第2章 水动力弥散方程

上述质量守恒方程中，至少包括 , ux , uy , uz 4个未知变
量 与
I有有时关可，以如独吸立附给作出用（、如溶抽解、作注用、，示不踪能剂简的单速的率给）定，，但因有此时上也述
方程不能单独求解，还必须引入通量与驱动力之间的关系式，即质
量通量与α组分密度间的关系。
2-3 α组分的对流—扩散方程（连续介质）
但为了解决问题，我们最终不得不上升到宏观水平上来。
习惯上去掉“—”，水动力弥散方程即表示为：
C div D~ gradC divC u I
t
I—多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化 学反应或其它原因所产生（或消失）的某组分的质量。
写成微分的形式：
C t
第二章 水动力弥散方程
用来描述地下水系统当中溶质运移规律的数学方程 （微分方程）。本章主要内容有： 2-1. 水动力弥散方程的有关参数
1、流体的密度、浓度； 2、多组分流体的流速； 3、流体的通量。
2-2. 溶液中α组分的质量守恒方程 2-3. α组分的的对流—扩散（Fick方程） 2-4. 多孔介质中水动力弥散方程 2-5. 源汇项 2-6. 初始条件与边界条件
v J
流体的质量通量 J ：v流J体在单位时u间内通过单位面积的流体的质量
α组分的质量通量 J
J
——单位时间内通过与流体方向垂直的单位
面积 u上的α组分的质量。
ur α组分相对与溶体质量平均流速
的质量扩散通量
v J
：
v J


uv

(uv
uv)
t
记
D~ D~ D~
水动力弥散系数
多孔介质的分子扩散系数
机械弥散系数
则
C div D~ grad C div Cu I
t
上式称为水动力弥散方程。 JD
D~

grad
C
水动力弥散通量
水动力弥散系数
建立水动力弥散方程，我们涉及了3个水平，即分子水平、微观水 平和宏观水平。地下水动力学中，一般仅涉及宏观水平。但对于弥 散问题，必须涉及到此3个水平。这是因为：不讲分子水平，就无 法理解分子扩散、不讲微观水平，就搞不清机械弥散；
Dzx
C x

Dzy
C y Dzz
C z


x
C

ux


y
C uy

z
C

u
z


I
对于一维流动二维水动力弥散：
C t

x

Dxx
C x

Dxy
C y


y

Dyx
C x

Dyy
C y


x

divC
u
div


Dm
grad
C



I
——二元体系中α组分的对流—扩散方程
对于低浓度溶液，浓度C的改变并不明显地影响 ，于是
可视为常量，Dm 也可视为常数。则：
J Dm grad C
C t

divC
u
在多组分组成的溶体体系中，一种组分的运移受两个因素的驱动：
一是受流体的流动的控制，即该组分按平均流速随这个流体体系
的运移， 即对流； 二是该组分的自身分子扩散，即由浓度梯度引起的相对于平均流速
运移的分子扩散。
下面在α组分质量守恒方程基础上建立α组分的对流—扩散方程：
I


t
div
u
divDm
grad C

I
——稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程
将上述对流—扩散方程加上适当的边界条件和初始条件。即可 用来解决流动的地表水中α组分的分布及变化规律（例如地表水体 中污染物质的迁移）。
应用条件： 1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
2-4 多孔介质中水动力弥散方程
上述对流—扩散方程是对流体连续介质建立的，若从这种微 观水平上来研究多孔介质中的溶质输运，则需把多孔介质的骨架 作为问题的边界。
V。V
上取平
u
wenku.baidu.com
1 Vo
V
udVV
Vo v
1
C
Vo
V
CdVV
Vo v
u 速度 和浓度 C u 来表示：
可分别用平均值 u 、C 和偏差
、C
之和
u u u

C C C
显然
u 0

C 0
于是连续性水动力方程可以写成：
对流体体系来说，显然有：
N v
J

0
1
这是因为
N
v J
N
uv uv
N
uv
N
uv
uv uv N
0
1
1
1
1
1
2-2 溶液中α组分的质量守恒方程
（连续介质）
在多组分组成的流体体系中任取一点P(x,y,z),以P为中心取 一微小的质量平衡体（如图2-1），其侧面分别平行与3个坐标面， 边长分别为△ x、△y、 △z，

t

div



u
u



t
div

u
引入α组分的质量扩散通量

t
divu
Jd则iv上 式可 u写成 ：
div J I
u是α组分的质量通量 u的 对流分量。
Dm

grad
C


C


I

C

C

div
C
u
div C
u
div


C

u

div


C
u
t t



div
Dm gradC

div
Dm


gr ad C


I
注意到：
C u C u
体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中α组分的质量
为dmα则 α组分的质量密度： dm dv
若将所有N种组分的质量密度进行求和：
N
1 2
N
N dm 1 dv

dm
1
dv

dm dv


就等于该溶体的体系密度。
某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓 度。
浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。
2-1-2 多组分流体的流速 u
对α组每分种的多质组点分流流速体来u看溶—平液—均中是速各指度种在，组也d分v就内的是α速各组度个分是分的不子各相的个等速分的度子。之的和统除计

