空间向量复习PPT教学课件

n
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂
线PO，记PA和平面所成的角为，则点P
到平面的距离 nP
d | PO |
| PA | sin
O A
| PA | | n • PA | | n || PA |
| n • PA| |n|
三、求直线与平面间距离
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1 及1 cos a , b 0 时，的夹角在什么范围内？
立体几何中的向 量方法
2、已知向量a 1,2,2 则 a 上的单位向量为：
1 , 2 , 2 或 1 , 2 , 2 3 3 3 3 3 3
三、有关结论 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β
的法向量分别为u,v,则
线线平行：l∥m a ∥b a=kb; 线面平行：l ∥α a⊥u a·u=0; 面面平行：α∥β u ∥v u=kv.
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
D1 A1
G D
n1 n1
DA AE
2x 2y
0 z
0
x z
0 2
y
取y=1，则 n1 (0,1,2)
同理可求 n2 (0,1,2)
（1） n1 FC1 (0,1,2) (0,2,1) 0
n1 FC1 ，又FC1
平面ADE，
FC1 // 平面ADE
（2） n1 // n2
∴平面ADE//平面B1C1F
（回到图形问题）
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是BB1、DD1的中点，求证： （1）FC1//平面ADE （2）平面ADE//平面B1C1F
证明：如图1所示建立空间直角
坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、
1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。
2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。
3.1.3空间向量的数量积
1） 两个向量的夹角
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a
A
a
B O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
空间向量复习
例3、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
少时，才能提起这块钢板？
F3
F1
C
F2
p=xi+yj+zk
(x,y,z)就是向量p的坐标。
3.1.5 向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3), b (b1,b2 , b3)则
a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3) ;
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R) ;
被唯一确定了，并且 a,b＝b, a
如果a, b ,则称a与b互相垂直，并记作： a b
2
2）两个向量的数量积
a b a b cosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）射影
已知向量AB＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。作点A在
向量 a,b(b o), a // b 的充要条件是存在实
数λ使 a b
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
知非零向量 的a直线,那么对任一点O,点P
可 用
在直线 上的l 充要条件是存在实数t,满足等
式OP=OA+t 其中a 向量a叫做直线的方向
于 证 明
向量.
点
假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
立体几何中的向量方法——坐标法
问题1：已知：△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC,
且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：
平面ADE⊥平面ACE.
z
E
⑴怎样建立适当的空间直角坐标系？
线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a·b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u·v=0.
3.2.3利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 A(x1起, y点1 ,坐z1)标、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
o
A
B
500kg
例4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。
（1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。
P
F
E
D
C
A
B
3.1.1空间向量的运算
注意： 数量积不满足结合律 （a b)c a (bc)
向量数量积的应用
1、应用a
b
a
可b 证 0明两直线垂直，
2、利用
a
2
可a2求线段的长度。
3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
共 线
若P为A,B中点, 则
OP 1 OA OB 2
P
a
B A
O
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
Fra Baidu bibliotek
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p与向量 a共, b面的充要
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
AB n
sin cos AB,n
AB n
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
A
O
B n1
n2 n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
4)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b，有：
1) a e a cosa, e
2) a b a b 0
2
3) a a a 注意：
①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a) b (a b)
2) a b b a (交换律） 3）a (b c) a b a c (分配律）
b
O
a
A
a
B
b
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
关键：观察二面角的范围
一、求异面直线的距离 3.2.4
方法指导:①作直线a、b的
方向向量a、b，求a、b的法
向量n，即此异面直线a、b
的公垂线的方向向量；
A a M
②在直线a、b上各取一点
A、B，作向量AB；
n
③求向量AB在n上的射影
N Bb
d，则异面直线a、b间的距
离为
AB n
d AB cos AB, n
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
d A,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
始点相同的三个 C1 不共面向量之和，等
B1 M
于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公
共始点为始点的对角
线所示向量
C
A
B
3.1.2共线向量定理与共面向量定理
一、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向
量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
条件是存在实数对x, y使 P xa yb
注：可用于证明三个向量共面
bB
M aA
p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使 MP x MA y MB
或对空间任一点O,有OP OM x MA yMB
注意： 证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
二、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
A（2，0，0）、C（0，2，0）、 C1（0，2，2）、E（2，2，1）、 F（0，0，1），所以
FC1 (0,2,1) DA (2,0,0) AE (0,2,1)
设 n1 (x1, y1, z1 ) ，n2 (x2 , y2 , z2 ) 分别是 平面ADE、平面B1C1F的法向量，则，n DA n AE ，
l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，则A1B1叫做向量A B在轴l上的
或在e方向上的正射影，简称射影。 B
A1B1 AB cosa, e a e
e
A1
B1
l
A
注意：AB 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 与AlB的方向的相对关系，大小代 表在l上射影的长度。
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的
三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。
则空间中任意一个向量p可表示为
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
PA n
d
n
xD
C
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z