对偶问题
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明该资源在生产过程中没有做出贡献，只能理解为第i种 资源有剩余时再增加该资源量不能给企业带来利润或产值 的增加。 4、影子价格是企业生产过程中资源的一种隐含的潜在价值， 表明单位资源的贡献，与市场价格是不同的两个概念。 5、影子价格是一个变量。
对偶单纯形法 思路：(max型)
单纯形法：找基B，满足B-1b0，但 C - CBB-1 A不 全 0，（即检验数）。
XB XB B
CB
XN XS b N Eb
CN 0
XB XB E
CB
XN XS B-1N B-1
CN 0
b B-1b
XB XB E
λ0
XN
XS
B-1N
B-1
CN-CB B-1N -CBB-1
b B-1b -CBB-1b
令Y=CBB-1
CN-CB B-1N≤0 -CBB-1 ≤0
YA ≥C
Y≥0
令Y=CBB-1两边右乘b，则Yb=CBB-1b=Z，有因Y≥0无上界，从 而Yb只存在最小值，得到另一个线性规划问题
x5 1 0 4 0 1 4 λj 6 -2 1 0 0 x1 1 -1/2 1 1/2 0 1 b x5 0 [1/2] 3 -1/2 1 3 λj 0 1 -5 -3 0 x1 1 0 4 0 1 4 c x2 0 1 6 -1 2 6 λj 0 0 -11 -2 -2
一个问题max
有最优解 无最优 无最优解
对(*)求偏导：
Z b
= CBB-1 = y
对偶解
y：b 的单位改变量所引起的目标函数改变量。
yi ：反映bi 的边际效益(边际成本)
经济解释： b1
W=yb=(y1 … ym )
…
= b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym
bm
bi ： 第 i 种资源的数量 yi ：对偶解 bi增加 bi ,其它资源数量不变时,目标函数 的增量 Z= bi yi
max{ B-1 b }=(B-1 b)l
B-1 b<0
令第 l 行的Xj l为换出变量.（建议取b为负数，取min）
(3)、确定换入变量 ① 若Xi l行的alj 全0 ，停，原问题无可行解。
② 若Xi l行的alj 有alj <0 ,
则求 θ=min{
alj <0
λj alj
}=
λk alk
Xk为换入变量
Y’AX’+Y’XS=Y’b Y’AX’-YSX’=CX’ 得
Y’XS= -YSX’ Y’，XS，YS ， X’ ≥0
Y’XS=0和YSX’ =0
当Y’XS=0和YSX’ =0时，
Y’AX’=Y’b Y’AX’=CX’ 显然有
CX’ =Y’b 由性质3知
X’和Y’是最优解
原始问题的变量 原始问题的松弛变量
对偶问题
在线性规划问题中，存在这样一个问题，即 每一个线性规划问题都伴随着有另一个线 性规划问题，称它为对偶线性规划问题或 对偶问题（Dual Problem，DP）
A
B
1
9
8
2
5
4
3
8
3
4
7
6
利润 100
80
C
资源限量
6
500
7
450
2
300
4
550
70
maxZ=100x1+80x2+70x3
DP的任一可行解的目标值是LP的最优值的上界 2、在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界
解，则另一个问题无可行解
3、若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界 解
minZ=x1+2x2 -x1-x2/2 ≥ 2 x1+5x2≥2 x1,x2≥0
maxω=2y1+2y2 -y1+y2 ≤ 2 -y1/2+y2 ≤ 2 y1,y2≥0
y1≤0 ,y2≥0 ,y3无约束
对偶问题的要点
