抛物线形断面渠道均匀流水深的近似计算公式

第３０卷第７期２　０　１　

２年７月水　电　能　源　科　学

Ｗａｔｅｒ　Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ　ａｎｄ　ＰｏｗｅｒＶｏｌ．３０Ｎｏ．７

Ｊｕｌ．２　０　１　

２文章编号：１０００－７７０９（２０１２）０７－００９４－

０３抛物线形断面渠道均匀流水深的近似计算公式

谢成玉１，滕　凯２

（１．黑龙江省水利工程建设监理公司，黑龙江哈尔滨１５００００；２．齐齐哈尔市水务局，黑龙江齐齐哈尔１６１００６）摘要：针对二次抛物线形断面渠道均匀流水深计算存在的问题，采用优化拟合的方法，通过对二次抛物线形断面渠道均匀流水深计算公式的拟合，得到了表达形式简单、计算过程简捷、实用范围广、便于工程设计人员实际应用的近似计算公式。误差分析及算例计算表明，在工程实用范围内，该公式的无量纲水深最大拟合相对误差为０．２５７％，均匀流水深计算最大相对误差为０．５１３％，完全满足实际工程的水力计算及设计精度要求。关键词：抛物线形渠道；均匀流水深；优化拟合；水力计算中图分类号：ＴＶ１３１．４

文献标志码：Ａ

收稿日期：２０１１－１１－１７，修回日期：２０１１－１２－

２８作者简介：谢成玉（１９５７－），男，高级工程师，研究方向为水利工程建设管理，Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｆｇｃｊｓｊ

＠１６３．ｃｏｍ通讯作者：滕凯（１９５７－），男，高级工程师，研究方向为水利防灾减灾及工程优化设计，Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｅｎｇ

ｋａｉ００７＠１６３．ｃｏｍ 随着水利施工机械在施工技术及工艺上的快

速发展，

断面曲线连续、水流条件好、力学性能优越的抛物线形断面渠道正越来越广泛地被应用于水利水电灌排及城市供排水工程。目前，渠道工程上已采用的抛物线形主要有半立方抛物线、二次抛物线及三次抛物线断面。由于这些抛物线形渠道断面的水力计算涉及高次方程的求解，采用常规的试算法及图解法不但计算过程繁复且成果精度不高，

而由计算机编程求解又不便于基层工程技术人员实际工作，因此相关的水力计算问题

也逐渐引起了相关学者的重视，如魏文礼等［

１，２］

研究了半立方抛物线及二次抛物线断面的最优化

形式；

明万才等［３］

提出了半立方抛物线均匀流水深的迭代计算法；文辉等

［４］

通过优化拟合法给出

了半立方抛物线均匀流水深的直接计算式。但对渠道工程中应用更加广泛的二次抛物线形断面渠道均匀流水深的计算问题研究相对较少。王羿

等［５］

采用优化拟合的方法获得了二次抛物线形断

面渠道均匀流水深的近似迭代初值，并由此提出了均匀流水深的近似计算公式，但因该方法需分别完成初值参数及中间变量计算，最终的迭代公式形式相对比较繁复，且求解过程仍显繁琐，因此不便于实际应用。为进一步简化二次抛物线形断面均匀流水深的计算过程，

