逆序数n阶行列式的定义
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三 、 对换 在一个 n 级排列 i1 , i 2 ,..., i n 中，若将其中两个数码对调， 其它数码不变，得到另一个排列，称为一个对换。 如： i1 , i2 ,..., is ,..., it ,..., in 经对换 (i s , it ) 得： i1 , i2 ,..., it ,..., i s ,..., in 24153 对换（4，5）得 25143；24153 对换（2，1）得 14253
1 2 n
列。 思考题： 思考题：若 (−1)
N ( i 432 k )+ N ( 52 j14 )
ai 5 a42 a3 j a21ak 4 是五阶行列式 D =| aij |
的一项， 应何值？此时，该项的符号是什么？ 的一项，则 i, j , k 应何值？此时，该项的符号是什么？
Байду номын сангаас
0 0 0 D= ... 0 a n1
0 0 0 ... a n −1, 2 0
... ...
0 0
0 a 2,n −1 0 ... ... 0
a1n 0
n ( n −1) 0 = (−1) 2 a1n a 2,n −1 ...a n −1, 2 a n1 ...
特例： 特例：
... a3,n −2 ... ... 0 0 0 0
带正号的3项列标排列的逆序数是偶数 带负号的3项列标排列的逆序数是奇数 ，
a11 a12 a 22 a32 a 23 = ∑ (−1) a33 a13
N ( j1 j2 j3 )
于是
D3 = a 21 a31
a1 j1 a 2 j2 a3 j3
三、n阶行列式
2 Def ： 用 n 个 元 素 aij ，
二、 逆序 逆序数 逆序： 逆序： 在 n 级排列中，若一个较大的数排在一个 较小的数前面，称为一个逆序。
逆序数： n 级排列中逆序的总数称为逆序数，记为 逆序数 ： σ (i1 , i2 ,..., in ) 。
σ 例 1、 (2413) =
σ σ σ ； (24153) = ； (12345) = ； (36715284) =
0 0
0 0 0 1 D=
例 8、计算四阶行列式
0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0
Th4:n Th4:n 阶行列式 D =| aij | 的一般项为
(−1) N (i1i2 ...in )+ N ( j1 j2 ... jn ) ai1 j1 ai2 j2 ...ain jn ， 其中 i1 , i2 ,..., in ，j , j ,..., j 均为n 级排
=
∑
(−1)
j1 ... jn取遍n级排列
a1 j1 a2 j2 ...anjn
。
（ 一个行列式有一行（或一列） 注： 1）一个行列式有一行（或一列）的元素都为 0，则行 列式为 0； （2）一阶行列式 | a |= a ，n 阶行列式有时简记为 | aij | 。
考虑下列问题： 例 5、考虑下列问题： ．有一个五阶行列式 为其中一项， 1） 有一个五阶行列式， a13 a 21a32 a 45 a54 为其中一项，试确 ．有一个五阶行列式， 定其符号； 定其符号； 为五阶行列式的一项， ．设 2） 设 a1i a 23 a34 a 4 j a51 为五阶行列式的一项，取“－”号， ． 试确定 i, j 。
(i, j = 1,2,..., n )
，组成记号
a11 a 21 ... a n1
a12 a 22 ... an 2
... a1n ... a 2 n ... ... 阶行列式， （其中横 称为 n 阶行列式 ， 记 Dn ， 其中横 （ ... a nn
排称为行，纵排称为列） 。 排称为行，纵排称为列）
、符号 项负： 2 ） 符号 ： n 项正 n 项负 ： 、 符号： 即
( −1)
N ( j1 j 2 ⋯ j n )
带正号的 n项列标排列的逆序数是 偶数 带负号的 n项列标排列的逆序数是 奇数
∴ 行列式的一般项为 ： 行列式的一般项为： ( −1) N ( j j ... j ) a1 j a 2 j ...a nj ；
证明下三角行列式： 例 6、证明下三角行列式：
a11 a 21 D = a31 ... a n1 0 a 22 a32 ... an2 0 0 a33 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 0 0 0 = a11 a 22 ...a nn ， aii ≠ 0 ， i = 1,2,..., n 。 ...