▪ 规范形式的线性规划的对偶仍然是规范形式 ▪ 一个问题的约束数和变量数是另一个问题的变量数和约束
数 ▪ 一个问题的价值系数和资源变量与另一个问题的资源变量
和价值系数相对应，约束系数矩阵有互为转置的关系 ▪ 另一个问题等式约束与另一个问题变量无约束相对应 ▪ 一个问题约束（变量）的不等式符号与它的规范形式符号
yi ：反映bi 的边际效益(边际成本)
例1中y1 =2/9, 当机器台时数增加1个单位时， 工厂可增加利润2/9个单位。
正确理解影子价格，做经济分析。
1、调解生产规模。》0，扩大；《0，不增加该产品，或卖 掉资源。
2、生产要素对产出贡献分析。 3、第i个松弛变量》0，相应的第i个对偶变量=0，并不能说
x1, x2,x3 ≥0
最优解是X=（6，2，0）T，求对偶问题的最优解。
minω=10y1+16y2 y1+2y2≥3 2y1+2y2≥4 y1+y2 ≤1 y1, , y2≥0
min = 2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5 4
(P) 2x1 -x2+3x3+x4+x5 3 xi 0 ( i =1 … 5 )
性质2：弱对偶性 设X’，Y’分别为（LP）和（DP）的可
行解，则CX’ ≤Y’b
证： 因为X’，Y’分别是 （LP）和（DP）的可行解，则
AX’≤b ，X’≥0和Y’A ≥C，Y’≥0； 将不等式AX’≤b 两边左乘Y’，得Y’ AX’≤ Y’ b ； 将不等式Y’A ≥C两边右乘X’ ，得Y’ AX’ ≥ C X’ ； 则C X’ ≤ Y’ AX’≤ Y’ b 结论：1、 LP的任一可行解的目标值是DP的最优值的下界，
1、对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去 求对偶问题的最优解。
minω= Yb
YA ≥C
Y≥0
minZ=5x1-2x2+3x3 4x1+x2-x3≥4 x1-7x2+5x3≥1 x1,x2,x3≥0
maxZ=4x1+3x2 5x1-x2≤6 7x1+5x2 ≤8 x1+3x2 ≤10
x1, x2,x3 ,x4,x5≥0
原问题（对偶问题）
目标函数max
目标函数系数（资源限量） 约束条件系数矩阵Ａ（ＡＴ）
相反时，则另一个问题的变量（约束）的不等式符号与它 的规范形式符号相反
对偶问题的性质
maxZ=CX LP AX≤b X≥0
minω= Yb DP YA ≥C Y≥0
性质1：对称性 对偶问题的对偶是原问题
证：maxZ=CX， AX≤b ，X≥0
它的对偶问题是minω= Yb，YA ≥C，Y≥0 上述对偶问题等价于maxω=-Yb， -YA≥-C，Y≥0 它的对偶问题是min ω’ =-CX， -AX≥-b ，X≥0 上述对偶问题等价于maxZ=CX， AX≤b ，X≥0
解 无界解（有 可行解） 无可行解
应用 已知最优解
已知检验数
通过解 方程
检验数 乘以-1
一个问题min
有最优解 性质4 无最优解 性质4 无可行解 性质2
无界解（有 可行解） 求最优解 性质5
求得基本解 性质6
四、 对偶解的经济意义 (1)、Z= CBB-1b + (CN - CBB-1 N)XN (*) Z= Z(b) b为资源
λaklk
(4)、以alk 为主元，换基迭代
minZ=4x1+x2+3x3 x1+x2+x3≥5 x1-x2-4x3≥3 x1,x2,x3≥0
minZ=4x1+x2+3x3 -x1+x2+x3+x4=-5 -x1-x2-4x3+x5=-3 x1,x2,x3,x4,x5≥0
初 始
XB x4
x1
-1
y1,y2,y3≥0
设A=(P1, P2…Pm)中的前m列向量构成一个可行基， 记作B=(P1, P2…Pm)。矩阵A中后n-m列构成的矩 阵记作N=(Pm+1, Pm+2…Pn),A= (B,N).
