学而思初一数学暑假班第2讲.绝对值.教师版

3 = 3 ， - 1 = ， 0 = 0

⑵ a = ⎨0 (a = 0) ； ⎪-a (a < 0) a ⎩-1

(a < 0)

2

绝对值

模块一

绝对值的定义

定 义

1．绝对值的几何意义：在数轴上，一个数 a 所对应

的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作 a ．

2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；

一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．

注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“

”，求一

个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号．

②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果

总是正数或 0．

③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝

对值，如： -5 符号是负号，绝对值是 5 ．

3．绝对值的性质：

⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示： a ≥ 0 ，这是

绝对值非常重要的性质；

⎧a (a > 0) ⎪ 示例剖析

1

2 2

非负数性质：

如果若干个非负数之和为 0，那么其

中的每一个非负数都为 0

⑶ ⎩

a ⎧1 (a > 0)

(a ≠ 0) = ⎨

例如：若 a + b = 0 ，则 a = 0 ，b = 0

⑷ 若 a = a ，则 a ≥ 0 ；若 a = -a ，则 a ≤ 0 ；

⑸ a = -a ；若 a = b ，则 a = b 或 a = -b

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1

比较大小⎨两数异号(一正一负)：正数大于负数 ⎪其中有0时 ⎧⎨正数与0：正数大于0 ⎩

⑷ 3.5 ， 3.5 ， - ， ；

4． 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小． 总结：有理数大小的比较

⎧ ⎧同正：绝对值大的数大 ⎪两数同号 ⎨ ⎪ ⎩同负：绝对值大的反而小 ⎪

⎪

⎪

⎩负数与0：负数小于0

夯实基础

【例1】 ⑴ ① - -1.5 =

；② 绝对值不大于 3 的整数有 ．

⑵ 绝对值大于 2 而小于 5 的负整数是 ． ⑶ 下列说法正确的是 （ ）

A. 符号相反的数互为相反数

B. 任何有理数都有倒数

C. 最小的自然数是 1

D. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 ⑷ -3.5 的绝对值为 ， -3.5 的相反数为 ，

-3.5 的倒数为

， -3.5 的负倒数为 ．

⑸ 若 a + b = 0 ， c 和 d 互为倒数， m 的绝对值为 2 ，求代数式

【解析】⑴ ① -1.5 ；② 0 ， ±1 ， ±2 ， ±3 ；

⑵ -4 ， -3 ； ⑶ D ；

2 2

7 7

⑸ 3．

a +

b a + b - c

+ m 2 - cd 的值.

能力提升

【例2】 ⑴ 已知 a 、 b 为有理数，且 a < 0 ， b > 0 ， b < a ，则 a 、 b 、 -a 、 -b 的大小关系是

（

）

A ． -b < a < b < -a

B ． -b < b < -a < a

C ． a < -b < b < -a

D ． -a < b < -b < a

⑵ x - 2 + y - 3 = 0 ，则 xy = ________； x = - y - 7 ，则 xy = ________． ⑶ 若 a - 2 与 b + 3 互为相反数，则 2b - a 的值为（ ）．

A ．8

B ． -8

C ． ±8

D ．7

2

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b 1(0(1

(a+2)(b+2)+L L+

(a+2012)(b+2012)

的值；

⑷方程x-2008=2008-x的解的个数是（）．

A．1B．2C．3D．无穷多

(5)求出所有满足条件a-b+ab=1的非负整数对(a，).

(6)设a、b同时满足①(a-2b)2+|b+1|=b+1；②|a+b-3|=0．那么ab=．

（北京一零一中学期中）【解析】它本身，它的相反数，0；

⑴经分析则a、b、-a、-b在数轴上表示如图所示：a-b0b-a

数轴上右边的数总比左边的数打，所以a<-b

⑵Q x-2≥0，y-3≥0，要使x-2+y-3=0，当且仅当x-2=0且y-3=0，

有x=2，y=3则xy=6；变形x+y-7=0，根据绝对值的非负性，有x=0，y=7，

∴xy=0

⑶B

⑷D．

(5)根据题意a-b和ab两个代数式的值只能在0与1中取，用逐一列举的方法，求得

满足条件的非负整数对有三对(0，)，1，)，1，).

(6)因为|b+1|≥b+1，而完全平方式非负，所以a-2b=0，且b+1非负．

又因为|a+b-3|=0，所以a+b-3=0，观察可知a=2，b=1，所以ab=2．

【例3】⑴已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简a+b+a+b-b-c的结果是

a b c

⑵如图，根据数轴上给出的a、b、c的条件，

试说明a-b+b-c-a-c的值与c无关.

b a c

【解析】⑴3b-c；⑵2a-2b.

【例4】⑴已知a-1+|ab-2|=0，试求

1 ab+

1

(a+1)(b+1)+

11

⑵已知a+b与a-b互为相反数，求a2000+b2000+a2003-b2003

【解析】⑴易得a=1，b=2；

则原式=1+1⨯1+L+1

1⨯22⨯33⨯42013⨯2014

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