对偶问题

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其对偶解 y1﹡ =4/5 y2﹡ =3/5
用对偶理论求(P)的最优解
解:(D)为 maxZ =4y1+3y2
y1+2y2 2 y1 - y2 3 2y1+3y2 5 y1+y2 2 3y1+y2 3 y1 , y2 0
将y1﹡ ,y2﹡ 代入,知②,
③, ④为严格不等式
∴ x2 = x3 = x4 = 0
迭代 保持B-1b0,使C -CBB-1 A 0, 即CBB-1 A C
对偶单纯形法:找基B,满足C - CBB-1 A 0, 但B-1b不全0
迭代 保持C -CBB-1 A 0,使B-1b0
对偶单纯形法基本步骤 max型(min型)
(1)、作初始表,要求全部λj 0 (0)
(2)、判定: B-1 b全0,停。否则,取
CX*≤CX’ =Y’b≤ Y*b
性质4:对偶性 若LP有最优解,则DP也有最优解(反 之亦然),且LP和DP的最优值相等
证:设LP有最优解X*,对于最优基B必有C-CBB-1A≤0
和-CBB-1 ≤0,即有Y*A≥C和Y*≥0,就有Y*=CBB-1,从 而Y*是可行解,对于目标函数有
CX*=CBXB=CBB-1b=Y*b 由性质3知Y*是最优解。
明该资源在生产过程中没有做出贡献,只能理解为第i种 资源有剩余时再增加该资源量不能给企业带来利润或产值 的增加。 4、影子价格是企业生产过程中资源的一种隐含的潜在价值, 表明单位资源的贡献,与市场价格是不同的两个概念。 5、影子价格是一个变量。
对偶单纯形法 思路:(max型)
单纯形法:找基B,满足B-1b0,但 C - CBB-1 A不 全 0,(即检验数)。
对(*)求偏导:
Z b
= CBB-1 = y
对偶解
y:b 的单位改变量所引起的目标函数改变量。
yi :反映bi 的边际效益(边际成本)
经济解释: b1
W=yb=(y1 … ym )

= b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym
bm
bi : 第 i 种资源的数量 yi :对偶解 bi增加 bi ,其它资源数量不变时,目标函数 的增量 Z= bi yi
x1, x2,x3 ≥0
最优解是X=(6,2,0)T,求对偶问题的最优解。
minω=10y1+16y2 y1+2y2≥3 2y1+2y2≥4 y1+y2 ≤1 y1, , y2≥0
min = 2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5 4
(P) 2x1 -x2+3x3+x4+x5 3 xi 0 ( i =1 … 5 )
max{ B-1 b }=(B-1 b)l
B-1 b<0
令第 l 行的Xj l为换出变量.(建议取b为负数,取min)
(3)、确定换入变量 ① 若Xi l行的alj 全0 ,停,原问题无可行解。
② 若Xi l行的alj 有alj <0 ,
则求 θ=min{
alj <0
λj alj
}=
λk alk
Xk为换入变量
1、对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法,而不是去 求对偶问题的最优解。
性质2:弱对偶性 设X’,Y’分别为(LP)和(DP)的可
行解,则CX’ ≤Y’b
证: 因为X’,Y’分别是 (LP)和(DP)的可行解,则
AX’≤b ,X’≥0和Y’A ≥C,Y’≥0; 将不等式AX’≤b 两边左乘Y’,得Y’ AX’≤ Y’ b ; 将不等式Y’A ≥C两边右乘X’ ,得Y’ AX’ ≥ C X’ ; 则C X’ ≤ Y’ AX’≤ Y’ b 结论:1、 LP的任一可行解的目标值是DP的最优值的下界,
9x1+8x2+6x3≤500 5x1+4x2+7x3≤450 8x1+3x2+2x3 ≤300 7x1+6x2+4x3 ≤550
x1, x2,x3 ≥0
minω=500y1+450y2+300y3+550y4
9y1+5y2+8y3+7y4≥100 8y1+4y2+3y3+6y4≥80 6y1+7y2+2y3+4y4≥70
maxZ=6x1-2x2+x3
2x1-x2+2x3≤2 x1+4x3 ≤4 x1, x2,x3 ≥0
1、求出每步迭代对应对偶问题的基本解。 2、从最优表中写出对偶问题的最优解。 3、用公式Y’=CBB-1求对偶问题的最优解。
XB x1 x2 x3 x4 x5 b a x4 [2] -1 2 1 0 2