阶行列式表示这样项的代数和： n 阶行列式表示这样项的代数和 ： 、项数 1 ） 项数 ：n 个数字所有排列共 n! 个 ，共有 n! 项 ，每一 、项数： 个元素的乘积， 项是位于不同行不同列 n 个元素的乘积 ， 且每一项可表示 为
a1 j1 a 2 j2 ...a nj n
2⋯ 行标：第一个下标 123 ⋯ n 是1，， ， n 的标准排列； 列标：第二个下标 j j ⋯ j 是123， ， n 的某个排 ⋯ 1 2 n 列，这样的排列有 n!种，对应 n!项.
§2、n 阶行列式定义 一 、二阶行列式
a11 a12
记号 a 21 a 22
＝ ∑ (−1)
= a11 a 22 − a12 a 21
a1 j1 a2 j2
表示代数和， 表示代数和，称为二阶行列式
N ( j1 j2 )
二 、三阶行列式 记号： 记号：
a11 a12 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a31 a33 a21 a22 a31 a32
排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 奇 （ 偶 ） 排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 ； 逆 序数为偶数的排列称为偶排列。 序数为偶数的排列称为偶排列。 级排列123 123…n n(n21排列的逆序数 例2、求n级排列123 n及n级n(n-1)…21排列的逆序数， 21排列的逆序数， 并判别是奇排列，还是偶排列？ 并判别是奇排列，还是偶排列？
− a11a23 a32 − a12 a21a33 − a13 a22 a31
＝ ∑ (−1)
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3 称为三阶行列式，记 D3 称为三阶行列式，
分析三阶行列式的结构： 分析三阶行列式的结构 1）项数：共 6＝3！项，每一项都是位于不同行不同列的 项数： 项数 三 个 元 素 的 乘 积 ， 且 每 一 项 可 以 表 示 为
， aii
≠ 0 ， i = 1,2,..., n 。
特例： 特例 ： 对角行列式
a11 0 D= 0 ... 0 0 a 22 0 ... 0 0 0 a 33 ... 0 0 0 0 ... ... ... 0 0 0 = a11 a 22 ...a nn
... ... 0 ... 0 a nn
， a ii
≠ 0 ， i = 1,2,..., n 。
例 7、证明反三角行列式
a11 a 21 a D = 31 ... a n −1,1 a n1 a12 a 22 a32 ... a n −1, 2 0 a13 a 23 ... ... 0 0 ... ... a 3, n − 2 ... 0 0 a1,n −1 a 2,n −1 0 ... ... 0 a1n 0 n ( n −1) 0 = (−1) 2 a1n a 2,n −1 ...a n −1, 2 a n1 ... 0 0
a n 3 ... ... a nn
同理上三角行列式： 同理上三角行列式：
a11 0 D= 0 ... 0 a12 a 22 0 ... 0 a13 ... ... a1n a 23 ... ... a 2 n a33 ... ... a3n = a11a 22 ...a nn ... 0 ... ... ... ... 0 a nn
1 2 n 1 2 n
于是
a11 a 21 ... a n1 a12 a 22 ... an2
Dn = ∑ ( − 1)
... a1n ... a 2 n ... ... ... a nn
N ( j1 j2 ... jn )
a1 j1 a2 j2 ...anjn ，即
N ( j1 j2 ... jn )
Chap２ 行列式 ２ 1.排列及逆序数 § 1. 排列及逆序数 一 、 排列 引例：用 1，2，3 三个数字可以组成多少个没有重复数字的三 位数？
经过分析可以知道有个没有重复的三位数， 123， 经过分析可以知道有个没有重复的三位数 ， 即 ： 123 ， 132，231，213，321，312。 132，231，213，321，312。
th1： th1：由n个不同数码1,2,3, ,n组成的有序数组， 个不同数码1,2,3,…,n组成的有序数组， 1,2,3, ,n组成的有序数组 称为一个n级排列。 称为一个n级排列。
如1234，2341为4级排列，25413为5级排列。 1234，2341为 级排列，25413为 级排列。
说明：1） n 个不同元素所有排列的种数有 n! 种； 说明 2）排列1234⋯n 称为标准排列。
a1 j1 a 2 j2 a3 j3
2， 行标：第一个下标123是1， 3的标准排列； 列标：第二个下标 j j j 是1， 3的某个排列， 2， 1 2 3 这样的排列共有6 = 3!种，对应6 = 3!项。
项负： 2）符号：3 项正 3 项负： 符号： 即
(−1)
N ( j1 j2 j3 )
Th2： Th2： 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 如：24153 对换（4，5）得 25143，从一个偶排列 变为一个奇排列。
Th3： 个数码（ >1） Th3： n 个数码（n>1）共有
n! 个 n 级排列，其中奇偶排 级排列，
列各占一半。 列各占一半。 123，132，231，213，312， 如：123，132，231，213，312，321
1 2 n
列。 思考题： 思考题：若 (−1)
N ( i 432 k )+ N ( 52 j14 )
ai 5 a42 a3 j a21ak 4 是五阶行列式 D =| aij |
的一项， 应何值？此时，该项的符号是什么？ 的一项，则 i, j , k 应何值？此时，该项的符号是什么？
Байду номын сангаас
0 0 0 D= ... 0 a n1
0 0 0 ... a n −1, 2 0
... ...
