综合法求直线与平面所成的角

综合法求直线与平面所

成的角 方法：直线与平面所成的角 1.⎧⎨⎩作角：在斜线上取一点作平面的垂线

2.用等积法求斜线上一点到平面的距离

1.已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB 和平面α所成的角．

．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .

而tan ∠BAH ＝2－13

＝33. ∴∠BAH ＝30°.

(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角． ∵△BCB 1∽△ACA 1，

∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1

＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，

∴B 1C ＝233

. ∴tan ∠BCB 1＝

BB 1B 1C ＝223

3＝3， ∴∠BCB 1＝60°.

综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.

2.如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====o ，在底 面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.

（1）证明：11D A BC A ⊥平面；

（2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.

【答案】(1)略； 【解析】

(1)利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；

(2)通过添加辅助线，证明1A F ⊥平面11BB C C ，以此找到直线与平面所成角的平面角1A BF ∠，在直角三角形1A BF 中通过确定边长，计算1A BF ∠的正弦值.

试题解析：(1)设E 为C B 中点，由题意得1A E ⊥平面C AB ，所以1A E AE ⊥.

因为AB AC =，所以AE BC ⊥.

所以AE ⊥平面1A BC .

由D ，E 分别为11,B C BC 的中点，得1//DE BB 且1DE BB =，从而1//DE AA 且1DE AA =，

所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE .

因为AE ⊥平面1A BC ，所以1A D ⊥平面1A BC .

(2)作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结F B .

因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥.

因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE .

所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C .

所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.

由2,90AB AC CAB ==∠=o ，得EA EB ==.

由AE ⊥平面1A BC

，得1114,A A A B A E ===

由1114,90DE BB DA EA DA E ===∠=o

，得1A F =.

所以1sin A BF ∠=【考点定位】1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.

【名师点睛】本题主要考查空间直线与平面垂直的证明以及直线与平面所成角的大小的计算.能够利用直线与平面垂直的定义及判定，通过直线与直线垂直证明得到直线与平面垂直；通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力.

3．在三棱柱中111ABC A B C -中，侧面11ABB A

为矩形，1

2,AB AA D ==是1AA 的

中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ． （1）证明：1BC AB ⊥；

（2）若OC OA =，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．

【答案】（1）详见解析（2

）

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到，而线线垂直的寻找与论证，往往需要结合平几知识进行：如本题就可利用三角形相似得到

1AB BD ⊥，再由线面垂直CO ⊥平面11ABB A 得到线线垂直1AB CO ⊥，因此得到1AB ⊥平面CBD ，即1AB BC ⊥（2）由（1）中垂直关系可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角：先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解

试题解析：（1

）由题意11tan tan AD AB ABD AB B AB BB ∠=

=∠==， 又10,2ABD AB B π

<∠∠<，∴1ABD AB B ∠=∠， ∴1112AB B BAB ABD BAB π

∠+∠=∠+∠=， ∵2AOB π∠=

，∴1AB BD ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，∴1AB CO ⊥，

∵BD 与CO 交于点O ，∴

1AB ⊥平面CBD ，又BC ⊂平面CBD ， ∴1AB BC ⊥．

（2）

如图，分别以1,,OD OB OC 所在直线为,,x y z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直

角坐标系O xyz -

，则

0,,B ,,A C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，

则00

n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v

，即033033x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，

令1y =

，则1,2z x =-=

，所以

12n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则

考点：线面垂直判定与性质定理，利用空间向量求线面角