2020年大学高等数学考试试题及解析

2020年全国大学高等数学考试试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设12(sin cos )x

y e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分

方程的通解,则该方程为_____________.

(2)设222z y x r ++=

,则div(gradr)

)

2,2,1(-=_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:

⎰

⎰

--01

12

),(y dx y x f dy ＝_____________.

(4)从2

R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵

为 .

(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,

10,

0,6),(≤≤≤⎩⎨

⎧=则

=≤+}1{Y X P .

(6)已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .

(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ] (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点.

（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞

→n n a ,1lim =∞

→n n b ,∞=∞

→n n c lim ,则必

有[ ]

(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞

→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞

→lim 不存在.

（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)

(),(lim 2

220

,0=+-→→y x xy

y x f y x ，则[ ]

(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.

(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.

(4)设11114

0001

1110000,,1111000011110

000A B ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

则A 与B [ ] (A) 合同且相似.

(B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似.

(D) 不合同且不相似.

(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于[ ]

(A)-1.

(B) 0.

(C)

12

. (D) 1.

三、(本题满分6分)

求dx e

e x

x

⎰2arctan .

四、（本题满分12分）

将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞

=+-0

12)1(n n

n 的和.

五、(本题满分8分)

设)(x f =2

10,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩

将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--12

41)1(n n

n 的和.

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0

(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）

七、(本题满分7分)

设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:

(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;

(2)0

1

lim ()2

x x θ→=

.

八 、（本题满分12分）

设函数f(x)连续且恒大于零，

⎰⎰⎰⎰⎰

+++=

Ω)

(2

2

)

(222)()()(t D t d y x

f dv

z y x f t F σ

，⎰

⎰⎰

-+=

t

t D dx

x f d y x f t G 1

2

)

(22)()()(σ

，

其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=

(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.

(2) 证明当t>0时，).(2

)(t G t F π

>

九、(本题满分6分)

设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,

21223,

t t βαα=+,

121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0

Ax =的一个基础解系.