第三章 第2节 2.2

2.2 一元二次不等式的应用 学习目标 1.会解简单的分式不等式和高次不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.

3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法． 知识点一 分式不等式的解法

思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2

>0变形为(x －3)(x ＋2)>0有什么好处？ 答案 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． 梳理 一般的分式不等式的同解变形法则

(1)f (x )g (x )

>0?f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0??

???? f (x )·g (x )≤0，g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ?f (x )－ag (x )g (x )

≥0. 知识点二 穿针引线法解高次不等式

思考 分别画出y ＝x －1，y ＝(x －1)(x －2)，y ＝(x －1)(x －2)(x －3)的图像，并观察它们与相应的x －1>0，(x －1)(x －2)>0，(x －1)(x －2)(x －3)>0的关系．

答案

图像

y >0解集 (1，＋∞) (－∞，1) ∪(2，＋∞) (1,2)∪(3，＋∞)

梳理 一般地f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a

故解不等式(x －a )(x －b )(x －c )>0(或<0)时，只需先在x 轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x －a )(x －b )(x －c )>0.则拣取区间(a ，b )∪(c ，＋∞)，即为所求解集．

知识点三 一元二次不等式恒成立问题

思考 x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x －1>0的解集有

什么关系？

答案 x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y ＝x －1在区间[2,3]上的图像恒在x 轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x －1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x －1>0的解集的子集．

梳理 一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像全部在x 轴上方．区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的子集．

恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：

若f (x )有最大值，则k ≥f (x )恒成立?k ≥f (x )max ；

若f (x )有最小值，则k ≤f (x )恒成立?k ≤f (x )min .

1．x 2＋1≥2x 等价于(x 2＋1)min ≥2x .(×)

2．x (x ＋1)(x －1)>0与x (x ＋1)(1－x )>0的解集相等．(×)

3．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.(×)

类型一 分式或高次不等式的解法

命题角度1 分式不等式

例1 解下列不等式：

(1)x ＋12x －3

≤1； (2)若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，求关于x 的不等式ax ＋b x －2

>0的解集． 考点 分式不等式的解法

题点 分式不等式的解法

解 (1)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3

－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32

≥0. 此不等式等价于(x －4)????x －32≥0且x －32

≠0， 解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为??????x ??

x <32或x ≥4. (2)由ax －b >0的解集为(1，＋∞)，知a >0且a ＝b .

由ax ＋b x －2

>0，得(ax ＋b )(x －2)>0. 令(ax ＋b )(x －2)＝0，得x 1＝－b a

＝－1，x 2＝2. ∴(ax ＋b )(x －2)>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，

即ax ＋b x －2

>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )g (x )

≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．

跟踪训练1 解下列不等式：

(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3

>1. 考点 分式不等式的解法

题点 分式不等式的解法

解 (1)原不等式可化为?????

(2x －1)(3x ＋1)≥0，

3x ＋1≠0， 解得??? x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12

， ∴原不等式的解集为??????x ??

x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为

????? x ＋3>0，2－x >x ＋3或?

???? x ＋3<0，2－x －3，x <－12或????? x <－3，x >－12，

∴－3

－3

>0，

化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3

<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0， 解得－3

－3

例2 解下列不等式：

(1)x 4－2x 3－3x 2＜0；

(2)1＋x －x 3－x 4＞0；

(3)(6x 2－17x ＋12)(2x 2－5x ＋2)＞0.

考点 简单高次不等式的解法

题点 简单高次不等式的解法

解 (1)原不等式可化为x 2(x －3)(x ＋1)＜0，

当x ≠0时，x 2＞0，

由(x －3)(x ＋1)＜0，得－1＜x ＜3；

当x ＝0时，原不等式为0＜0，无解．

∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜3，且x ≠0}．

(2)原不等式可化为(x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＜0，

而对于任意x ∈R ，恒有x 2＋x ＋1＞0，

∴原不等式等价于(x ＋1)(x －1)＜0，

∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．

(3)原不等式可化为(2x －3)(3x －4)(2x －1)(x －2)＞0，

进一步化为????x －32????x －43???

