空间图形的公理应用

巩固练习：
1．两个平面重合的条件是（ c ） A．有两个公共点 B．有无数个公共点 C．存在不共线的三个公共点 D．有一条公共直线 2．下列命题中，真命题是（ D ） A．空间不同三点确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．两组对边相等的四边形是平行四边形 D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 3．空间有四个点，其中无三点共线，可确定 __________ 个平面． 一个或四个
A
M

B D1
C1
N

A1
B1
练习：
D
C
A
B

N
D1
C1
A1

B1
M
M , N为中点，作截面 DMN
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三 条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。
例1、求证： 两两相交于不同点的三条直
线必在同一个平面内
B A C
点评：证明点共面或线共面（纳入法）——先由 一些元素确定一个平面，再证另一些元素也在这 个平面内。
公理４
平行于同一条直线的两条直线平行．
a
a // b, b // c a // c
b
c
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补(如图1,AO∥A/O/,BC∥B/O/, ∠AOB和∠A/O/B/相 等, ∠AOC和∠A/O/B/互补)
证明：如图，连结BD。
因为FG是ΔCBD的中位线， E B F C G H D
1 所以 FG//BD，FG BD . 2
又因为EH是ΔABD的中位线
1 所以 EH // BD ，EH BD 。 2
根据公理4，FG//EH，且FG=EH 。 所以，四边形EFGH是平行四边形。
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方 体中的位置关系是（ ）
证明： AB P
B C
P AB，P 平面 又 AB 平面ABC
P 平面ABC
P
R
Q
点P在平面ABC与平面的交线上（公理2）
Q 同理可证： ，R也在平面ABC与平面 的交线上
P，Q，R三点共线.
点评：证明点共线——证明这些点同时在两相 交平面内
• 例6、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、 F分别是AB和AA1的中点. • 求证: CE，D1F，DA三线共点.
公理２：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
（即可以确定一个平面）
B
图形语言表述:
α
A
Ｃ
符号语言表述：Ａ．Ｂ．Ｃ三点不共线 有且只有一个平面α，使
Ａ∈α，Ｂ∈α，Ｃ∈α
认识:(1)经过一点，两点或在同一直线上的三点可有无数个平面． (2)“有且只有”指具有“存在性”和“唯一性：
思考交流
1、经过一条直线和这条外一点，可以确定一个平面吗？
2、经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？
3、经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
公理３ 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一
条通过这个点的公共直线． 符号语言表示：
P 且P a且P a.
条件：两面共一点， 结论：两面共一线．
β
a α
P
作用（1）它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个 平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这 个点的一条直线； （2）它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线 是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
A H E
例1
Dபைடு நூலகம்
B F
G
C
2
例2 如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体，那么AB，CD， EF，GH这四条线段所在直线是异面直线 的有多少对?
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线
D、相交成60°
C
C A D B
A
B(D)
点评：证明线共点——先确定两条直线交点， 再证交点在第三条直线上。
探讨2：3个平面可将空间分成几部分？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
• 例8、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与 平面BDC1交于O，AC、BD交于点M． • 求证：点C1、O、M共线．
D1 C1 B1
A1
O
D
M A B
• 例4、空间四边形ABCD中，E、F、G、H、M、 N分别是棱AB、BC、CD、DA、AC、BD的中 点 • 求证: EG、FH、MN共点
探讨1：若3条直线相交于一点时，则这3条直线 确定几个平面？如果4条直线相交于一点呢？
(2)每2条直线确定 (1)3条直线共面时 一平面时
(2)有3条直线 (1)4条直线 共面时 全共面时 (3)每2条直线都 确定一平面时
C
公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这直线上所有的
点都在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言表述: α 符号语言表述:A ∈a,
B∈a, A∈α,Ｂ∈α， a≠α
B A
a
条件：线上两点在一个平面内， 结论：线上所有点都在这个平面内；
问 题
我们知道，两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？
思考3:把三角板的一个角立在课桌上， 三角板所在平面与桌面所在平面是 否只相交与一点B？为什么？
B
公理3 若两个平面有一个公共点，则它 们还有其他公共点，这些公共点的集 合是 一条过这个公共点的直线
即: P , P
王新敞
奎屯 新疆
l且P l
例5、已知： ABC 在平面 外， P， AB BC AC R， Q A 求证：P，Q，R三点共线.
A/ A
B/
O/
B
O
C
定理: 空间中,如果两个角的 两条边分别对应平行,那么这两个角
相等或互补. 符号语言表示： 若AO∥A/O/,BC∥B/O/, A α C O B
则∠AOB=∠A/O/B/；
/ / /
O/
A/ B/
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点. 求证: 四边形EFGH是平行四边形. A
C G D H A B H G C E
3
A B
D
F
E F
例2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC1∩平面 A1BD=M，求作点M。 C D
A B C1
D1
A1
B1 本题体现了转化的思想，将在空间难以把握 的线面交点转化为同一平面内的线线交点， 确定了交点的位置。
例3：求作下列截面：
D C
(1) M , N为中点， 作截面DMN
例2、 在空间四边形中ABCD中，E、F、G、H分别是 边AB、BC，CD，DA的中点。求证：四边形 EFGH是平行四边形。
E D B F C G A H
• 例3、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、 F分别是AB和AA1的中点. • 求证：E，C，D1，F四点共面； •
• 例7、 • 如图，在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， E, F 为 CC1 , BC 上的中点，画出平面 EFD1 与平面 ABCD 的交线。