本文采用优化拟合的方法，

以标准剩余差最小为目标函数，获得了一种表达式较为简捷、实用范围广、计算精度较高的近似计算公式。

１　均匀流水深基本计算公式

以曼宁公式表示的明渠均匀流方程为［

６］

：ｎＱ／ｉ１／２＝Ａ５／３

／

Ｘ２／３（１）式中，ｎ为渠床糙率；Ｑ为过水流量，ｍ３／ｓ；ｉ为渠底坡降；Ａ为过水断面面积，ｍ２

；Ｘ为过水湿周，ｍ。

二次抛物线形断面曲线方程为：

ｈ＝ｐ（ｂ／２）２（２

）式中，ｈ为过水断面均匀流水深，ｍ；ｐ为二次抛物

线形状参数，ｍ－１；ｂ为过水断面水面宽度，ｍ。

二次抛物线形过水断面面积及湿周分别为：

Ａ＝４ｈ３／

２

／（３槡ｐ）

（３

）Ｘ＝

１

ｐ

∫

４ｈ／槡

ｐ０

１＋ｐ（）ｂ槡

２

ｄ（ｐｂ）＝ｌｎ　２　ｐ槡ｂ＋１＋４ｐ槡ｂ＋２　ｂ　ｐ槡１＋４ｐ槡（

）ｂ２ｐ

（４）设

ｙ＝１＋ｘ槡

２

（５）ｘ＝２　ｐ槡

ｈ（６）ｋ＝０．０８（

ｎＱｐ８／３

）（７

）式中，ｙ、

ｋ均为中间变量；ｘ为无量纲水深。将式（３）～（７）代入式（１），经整理即可获得二次抛物线形断面均匀流水深的计算公式为：

ｋ＝ｌｎ　ｘ＋（）ｙ＋［ｙ　ｘ］２／

３ｘ５或ｘ＝ｌｎ　ｘ＋（）ｙ＋ｙ　ｘ［］２／

１５

ｋ

１５

（８

）

第３０卷第７期谢成玉等：抛物线形断面渠道均匀流水深的近似计算公式

２　近似计算公式的建立及精度分析

２．１　公式建立

式（８）为高次函数的超越方程，无法直接求解。为避免利用式（８）求解超越方程问题，现假设ｘ′＝ｆ（ｋ）函数在工程实用范围内（即０．４≤ｘ≤

４．０，０．００６　

８≤ｋ≤８６．００［５］

）可替代式（８），以标准剩余差最小为目标函数［

７］

，即：Ｓ＝ｍｉｎ

∑ｎ

ｉ＝１

（ｘ－ｘ′）２

／（ｎ－１槡

）（９

）式中，ｎ为在工程实用参数范围内拟合计算所选

定的拟合点数。

经逐次逼近拟合［８

］即可获得如下替代函数，即：ｘ＝（０．９１８　６ｋ０．２２９　

２－０．０４３　

８）－１（１０

）２．２　精度分析及比较

为比较式（１０）与式（８）的拟合精度，考虑在工程实用范围内并适当外延（即０．２≤ｘ≤４．０，０．００６　８≤ｋ≤１　７０４．００），取不同的ｘｉ值即可由式

（８）分别计算出与之相对应的ｋｉ，再将ｋｉ代入式（１０）求得与之相对应的ｘ′ｉ，

并由下式完成式（１０）替代式（８）的拟合相对误差计算，即：εｘｉ＝（ｘｉ－ｘ′ｉ／ｘｉ）

×１００％（１１）式中，εｘｉ为第ｉ个拟合计算点ｘ值的相对拟合误差，％。

式（１０）替代式（８）相对误差计算结果见表１。由表可看出，在工程实用范围内，采用式（１０）替代式（８）的最大拟合相对误差为０．２５７％。由此可见，本文公式（１０

）具有更好的拟合替代精度。表１　式（１０）替代式（８）相对误差计算结果Ｔａｂ．１　Ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　

ｆｏｒｍｕｌａ

与文献［

５］公式相比，本文公式（１０）最大拟合相对误差减小了５４％，实用范围更宽（０．００６　８≤ｋ≤１　

７０４．００），计算简捷，具有更好的实用性。应说明的是上述拟合误差分析是针对无量纲水深ｘ进行的，若

ｘ＝２ｐ槡ｈ，ｘ′＝２　ｐ槡

ｈ′（１２

）则

ｈ＝ｘ２／（４ｐ），ｈ′＝ｘ′２／（４ｐ）（１３

）而均匀流水深ｈ的相对误差计算公式为：

εｈｉ＝［（ｈｉ－ｈ′ｉ）／ｈｉ］

×１００％（１４）将式（１２）、（１３）代入式（１４

），经整理可得：εｈｉ＝１－ｘ′ｉ／ｘ（）ｉ［］

２

×１００％（１５）由式（１１）可得ｘ′ｉ／ｘｉ＝（１－εｘｉ）

，将其代入式（１５

）整理得：εｈｉ＝（２εｘｉ－ε２

ｘｉ）

×１００％（１６）本文公式（１０）

无量纲水深ｘ的最大拟合误差为０．２５７％，则由式（１６）可求得均匀流水深ｈ的最大计算误差为０．５１３％。文献［５］无量纲水深ｘ的最大拟合误差为０．５６１％，均匀流水深ｈ的最大计算误差为１．１１９％，为本文公式（１０）最大计算误差的２．１８倍。

３　算例

（１）算例１。采用文献［５］

算例，某二次抛物线形渠道横断面的曲线方程为ｙ＝０．０１６ｘ

２

，渠道糙率ｎ＝０．０２５、坡降ｉ＝５．２×１０

－

４，求当过水流量Ｑ＝７７．７０２ｍ３／ｓ时渠道的均匀流水深ｈ。

由式（７）可求得ｋ＝５７．７７４，将ｋ代入式（１０）即可求得ｘ＝０．４３７　９。由式（１３）得均匀流水深ｈ＝２．９９６ｍ，精确解ｈ＝３．０００ｍ，本文公式（１０

）计算相对误差为０．１３％。文献［５］公式的计算结果ｈ＝３．０１６ｍ，相对误差为０．５５％。

（２）算例２。其他参数仍采用算例１，求当渠道断面抛物线形状参数ｐ＝０．４时的均匀流水深

ｈ。采用与算例１相同的计算方法可求得ｋ＝

０．０１１　０、ｘ＝３．５３４　２。ｈ＝７．８０７ｍ，精确解ｈ＝７．８１０ｍ，本文公式（１０）计算相对误差为０．０４％。

文献［５］公式的计算结果ｈ＝７．７５７ｍ，相对误差为０．６８％。

通过上述算例可见，在ｋ取较大及较小值情况下，本文公式（１０）均具有较小的计算误差，完全可满足实际工程的设计精度要求。

４　结语

通过优化拟合的方法完成了对二次抛物线形渠道断面均匀流水深计算公式的拟合，获得了表达形式简单、实用范围广、求解精度高的计算公式，经误差分析及实例计算表明，在工程实用范围内，

本文公式的无量纲水深最大拟合相对误差为０．２５７％，均匀流水深计算最大相对误差为

０．５１３％，完全满足实际工程的水力计算及设计精度要求。

（下转第１７２页）

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