② 由y1﹡ ,y2﹡﹥0知
③ 原约束为等式

x1+3x5 =4

2x1+x5 =3
∴ x = (1, 0, 0, 0, 1)T
Z=5
性质6:LP检验数的相反数对应于DP的一组
基本解,其中第j个决策变量xj的检验数的相反 弛数变对量应x于i的D检P中验第数j的个相松反弛数变对量应yS于j的D解P,中第第ii个个松对 偶变量ySj的解。的反一之组,基D本P解的。检验数对应于LP
相反时,则另一个问题的变量(约束)的不等式符号与它 的规范形式符号相反
对偶问题的性质
maxZ=CX LP AX≤b X≥0
minω= Yb DP YA ≥C Y≥0
性质1:对称性 对偶问题的对偶是原问题
证:maxZ=CX, AX≤b ,X≥0
它的对偶问题是minω= Yb,YA ≥C,Y≥0 上述对偶问题等价于maxω=-Yb, -YA≥-C,Y≥0 它的对偶问题是min ω’ =-CX, -AX≥-b ,X≥0 上述对偶问题等价于maxZ=CX, AX≤b ,X≥0
minω= Yb
YA ≥C
Y≥0
minZ=5x1-2x2+3x3 4x1+x2-x3≥4 x1-7x2+5x3≥1 x1,x2,x3≥0
maxZ=4x1+3x2 5x1-x2≤6 7x1+5x2 ≤8 x1+3x2 ≤10
x1, x2,x3 ,x4,x5≥0
原问题(对偶问题)
目标函数max
目标函数系数(资源限量) 约束条件系数矩阵A(AT)
λaklk
(4)、以alk 为主元,换基迭代
minZ=4x1+x2+3x3 x1+x2+x3≥5 x1-x2-4x3≥3 x1,x2,x3≥0
minZ=4x1+x2+3x3 -x1+x2+x3+x4=-5 -x1-x2-4x3+x5=-3 x1,x2,x3,x4,x5≥0
初 始
XB x4
x1
-1
y1,y2,y3≥0
设A=(P1, P2…Pm)中的前m列向量构成一个可行基, 记作B=(P1, P2…Pm)。矩阵A中后n-m列构成的矩 阵记作N=(Pm+1, Pm+2…Pn),A= (B,N).
对于基B,基变量为XB =(x1, x2…xm)T, 非基变量为XN =(xm+1, xm+2…xn)T 加入松弛变量XS
解 无界解(有wk.baidu.com可行解) 无可行解
应用 已知最优解
已知检验数
通过解 方程
检验数 乘以-1
一个问题min
有最优解 性质4 无最优解 性质4 无可行解 性质2
无界解(有 可行解) 求最优解 性质5
求得基本解 性质6
四、 对偶解的经济意义 (1)、Z= CBB-1b + (CN - CBB-1 N)XN (*) Z= Z(b) b为资源
变 n个变量 量
第j个变量≥0
第j个变量≤0
第j个变量无约束
约 m个约束 束
第i个约束≥
第i个约束≤
第i个约束=
对欧问题(原问题)
目标函数min
资源限量(目标函数系数) 约束条件系数矩阵AT(A)
约 n个约束 束
第j个约束≥
第j个约束≤
第j个约束=
变 m个变量 量
第i个变量≥0
第i个变量≤0
第i个变量无约束
x5 1 0 4 0 1 4 λj 6 -2 1 0 0 x1 1 -1/2 1 1/2 0 1 b x5 0 [1/2] 3 -1/2 1 3 λj 0 1 -5 -3 0 x1 1 0 4 0 1 4 c x2 0 1 6 -1 2 6 λj 0 0 -11 -2 -2
一个问题max
有最优解 无最优 无最优解
对偶问题
在线性规划问题中,存在这样一个问题,即 每一个线性规划问题都伴随着有另一个线 性规划问题,称它为对偶线性规划问题或 对偶问题(Dual Problem,DP)
A
B
1
9
8
2
5
4
3
8
3
4
7
6
利润 100
80
C
资源限量
6
500
7
450
2
300
4
550
70
maxZ=100x1+80x2+70x3
DP的任一可行解的目标值是LP的最优值的上界 2、在互为对偶的两个问题中,若一个问题可行且具有无界
解,则另一个问题无可行解
3、若原问题可行且另一个问题不可行,则原问题具有无界 解
minZ=x1+2x2 -x1-x2/2 ≥ 2 x1+5x2≥2 x1,x2≥0
