第51讲 单个正态总体均值的区间估计
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(1) 3,(2)未知，求(1),(2)两种情况下 的置信水平为95%的双侧置信区间. 本例的Excel计算见实验14.
8
解：n 10， 0.05
. 计算得 x 100.1, s 2.54,
(1) 3，查表得z0.025 1.96
所以,的置信水平为95%的双侧置信区间为
(x
3 10
得近似置信区间为 0.228, 0.272.
16
X
S n
t
2
(n
1)
单侧置信下限为X
S n
t
(n
1),
单侧置信上限为X +
S n
t
(n
1).
正态总体均值的置信区间模拟见实验13.
7
例 1. 某袋装食品重量(单位：克)X ~ N(, 2). 现从
一大批该产品中随机抽取10件,称得重量为：
.
101.3 96.6 100.4 98.8 94.6 103.1 102.3 97.5 105.4 100.2
15
例4：某市随机抽取1500个家庭，调查知道其中有375家 拥有私家车.试根据此调查结果，求该市拥有私家车 比例 p 的置信水平为95%近似置信区间.
解：pˆ x
375 1500
0.25,
s2
pˆ (1 pˆ ) 0.1875
代入近似置信区间
X z0.025S / n , X z0.025S / n
现从某妇产医院随机抽查16名新生儿,称得重量为： 3200 3050 2600 3530 3840 4450 2900 4180 2150 2650 2750 3450 2830 3730 3620 2270
求的置信水平为95%的双侧置信区间.
11
解：n 16, 0.05, 未知
计算得 x 3200,s 665.48
.
查表得t0.025(15) 2.1315
所以的置信水平为95%的双侧置信区间为:
(x
s 16
t0.025(15),
x
s 16
t0.025(15))
(2845.4, 3554.6)
12
例 3. 某种产品的寿命(单位：千小时)X ~ N(, 2)， , 2未知. 现随机抽查10件产品进行寿命试验，测得：
第51讲 单个正态总体均值的区间估计
1. 正态总体均值的置信区间
设总体X ~ N
, 2
，X1,
X
2
,,
X
为样本.
n
X 和S 2分别为样本均值和样本方差.
置信水平为 1 .
2
1 2已知时
X是的极大似然估计，取枢轴量G X ~ N0,1
n
设常数a b满足: Pa G b 1
等价于 PX b X a 1
2
单侧置信下限为X
n
z
单侧置信上限为X +
n
z
5
2 2未知时
以S2估计 2，得 枢轴量G X ~t(n1)
Sn
1
2
2
t 2(n1)
t 2(n1)
由 t/2(n 1) G t/2(n 1)解得，
X
S n
t /2 (n
1)
X
S n
t
/2
(n
1)
6
所以的置信区间为：
X
S n
t
2 Leabharlann Baidun
1),
n
n
3
此时区间的长度为 (b a) / n
2
1
2
a
b
由正态分布的对称性知，a b z/2
时，区间的长度L达到最短. L 2z 2 n. n固定.
置信水平提高，即(1-
)增大，则z
增大，
2
所以L变大，精确度降低；反之亦然.
4
所 以 的 双 侧 置 信 区 间 为 ：
X
n
z 2 , X
n
z
样本均值x 5.78,样本标准差s 0.92.
求的置信水平为95%的单侧置信下限.
解：查表得t0.05(9) 1.8331
所以的置信水平为95%的单侧置信下限为:
x
s 10
t0.05
(9)
5.78
0.92 10
1.8331
5.25
13
2.其他总体均值的区间估计
设总体X的均值为,方差为 2,非正态分布或不知
分布形式.样本为X1,, Xn.
当n充分大（一般n 30）时，由中心极限定理知,
X
近似
~
N(0,1).
/ n
14
当 2已知时,的置信水平为1的近似置信区间为
X z/2 / n, X z/2 / n
当 2未知时,以样本方差S2代入,得近似置信区间为
X z/2S / n , X z/2S / n
z0.025,
x
3 10
z0.025 )
(98.24,
101.96)
9
(2)未知，查表得t0.025(9) 2.26
.
此时，置信水平为95％的双侧置信区间为
(x
s 10
t0.025(9),
x
s 10
t0.025(8))
(98.29,101.91)
实际中 2未知的情况更多.