C t

C


div

C


C

u
u

div
Dm

grad
C


C


I
在典型单元体上的液相体积中取平均值，得
展开，得

(C t
C)

div

C


C

u
u

div
Dm gradC
I
Dm gradC Dm gradC D~m'' gradC
在溶液连续体中的分子扩散系数 Dm 在多孔介质典型单元
体它的是空一隙个体张积量上，取一平般均讲之，后他变在为数值D~m上'' —要—小多于孔D介m质。的分子扩散系数
C
u
——在平均过程中而引入的宏观水平上的附加变量为
u 方程中微观变量C、 ，都是相对于流体的质点而言的，而实际
工作中都是取它们在典型单元体上的平均值。
因此，必须对上述方程的各变量在典型单元体上取平均值，也就 是从微观水平上的研究过渡到比较粗的宏观水平上来研究多孔介 质中所发生的现象。
均
值将u速度和
u和浓度
C：
C
在典型单元体的空隙体积
xyz
其中： ——经过△t时间后，质量均衡体中 的变化量。
将上式左右两端同除以xyzt 得：


ux
x x , y , z 2
ux
x x , y , z 2

x

uy

x, y y , z 2
uy
C u Cu 0
C u Cu 0

C
u
(C

C
)
u
C
u
并且：梯度的平均等于平均的梯度；散度的平均等于平均的散度； 对时间导数的平均值等于平均对时间求导。可得：
C
t
div C u divC u div
J
是α组分的质量通量 u的扩散分量。
对于上有溶质、溶剂两种组分构成的二元体系，α组分在等温
条件（忽略热扩散）相对于质量平均速度 u Fick定律得出：
的扩散通量 J可 依
Dm

J Dm
表示溶质的分子扩散系数：
grad



C t
以分子的个数。
流体体系的质点流速: 流体体系中各组分的质量平均速度 u
一速般u情况是下不，相等α的组，分两的者质存点在流一速个偏u差：与流体体系的质量平均流
u u u或 u u u
u 称为α组分质点相对于质量平均速度 u 的扩散速度。
2-1-3 流体的v通量
C t

C0et
C
即：衰变速率与当时浓度成正比
C t

div Dij
ux
x x , y, z 2

ux
x x , y,z 2
yzt
uy

x, y y ,z 2

uy
x, y y , z 2
xzt



uz
x, y,z z 2
uz
x, y, z z 2
xyt
C
ux

I
对于一维流动一维水动力弥散：
C t

x

Dxx
C x


x
C
ux

I
2-5 源汇项
源汇项 —系指在单位时间内、单位液相体积中由于化学反应、生 物化学作用或抽注水等产生减少α组分的质量。
2-5-1 放射性密度与化学、生物化学反应
设其变化规律为：
C C0et
2-1 水动力弥散方程的有关参数
2-1-1 流体的密度（ρ）
所谓的流体密度指的是单位流体体积的 质量，常用ρ 表示，量纲[ML-3]。 多组分流体的密度
实际上对于非均质的多组分流体而言， 其密度是随着组成它的各种组分的浓度 不同而变化的。
假设某多组份流体共有N种组分其某一组分称为α ，取该液体中一

div Dij
C x j


xi
C u
I
i, j 1,2,3
展开：
C t

x

Dxx
C x

Dxy
C y

Dxz
C z


y

Dyx
C x

Dyy
C y

Dyz
C z


z

x, y y , z
2
y



uz
x, y , z z 2
uz
x, y , z z 2

z

t
再对方程两端取极限，即令 x 0, y 0, z 0, t 0
即有：
ux uy uz
机械弥散变量，它是由于速度偏差 u 而产生的弥散
通量。如果不存在速度偏差 u ，并忽略分子扩散，
则溶质呈现“活塞式推进”或迁移。
实验表明：机械弥散通量类似介质中的分子扩散通量，也服从 于类似Fick扩散定律的形式：
C u D~ grad C
D~ —机械弥散系数（张量）
C div Cu div (D~ D~) grad C I
x
y
z
t
即

t
divu
0
若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可改写为：

t
div
u
I
——多组分流体体系中α组分 的质量守恒方程
I

—多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化 学反应或其它原因所产生（或消失）的α组分的质量。
质量守恒原理:
在时间△t内，组分α 在这个单元体中的净流 出（或流出）量（暂不 考虑起内部有质量产生 和消失），应等于这个 单元中α组分的质量变 化用方程的形式可表示 为：
质量守恒方程（连续介质）
设 , ux , uy , uz 分别表示
α组分密度、x,y,z方向的速度
分量。