maxω=2y1+2y2 -y1+y2 ≤ 2 -y1/2+y2 ≤ 2 y1,y2≥0
minZ=x1+5x2- 4x3+9x4 7x1-2x2+8x3-x4≤18 6x1-5x4≥10 2x1-8x2-x3=-14
x1无约束,x2 ≤0,x3,x4≥0
maxω=18y1+10y2-14y3 7y1+2y3=1
-2y1+6y2-8y3≥ 5 8y1-y3 ≤-4 -y1-5y2 ≤ 9
原问题无可行解,对偶问题有可行解又性质3知必有 无界解
性质3:最优性 设X’,Y’分别为LP和DP的可行解,则 当X’,Y’是LP和DP的最优解且仅当
CX’ = Y’b
证:若X’,Y’是最优解,B是最优基,则有 Y’=CBB-1,并且CX’ =CBB-1 b= Y’b
当CX’ =Yb’时,由性质2,对于任意可行解X*, Y*有
Y’AX’+Y’XS=Y’b Y’AX’-YSX’=CX’ 得
Y’XS= -YSX’ Y’,XS,YS , X’ ≥0
Y’XS=0和YSX’ =0
当Y’XS=0和YSX’ =0时,
Y’AX’=Y’b Y’AX’=CX’ 显然有
CX’ =Y’b 由性质3知
X’和Y’是最优解
原始问题的变量 原始问题的松弛变量
x1
xj
xn xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym ym+1
ym+j yn+m
对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量
xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中,其中一个大于0,另一个一定等于0
maxZ=3x1+4x2+x3
x1+2x2+x3≤10 2x1+2x2+x3 ≤8
XB XB B
CB
XN XS b N Eb
CN 0
XB XB E
CB
XN XS B-1N B-1
CN 0
b B-1b
XB XB E
λ0
XN
XS
B-1N
B-1
CN-CB B-1N -CBB-1
b B-1b -CBB-1b
令Y=CBB-1
CN-CB B-1N≤0 -CBB-1 ≤0
YA ≥C
Y≥0
令Y=CBB-1两边右乘b,则Yb=CBB-1b=Z,有因Y≥0无上界,从 而Yb只存在最小值,得到另一个线性规划问题
yi :反映bi 的边际效益(边际成本)
例1中y1 =2/9, 当机器台时数增加1个单位时, 工厂可增加利润2/9个单位。
正确理解影子价格,做经济分析。
1、调解生产规模。》0,扩大;《0,不增加该产品,或卖 掉资源。
2、生产要素对产出贡献分析。 3、第i个松弛变量》0,相应的第i个对偶变量=0,并不能说
表 x5 -1
x2 x3
[-1] -1
14
x4 x5 b
1 0 -5
0 1 -3
λj 4 1 3 0 0
a x2 1 1 1 x5 [-2] 0 3
-1 0 5 1 1 -8
λj 3 0 2 1 0
x2 1 0 5/2 -1/2 1/2 1
b x1 0 1 -3/2 -1/2 -1/2 4
λj 0 0 13/2 5/2 3/2
y1≤0 ,y2≥0 ,y3无约束
对偶问题的要点
▪ 规范形式的线性规划的对偶仍然是规范形式 ▪ 一个问题的约束数和变量数是另一个问题的变量数和约束
数 ▪ 一个问题的价值系数和资源变量与另一个问题的资源变量
和价值系数相对应,约束系数矩阵有互为转置的关系 ▪ 另一个问题等式约束与另一个问题变量无约束相对应 ▪ 一个问题约束(变量)的不等式符号与它的规范形式符号
性质5:互补松弛性 设X’,Y’分别为LP和DP的可行解, XS,YS是它的松弛变量的可行解, 则X’和Y’是LP和DP的最优解且仅
当YSX’=0和Y’XS=0
证:X’和Y’是最优解,由性质3得 CX’=Y’b,由于XS, YS是松弛变量,则 AX’+XS=b Y’A-YS=C
将第一式左乘Y’,第二式右乘X’ ,得
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