10
例 2. 设新生儿体重(单位：克)X ~ N(, 2)，, 2未知.
8
解：n 10， 0.05
. 计算得 x 100.1, s 2.54,
(1) 3，查表得z0.025 1.96
所以,的置信水平为95%的双侧置信区间为
(x
3 10
得近似置信区间为 0.228, 0.272.
16
X
S n
t
2
(n
1)
单侧置信下限为X
S n
t
(n
1),
单侧置信上限为X +
S n
t
(n
1).
正态总体均值的置信区间模拟见实验13.
7
例 1. 某袋装食品重量(单位：克)X ~ N(, 2). 现从
一大批该产品中随机抽取10件,称得重量为：
.
101.3 96.6 100.4 98.8 94.6 103.1 102.3 97.5 105.4 100.2
15
例4：某市随机抽取1500个家庭，调查知道其中有375家 拥有私家车.试根据此调查结果，求该市拥有私家车 比例 p 的置信水平为95%近似置信区间.
解：pˆ x
375 1500
0.25,
s2
pˆ (1 pˆ ) 0.1875
代入近似置信区间
X z0.025S / n , X z0.025S / n
现从某妇产医院随机抽查16名新生儿,称得重量为： 3200 3050 2600 3530 3840 4450 2900 4180 2150 2650 2750 3450 2830 3730 3620 2270
求的置信水平为95%的双侧置信区间.
11
解：n 16, 0.05, 未知
计算得 x 3200,s 665.48
.
查表得t0.025(15) 2.1315
所以的置信水平为95%的双侧置信区间为:
(x
s 16
t0.025(15),
x
s 16
t0.025(15))
(2845.4, 3554.6)
12
例 3. 某种产品的寿命(单位：千小时)X ~ N(, 2)， , 2未知. 现随机抽查10件产品进行寿命试验，测得：
第51讲 单个正态总体均值的区间估计
1. 正态总体均值的置信区间
设总体X ~ N
, 2
，X1,
X
2
,,
X
为样本.
n
X 和S 2分别为样本均值和样本方差.
置信水平为 1 .
2
1 2已知时
X是的极大似然估计，取枢轴量G X ~ N0,1
n
设常数a b满足: Pa G b 1
等价于 PX b X a 1
2
单侧置信下限为X
n
z
单侧置信上限为X +
n
z
5
2 2未知时
以S2估计 2，得 枢轴量G X ~t(n1)
Sn
1
2
2
t 2(n1)
t 2(n1)
由 t/2(n 1) G t/2(n 1)解得，
X
S n
t /2 (n
1)
X
S n
t
/2
(n
1)
6
所以的置信区间为：
X
S n
t
2 Leabharlann Baidun
1),
n
n
3
此时区间的长度为 (b a) / n
2
1
2
a
b
由正态分布的对称性知，a b z/2
时，区间的长度L达到最短. L 2z 2 n. n固定.
置信水平提高，即(1-
)增大，则z
增大，
2
所以L变大，精确度降低；反之亦然.
4
所 以 的 双 侧 置 信 区 间 为 ：
X
n
z 2 , X
n
z
样本均值x 5.78,样本标准差s 0.92.
求的置信水平为95%的单侧置信下限.
解：查表得t0.05(9) 1.8331
所以的置信水平为95%的单侧置信下限为:
x
s 10
t0.05
(9)
5.78
0.92 10
1.8331
5.25
13
2.其他总体均值的区间估计
设总体X的均值为,方差为 2,非正态分布或不知
分布形式.样本为X1,, Xn.
当n充分大（一般n 30）时，由中心极限定理知,
X
近似
~
N(0,1).
/ n
14
当 2已知时,的置信水平为1的近似置信区间为
X z/2 / n, X z/2 / n
当 2未知时,以样本方差S2代入,得近似置信区间为
X z/2S / n , X z/2S / n
z0.025,
x
3 10
z0.025 )
(98.24,
101.96)
9
(2)未知，查表得t0.025(9) 2.26
.
此时，置信水平为95％的双侧置信区间为
(x
s 10
t0.025(9),
x
s 10
t0.025(8))
(98.29,101.91)
实际中 2未知的情况更多.
10
例 2. 设新生儿体重(单位：克)X ~ N(, 2)，, 2未知.