x i pi
i
i
j
EY y j pij
X
yj pj
j
i
j
Y
例1(续)
Y X 1 1
1 0.25 0.5
1 0 0.25 0.25 0.75
0.75 0.25
求EX , EY , E ( XY ).
EX 0.5 EY 0.5 E ( XY ) 0
0.75 0.25 求 X Y , XY的概率分布.
二、连续型随机向量函数的分布
已知二维随机变量 ( X , Y )的概率密度函数 f ( x , y ), 求Z g( X , Y )的概率密度函数 .
FZ ( z ) P{ Z z } P{ g( X , Y ) z } P{( X , Y ) D}
§3.3
随机向量的函数的分布 与数学期望
一、离散型随机向量函数的分布
已知( X , Y )的概率分布为: P{ X x i , Y y j } pij 求Z g( X ,Y )的概率分布. 例1. 设X ,Y的联合分布为 Y 1 1 X 1 0.25 0 0.25
1
0.5
0.25 0.75
特别地，有 E ( XY )
EX
xf ( x , y )dxdy xf X ( x )dx yf ( x , y )dxdy yfY ( y )dy
EY
例6. 设随机变量X和Y的联合密度为 8 xy 0 x 1,0 y x f ( x, y) 其他 0 求EXY , EX , EY .
四、 连续型随机向量函数的数学期望
设g( X , Y )是随机变量X , Y的函数, 且E[ g( X , Y )]存在, ( X , Y )是连续型
E[ g( X , Y )]
g( x , y ) f ( x , y )dxdy
xyf ( x , y )dxdy