0 0
0 a 2,n −1 0 ... ... 0
a1n 0
n ( n −1) 0 = (−1) 2 a1n a 2,n −1 ...a n −1, 2 a n1 ...
特例： 特例：
... a3,n −2 ... ... 0 0 0 0
带正号的3项列标排列的逆序数是偶数 带负号的3项列标排列的逆序数是奇数 ，
a11 a12 a 22 a32 a 23 = ∑ (−1) a33 a13
N ( j1 j2 j3 )
于是
D3 = a 21 a31
a1 j1 a 2 j2 a3 j3
三、n阶行列式
2 Def ： 用 n 个 元 素 aij ，
二、 逆序 逆序数 逆序： 逆序： 在 n 级排列中，若一个较大的数排在一个 较小的数前面，称为一个逆序。
逆序数： n 级排列中逆序的总数称为逆序数，记为 逆序数 ： σ (i1 , i2 ,..., in ) 。
σ 例 1、 (2413) =
σ σ σ ； (24153) = ； (12345) = ； (36715284) =
0 0
0 0 0 1 D=
例 8、计算四阶行列式
0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0
Th4:n Th4:n 阶行列式 D =| aij | 的一般项为
(−1) N (i1i2 ...in )+ N ( j1 j2 ... jn ) ai1 j1 ai2 j2 ...ain jn ， 其中 i1 , i2 ,..., in ，j , j ,..., j 均为n 级排
=
∑
(−1)
j1 ... jn取遍n级排列
a1 j1 a2 j2 ...anjn
。
（ 一个行列式有一行（或一列） 注： 1）一个行列式有一行（或一列）的元素都为 0，则行 列式为 0； （2）一阶行列式 | a |= a ，n 阶行列式有时简记为 | aij | 。
考虑下列问题： 例 5、考虑下列问题： ．有一个五阶行列式 为其中一项， 1） 有一个五阶行列式， a13 a 21a32 a 45 a54 为其中一项，试确 ．有一个五阶行列式， 定其符号； 定其符号； 为五阶行列式的一项， ．设 2） 设 a1i a 23 a34 a 4 j a51 为五阶行列式的一项，取“－”号， ． 试确定 i, j 。
(i, j = 1,2,..., n )
，组成记号
a11 a 21 ... a n1
a12 a 22 ... an 2
... a1n ... a 2 n ... ... 阶行列式， （其中横 称为 n 阶行列式 ， 记 Dn ， 其中横 （ ... a nn
排称为行，纵排称为列） 。 排称为行，纵排称为列）
、符号 项负： 2 ） 符号 ： n 项正 n 项负 ： 、 符号： 即
( −1)
N ( j1 j 2 ⋯ j n )
带正号的 n项列标排列的逆序数是 偶数 带负号的 n项列标排列的逆序数是 奇数
∴ 行列式的一般项为 ： 行列式的一般项为： ( −1) N ( j j ... j ) a1 j a 2 j ...a nj ；
证明下三角行列式： 例 6、证明下三角行列式：
a11 a 21 D = a31 ... a n1 0 a 22 a32 ... an2 0 0 a33 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 0 0 0 = a11 a 22 ...a nn ， aii ≠ 0 ， i = 1,2,..., n 。 ...
阶行列式表示这样项的代数和： n 阶行列式表示这样项的代数和 ： 、项数 1 ） 项数 ：n 个数字所有排列共 n! 个 ，共有 n! 项 ，每一 、项数： 个元素的乘积， 项是位于不同行不同列 n 个元素的乘积 ， 且每一项可表示 为
a1 j1 a 2 j2 ...a nj n
2⋯ 行标：第一个下标 123 ⋯ n 是1，， ， n 的标准排列； 列标：第二个下标 j j ⋯ j 是123， ， n 的某个排 ⋯ 1 2 n 列，这样的排列有 n!种，对应 n!项.
