加速度不能这样分解吗

加速度不能这样分解吗

邓中文

（湖南省衡东县第二中学 421451）

如图1所示的绳牵连物体的模型，是中学物理中经典问题之一。讲到运动的合成与分解就必定会涉及到这一模型。但中学物理一般只

讨论绳牵连的两物体间瞬时速度的定量关系，

而很少涉及到他们间瞬时加速度的定量关系。

看了《中学物理教学参考》杂志2009年

第5期《加速度不能这样分解》一文，勾起了

笔者对此问题的兴趣。该文认为在讨论两物体

加速度关系时，不能利用运动的合成与分解方

法来求解，而应用求导的方法来求解。通过求导，其得出结论：A B a a θ

θcos 2cos 12+=。笔者一看这一结论，其错误显而易见。很明显，若A 向左作匀速运动，则A 的加速度为零；而B 则一直向上加速运动，只是加速度越来越小，最终趋近于零；速度越来越大，最终趋近于与A 速度大小相等。而根据该文结论：A 加速度为零时，B 的加速度也一定为零，即A 匀速运动的话B 也一定匀速。明显错误。 下面是笔者对绳牵连物体间的加速度关系的一管之见，不当之处，望各位同行指正。

一、加速度关系的确立：

本人认为：在讨论两物体的加速度关系时，中学阶段让学生最容易接受的方法还是利用运动的合成与分解方法来求解。我们知道：运动的合成与分解包括：位移、速度、加速度三个矢量的合成与分解。在分解一个合运动时，一定要根据实际运动所产生的效果去分解。既然A 的速度可以沿绳和垂直于绳的两个方向分解，那么加速度为什么就不行呢？只不过这里B 的加速度大小既与A 的瞬时加速度有关，还与A 的瞬时速度也有关系。

为了使问题更简单明了，我们先在两种特殊情况下来讨论两物体的加速度问题：

1、若A 在图示位置时的瞬时速度为零，加速度为A a ，方向向左，则可直接将A a 沿绳和垂直于绳的方向正交分解。B 此时的瞬时加速度大小与A 沿绳方向的加速度分量大小相等，即θcos A B a a =，方向向上。(反之，若A 加速度方向向右，则B 加速度方向向下。) 而A 沿垂直于绳方向的加速度分量θsin A a 为切向加速度，产生的效果只是使OA 绕O 转动的角速度增加，即产生角加速度。其产生的效果对A 沿平行于绳方向的速度没有影响，因此与B 该时刻的加速度无关。

2、若A 在图示位置时的加速度为零，向左以A v 作匀速运动，同样可将A v 沿绳和垂直于绳的方向正交分解。 此时B 的瞬时速度大小与A 沿绳方向的速度分量大小相等，即：A h C a A B θ O 图1

θcos A B v v =。虽然A v 不变，但由于A 向左运动，θ将不断减小，θcos 将不断增大，使得B v 也将不断增大，即B 一定有加速度。而A 的加速度为零，A 沿绳方向的加速度分量也一定为零。那么B 的这一加速度是怎么产生的，大小又与哪些因素有关呢？

值得注意的是：A 沿垂直于绳方向的速度分量θsin A v 产生的效果会使A 绕O 点（O 点为绳与滑轮的切点）转动，即A 有一绕O 点转动的角速度，故A 相对于绳上的O 点必有一向心加速度n a ，方向沿绳由A 到O 。再以A 为参照系，则绳上的O 点相对于A 必有一反向（即沿绳指向OA ）的加速度，大小也为n a 。而实际A 作匀速运动，相对于地面的加速度为零，因此绳上的O 点相对于地的加速度大小也为n a 。这一转动作用产生的效果就是使

B 产生向上的加速度的真正原因。因此可以得出结论：h

v OA v a a A A n B θθ322sin )sin (===。这里A 向左匀速运动，B 将加速上升；A 向右匀速运动，B 则减速下降。不论A 匀速向左还是向右运动，B 的加速度方向均向上。这正与“向心加速度总是指向圆心，而与物体是作顺时针还是逆时针旋转无关”的结论相一致。

综合上面两种情况：若某时刻A 既有加速度A a 又有速度A v ，则B 的加速度应为A a 沿细绳方向分量，与A v 沿垂直细绳方向分量因转动作用而产生的向心加速度两部分组成。即：

1、若在图示位置时A 既有向左的加速度A a ，又有瞬时速度A v （不论向左还是向右），

对B 取向上为正方向，都有θθcos sin 32A A B a h

v a +=。 2、若在图示位置时A 既有向右的加速度A a ，又有瞬时速度A v （不论向左还是向右），

对B 取向上为正方向，都有θθcos sin 32A A B a h

v a -=。

二、对加速度关系结论的证明：

上述结论是从纯物理角度分析而得出的，其优点是：理解了影响B 瞬时加速度的两个方面原因，就能很容易记住并准确地写出这一结论。但对这一分析方法也许还有人心存疑惑，不太理解，对上述结论还持有怀疑。下面我们还可以从数学角度用求导的方法来加以印证。

证明方法1：就瞬时速度关系对时间求导

对A 选向左为正方向，对B 选向上为正方向。设A 在图示位置有向左的瞬时速度A v ，则B 对应的瞬时速度表达式为：θcos A B v v =。两边同时对时间求导可得：

θθθθθcos )()sin (cos )()(cos )('+'-='+'='A A A A B v v v v v （1）

上式中B B a v =')(，A A a v =')(，h

v OA v dt d A A θθθθ2sin sin -=-=='（θ'表示OA 转

动的角速度，因A 向左运动，θ随时间减小，故θ'为负值。）将以上三式代入（1）式得：

θθcos sin 32A A B a h

v a +=。与前面综合结论完全相符。 若A 的速度向右，则θ随时间增大，θ'为正；但（1）式中的A v 与选定的正方向相反，就应为负值。故（1）式中θθ'-)sin (A v 总为正值，即因转动效果而使B 产生的加速度总是向上的。

证明方法2：就位移对时间求导

《加速度不能这样分解》一文分别就A 、B 两物体的位移表达式对时间求二阶导数，其方法同样是可行的。只是比证明方法1更麻烦些。错就错在把求导公式记错了，他把两个函数乘积的导数公式：u v v u uv '+'=')(，错当成：v u uv ''=')(来算了。正确求解简要如下：

设A 从滑轮正下方的C 点向左运动到图示位置，

则A 的位移为θcot h s A = (1)

B 上升位移为h h s B -=θ

sin (2) 就两位移表达式分别对时间t 求二阶导数得：

22223sin )(sin cos 2dt

d h dt d h a A θθθθθ-= (3) 2

22232sin cos )(sin )cos 1(dt d h dt d h a B θθθθθθ-+= (4) 由(3)、(4)式可得2)(sin cos dt

d h a a A B θθθ=- (5) 将h

v dt d A θθ2sin -=代入(5)式后得： θθcos sin 32A A B a h

v a +=。与本文结论完全相同。

三：应用举例

需要涉及到绳牵连物体间的瞬时加速度定量关系的题目一般都具有较大难度，且超出高考考纲要求。因此除了竟赛培训，一般不要主动对学生涉及这类题目，以免加重学生负担。下面笔者希望通过自编的这个题目，使学生对绳牵连物体间的瞬时加速度定量关系有更进一步理解。

例题：如图2所示，垮过两个很小定滑轮的

轻绳将A 、B 两个质量均为m 的物体相连，A 套在

一固定的光滑水平杆上。（A 、B 均可视为质点，不θ B A O h 图2