高数隐函数求导专题

v y


1 J
(F,G) (u, y )


1 Fu Fv Gu Gv
Fu Fy Gu Gy
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设方程组
F( G(
x, x,
y,u, y,u,
v) v)

0 0
有隐函数组
则
两边对 x 求导得

Fx Gx
Fu Gu

u
x u
x
Fx Fz
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
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例2. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导

0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数.
①
①式两边对 x 求导, 得
1 x u x v
u x v x
②
0 y u y v
u x v x
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注意 J 0, 从方程组②解得
1 u 1 x J 0
)
z F1 x F1 y F2
z
F2

1 z
y
F1

(
x z2
)

F2

(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz

z x
dx

z y
dy

x
z F1
y
F2
(F1dx

F2d y)
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
连续偏导数的反函数
2) 求
对 x , y 的偏导数.
解: 1) 令 F(x, y,u,v) x x (u,v) 0
G(x, y,u,v) y y (u,v) 0
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则有 J (F,G) ( x, y ) 0, (u,v ) (u,v )
•
z x

f1

1

z x

f 2
yz xy z
x

z x

1
f1 f1
yz f2 xy f
2
•
1
f1
x z
1
f2
yz x z

xy
x z
1 f1 xy f2 f1 yz f2
•
0

x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
① 具有连续的偏导数;
的某一邻域内满足
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
F1

d(
x) z

F2

d(
y) z

0
F1
(
zd
x z2
xdz)

F2

(
zd
y z2
ydz)

0
xF1 yF2 z2
dz

F1dx F2 dy z
dz

x
F1
z
y
F2
(F1dx

F2d y)
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2

( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
f1
x y
1

f 2

yz
x y

xz

x
y
f1 xz f2 f1 yz f2
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解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f (x y z, xyz)
d z f1 dx dy dz f2 yz dx xzdy xyd z
的反变换的导数 . 由于
ur 1 y
x J v
r
v
x


1 J

y ur
所以
r 1 y 1 r cos cos x J r
x x2 y2

x


1 J
y r

1 sin
r


x2
y
y2
同样有 r y y x2 y2
u v
y x


xu x2
yv y2
v 1 x J

xv x2
yu y2
v y


xu x2
yv y2
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例5.设函数 邻域内有连续的偏导数,且
在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
且有偏导数公式 :
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u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
v y
1y, J v
v
x 1
v 1 x J
u y
1y
0
J u
u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1 x, y J v
v 1 x y J u
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例5的应用: 计算极坐标变换 x r cos , y r sin
雅可比 目录 上页 下页 返回 结束
定理3. 设函数
满足:
① 在点 导数；
的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0,v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
③ J (F,G) 0 P (u, v) P
则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 )
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
dy dx
Fx x 0 Fy
x

0

ex y cos y x
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)

( cos y x )2
3
x0
y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两Hale Waihona Puke Baidu对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0


ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
再对 x 求导
2

4
2z x2

0
1 (z)2 x
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解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
解出 dx :
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x u y v u x x
y u x v v x x
练习: 求 u , v y y
答案:
由题设 J x y x2 y2 0 yx
u y


yu xv x2 y2
故有
u 1 x J
同样可得
u 1 (F,G) y J ( y , v ) v 1 (F,G) y J (u , y )
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例4. 设 x u y v 0, y u x v 1, 求 u , u , v , v . x y x y

Fv Gv

v x v x
0 0
这是关于 u , v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内
x x
系数行列式 J Fu Fv 0, 故得 Gu Gv
公式 目录 上页 下页 返回 结束
u 1 (F,G) x J ( x, v ) v 1 (F,G) x J (u, x )
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
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定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
Fx Fv Gx Gv
(P34-P35)
Gu Gv
u 1 (F,G) 1
Fy Fv
y J ( y, v)
Fu Fv Gy Gv
Gu Gv
v 1 (F,G) x J (u, x)
1 Fu Fv
Fu Fx Gu Gx
Gu Gv
定理证明略. 仅推导偏导 数公式如下：
第五节
第八章
隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
x
v y
1y, J v
v
x
v 1 x J
u y
u
1 1y
0 J u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1 x, y J v
v 1 x y J u
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注意 J 0, 从方程组②解得
1 x
u 1 x J 0
xy x


Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx

Fxy Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)


Fxx Fy 2

2Fxy Fx Fy Fy3

Fy y Fx2
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例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2

y

x2
x
y
2
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式
思考与练习
设
求
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提示: z f (x y z , xyz)
两边对 x 求偏导
2z x2

x
( 2
x
) z

(2
z)2 (2 z)3
x
2
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z x


F1

1 z
F1

(
x z2
)

F2
(
y z2