§2、n 阶行列式定义 一 、二阶行列式
a11 a12
记号 a 21 a 22
＝ ∑ (−1)
= a11 a 22 − a12 a 21
a1 j1 a2 j2
表示代数和， 表示代数和，称为二阶行列式
N ( j1 j2 )
二 、三阶行列式 记号： 记号：
a11 a12 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a31 a33 a21 a22 a31 a32
排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 奇 （ 偶 ） 排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 ； 逆 序数为偶数的排列称为偶排列。 序数为偶数的排列称为偶排列。 级排列123 123…n n(n21排列的逆序数 例2、求n级排列123 n及n级n(n-1)…21排列的逆序数， 21排列的逆序数， 并判别是奇排列，还是偶排列？ 并判别是奇排列，还是偶排列？
− a11a23 a32 − a12 a21a33 − a13 a22 a31
＝ ∑ (−1)
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3 称为三阶行列式，记 D3 称为三阶行列式，
分析三阶行列式的结构： 分析三阶行列式的结构 1）项数：共 6＝3！项，每一项都是位于不同行不同列的 项数： 项数 三 个 元 素 的 乘 积 ， 且 每 一 项 可 以 表 示 为
， aii
≠ 0 ， i = 1,2,..., n 。
特例： 特例 ： 对角行列式
a11 0 D= 0 ... 0 0 a 22 0 ... 0 0 0 a 33 ... 0 0 0 0 ... ... ... 0 0 0 = a11 a 22 ...a nn
... ... 0 ... 0 a nn
， a ii
≠ 0 ， i = 1,2,..., n 。
例 7、证明反三角行列式
a11 a 21 a D = 31 ... a n −1,1 a n1 a12 a 22 a32 ... a n −1, 2 0 a13 a 23 ... ... 0 0 ... ... a 3, n − 2 ... 0 0 a1,n −1 a 2,n −1 0 ... ... 0 a1n 0 n ( n −1) 0 = (−1) 2 a1n a 2,n −1 ...a n −1, 2 a n1 ... 0 0
a n 3 ... ... a nn
同理上三角行列式： 同理上三角行列式：
a11 0 D= 0 ... 0 a12 a 22 0 ... 0 a13 ... ... a1n a 23 ... ... a 2 n a33 ... ... a3n = a11a 22 ...a nn ... 0 ... ... ... ... 0 a nn
1 2 n 1 2 n
于是
a11 a 21 ... a n1 a12 a 22 ... an2
Dn = ∑ ( − 1)
... a1n ... a 2 n ... ... ... a nn
N ( j1 j2 ... jn )
a1 j1 a2 j2 ...anjn ，即
N ( j1 j2 ... jn )
Chap２ 行列式 ２ 1.排列及逆序数 § 1. 排列及逆序数 一 、 排列 引例：用 1，2，3 三个数字可以组成多少个没有重复数字的三 位数？
经过分析可以知道有个没有重复的三位数， 123， 经过分析可以知道有个没有重复的三位数 ， 即 ： 123 ， 132，231，213，321，312。 132，231，213，321，312。
th1： th1：由n个不同数码1,2,3, ,n组成的有序数组， 个不同数码1,2,3,…,n组成的有序数组， 1,2,3, ,n组成的有序数组 称为一个n级排列。 称为一个n级排列。
如1234，2341为4级排列，25413为5级排列。 1234，2341为 级排列，25413为 级排列。
说明：1） n 个不同元素所有排列的种数有 n! 种； 说明 2）排列1234⋯n 称为标准排列。
a1 j1 a 2 j2 a3 j3
2， 行标：第一个下标123是1， 3的标准排列； 列标：第二个下标 j j j 是1， 3的某个排列， 2， 1 2 3 这样的排列共有6 = 3!种，对应6 = 3!项。
项负： 2）符号：3 项正 3 项负： 符号： 即
(−1)
N ( j1 j2 j3 )
Th2： Th2： 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 如：24153 对换（4，5）得 25143，从一个偶排列 变为一个奇排列。
Th3： 个数码（ >1） Th3： n 个数码（n>1）共有
n! 个 n 级排列，其中奇偶排 级排列，
列各占一半。 列各占一半。 123，132，231，213，312， 如：123，132，231，213，312，321