?x －12(x －2)＞0， 如图所示，得原不等式的解集为??????x ??

x ＜12或43＜x ＜32或x ＞2. 反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑穿针引线法．

跟踪训练2 若不等式

x 2＋px ＋q ＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，则不等式x 2＋px ＋q x 2－5x －6

＞0的解集是 A ．(1,2)

B ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)

C ．(－1,1)∪(2,6)

D ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(6，＋∞)

考点 简单高次不等式的解法

题点 简单高次不等式的解法

答案 D

解析 由题意知x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)，则待解不等式等价于(x －1)(x －2)(x 2－5x －6)＞0?(x －1)(x －2)(x －6)(x ＋1)＞0?x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞6.

类型二 不等式恒成立问题

例3 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.

(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；

(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．

考点 一元二次不等式恒成立问题

题点 一元二次不等式在区间上恒成立

解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，

若m ＝0，显然－1<0，满足题意；

若m ≠0，则?????

m <0，Δ＝m 2＋4m <0，

即－4

就要使m ????x －122＋34

m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ????x －122＋34

m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，

∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0

； 当m ＝0时，－6<0恒成立；

当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，

∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.

综上所述，m 的取值范围是?

???－∞，67. 方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，

即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立．

∵x 2－x ＋1＝????x －122＋34

>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1

. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6????x －122＋34

在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可． 综上所述，m 的取值范围是?

???－∞，67. 引申探究

把本例(2)改为：对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围． 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，

m (x 2－x ＋1)－6<0.

设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.

则g (m )是关于m 的一次函数且斜率

x 2－x ＋1＝????x －122＋34

＞0. ∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0，

即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，

方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52

， ∴x 2－x －1<0的解集为?

????1－52，1＋52， 即x 的取值范围为? ??

??1－52，1＋52. 反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：

(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．

(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．

跟踪训练3 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 考点 一元二次不等式恒成立问题

题点 一元二次不等式在区间上恒成立

答案 (－∞，－5]

解析 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，

则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．

由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．

则有????? f (1)≤0，f (2)≤0，即????? 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得?

????

m ≤－5，m ≤－4， 所以m ≤－5.

类型三 实际问题中的一元二次不等式

例4 某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

考点 一元二次不等式的应用

题点 一元二次不等式在实际问题中的应用

解 设花卉带的宽度为x m(0

根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12

×800×600， 整理得x 2－700x ＋600×100≥0，

即(x －600)(x －100)≥0，所以0

故所求花卉带宽度的范围为(0,100]．

反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 跟踪训练4 在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任．

考点 一元二次不等式的应用

题点 一元二次不等式在实际问题中的应用

解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.012x 甲>12， S 乙＝0.05x 乙＋0.0052

x 乙>10.

分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30，

x 乙<－50或x 乙>40.

由于x >0，从而得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h.

经比较知乙车超过限速，应负主要责任.

1．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )

A ．m ≥2

B ．m ≤－2

C ．m ≤－2或m ≥2

D ．－2≤m ≤2

考点 一元二次不等式恒成立问题

题点 一元二次不等式在R 上恒成立问题

答案 D

解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.

2．不等式x －1x －2

≥0的解集为( ) A ．[1,2]

B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)

C ．[1,2)

D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 考点 分式不等式的解法

题点 分式不等式的解法

答案 D 解析 由题意可知，不等式等价于?

????

(x －1)(x －2)≥0，

x －2≠0， ∴x >2或x ≤1.

3．不等式x 2－x －6x －1

>0的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >3}

B ．{x |x <－2或1

C ．{x |－23}

D ．{x |－2

考点 简单高次不等式的解法

题点 简单高次不等式的解法

答案 C

解析 由x 2－x －6x －1>0，得(x －3)(x ＋2)x －1>0，

即(x－3)(x＋2)(x－1)>0，

利用穿针引线法，解得－23.

4．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有()

A．m≤－3 B．m≥－3

C．－3≤m<0 D．m≥－4

考点一元二次不等式恒成立问题

题点一元二次不等式在区间上恒成立

答案A

解析令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，

则f(x)在(0,1]上为减函数，

所以当x＝1时，f(x)min＝－3，

所以m≤－3.

5．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0

考点一元二次不等式的应用

题点一元二次不等式在实际问题中的应用

答案{t|10≤t≤15，t∈N}

解析日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，

依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，

解得t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}．

1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．

2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；

(2)a

3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．