第一型线积分与面积分

特殊情形
(1) L : y ( x)
a x b.
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx.
(a b)
L
a
(2) L : x ( y) c y d.
f ( x, y)ds
d
f [ ( y), y]
1 2( y)dy.
L
c
(c d)
(3) L : r r( ) .
ds;
L
z f (x, y)
(3) 当 f (x, y)表示以L为准线的 柱面在点
s
(x, y)处的高时,
S柱面面积
f ( x, y)ds.
L
L
(4) 均匀曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量
Ix =
y2ds,
L
Iy =
x2ds.
L
(5) 曲线弧的质心坐标
x L xds , L ds
y L yds . L ds
取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
求和
n
M (i ,i ) si .
近似值
i 1
n
取极限
M
Байду номын сангаас
lim
0
i 1
(i ,i ) si .
精确值
2.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f (x, y)在L上有界.
在L上任意插入点M1, M2 ,
设第i个小段的长度为si
1) y2 4x,点A(1, 2)到B(1, 2)一段;
2)折线OAB，其中A(1, 0)，B(1,1).
例2. 计算曲线积分
其中为螺旋线 的一段弧.
三、几何与物理意义
(1) 当 f (x, y)表示 L的线密度时, M L f (x, y)ds ;
(2)
当 f ( x, y) 1时,
L弧长
第六节 第一型线积分与面积分
我们将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或 一片曲面的情形。
对弧长的曲线积分（第一型线积分） 曲线积分
对坐标的曲线积分（第二型线积分） 对面积的曲面积分（第一型面积分 ） 曲面积分 对坐标的曲面积分（第二型面积分 ）
本节讨论：
第一型线积分
第一型面积分
一、对弧长的曲线积分的概念
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理
设 f ( x, y)在光滑曲线弧 L上连续 , L的
参数方程为
x y
(t ), (t ),
( t ),则
f ( x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt
L
( )
证：设 t0 t1 tn 为[ , ]上的一个分割。
相应曲线有一分割，记[ti1, ti ]上的弧长为si
si ttii1 2(t ) 2(t )dt 2(ti) 2(ti)ti
设i (ti' )，i (ti' )
ti1 ti' ti
因为f ( x, y)在L上连续，2(t) 2(t)连续
f [(t), (t)] 2(t) 2(t)可积
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 可得
n
M
k 1
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
z (k ,k , k )
Sk
o
y
x
最大值 (曲面的直径为其上任意两 点间距离的最大者).
定义 设曲面 是光滑的, 函数 f ( x, y, z)在 上有界,
L f ( x, y)ds f [r cos , r sin ] r2 r2d .
推广: : x (t), y (t), z (t). ( t )
f ( x, y, z)ds f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
例1 求I L yds, 其中L :
f
[
(t
),
(t
)]
2(t) 2(t)dt
n
lim 0 in1
f [(ti), (ti)]
2 (ti) 2 (ti)ti
lim 0
i 1
f
( i
,i
)si
＝ f ( x, y)ds L
y
A o
B L Mn1
(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1
x
记 maxsi
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
0
i 1
f (i ,i ) si .
当 f (x, y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分L f (x, y)ds存在.
今后总假定 f (x, y)在 L上是连续的. 类似地可定义
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds
lim
0
i 1
例6.（3 柱面的侧面积）
设椭圆柱面 x2 5
y2 9
1被
平面z=y与z=0所截。求位于第一、二卦限内所截下
部分的侧面积.
例6.4设有半圆形的金属丝，质量均匀分布， 求它的质心和对直径的转动惯量。
三、对面积的曲面积分的概念
引例: 求具有连续面密度
的曲面形构件的质量.
类似求平面薄板质量的思想, 采用
f (i ,i , i ) si .
注意：(1). 若 L (或)是分段光滑的, (L L1 L2)
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L1 L2
L1
L2
(2). 函数f (x, y)在闭曲线 L上对弧长的
曲线积分记为L f (x, y)ds.
二、对弧长的曲线积分的计算法
1.引例:曲线形构件的质量
y
B
一曲线形构件在x o y平面内所
L Mn1
占位置是一段曲线弧L，L上任一 点处的线密度ρ(x,y)在L上连续.
(i ,i ) Mi
M2
计算此构件的质量.
A M1
M i 1
分割 用点M1, M2 , , Mn1分L成n个小段，o
x
记si Mi1M（i i 1，2， , n 1），M0 =A，Mn =B.
,
,
M
n1把L分成ny个小段.
在第i个小段上任意取定的一点(i ,i ),
n
(i ,i M2
L
)
B
M n1
Mi
作乘积f (i ,i ) si ,并作和 f (i ,i ) si , A M1 Mi1
i 1
no
x
令 小弧段长度的最大值
0, 若极限 lim 0
i 1
f (i ,i ) si存在,
则称此极限是函数f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分,
记作L f ( x, y)ds.
函数 f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分也叫第一型线积分.
n
L
f ( x, y)ds
lim 0 i1
f (i ,i ) si .
积分弧段
n
存在条件：
L
f ( x, y)ds
lim