对于基B，基变量为XB =(x1, x2…xm)T, 非基变量为XN =(xm+1, xm+2…xn)T 加入松弛变量XS
迭代 保持B-1b0，使C -CBB-1 A 0， 即CBB-1 A C
对偶单纯形法：找基B，满足C - CBB-1 A 0， 但B-1b不全0
迭代 保持C -CBB-1 A 0，使B-1b0
对偶单纯形法基本步骤 max型(min型)
(1)、作初始表，要求全部λj 0 (0)
(2)、判定： B-1 b全0，停。否则，取
CX*≤CX’ =Y’b≤ Y*b
性质4：对偶性 若LP有最优解，则DP也有最优解（反 之亦然），且LP和DP的最优值相等
证：设LP有最优解X*，对于最优基B必有C-CBB-1A≤0
和-CBB-1 ≤0，即有Y*A≥C和Y*≥0，就有Y*=CBB-1，从 而Y*是可行解，对于目标函数有
CX*=CBXB=CBB-1b=Y*b 由性质3知Y*是最优解。
x1
xj
xn xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym ym+1
ym+j yn+m
对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量
xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
maxZ=3x1+4x2+x3
x1+2x2+x3≤10 2x1+2x2+x3 ≤8
minZ=x1+5x2- 4x3+9x4 7x1-2x2+8x3-x4≤18 6x1-5x4≥10 2x1-8x2-x3=-14
x1无约束，x2 ≤0，x3,x4≥0
maxω=18y1+10y2-14y3 7y1+2y3=1
-2y1+6y2-8y3≥ 5 8y1-y3 ≤-4 -y1-5y2 ≤ 9
原问题无可行解，对偶问题有可行解又性质3知必有 无界解
性质3：最优性 设X’，Y’分别为LP和DP的可行解，则 当X’，Y’是LP和DP的最优解且仅当
CX’ = Y’b
证：若X’，Y’是最优解，B是最优基，则有 Y’=CBB-1，并且CX’ =CBB-1 b= Y’b
当CX’ =Yb’时，由性质2，对于任意可行解X*， Y*有
性质5：互补松弛性 设X’，Y’分别为LP和DP的可行解， XS，YS是它的松弛变量的可行解， 则X’和Y’是LP和DP的最优解且仅
当YSX’=0和Y’XS=0
证：X’和Y’是最优解，由性质3得 CX’=Y’b，由于XS， YS是松弛变量，则 AX’+XS=b Y’A-YS=C
将第一式左乘Y’，第二式右乘X’ ，得
表 x5 -1
x2 x3
[-1] -1
14
x4 x5 b
1 0 -5
0 1 -3
λj 4 1 3 0 0
a x2 1 1 1 x5 [-2] 0 3
-1 0 5 1 1 -8
λj 3 0 2 1 0
x2 1 0 5/2 -1/2 1/2 1
b x1 0 1 -3/2 -1/2 -1/2 4
λj 0 0 13/2 5/2 3/2
maxZ=6x1-2x2+x3
2x1-x2+2x3≤2 x1+4x3 ≤4 x1, x2,x3 ≥0
1、求出每步迭代对应对偶问题的基本解。 2、从最优表中写出对偶问题的最优解。 3、用公式Y’=CBB-1求对偶问题的最优解。
XB x1 x2 x3 x4 x5 b a x4 [2] -1 2 1 0 2
变 n个变量 量
第ｊ个变量≥０
第ｊ个变量≤０
第ｊ个变量无约束
约 m个约束 束
第ｉ个约束≥
第ｉ个约束≤
第ｉ个约束＝
对欧问题（原问题）
目标函数min
资源限量（目标函数系数） 约束条件系数矩阵ＡＴ（Ａ）
约 n个约束 束
第ｊ个约束≥
第ｊ个约束≤
第ｊ个约束＝
变 m个变量 量
第ｉ个变量≥０
第ｉ个变量≤０
第ｉ个变量无约束
其对偶解 y1﹡ =4/5 y2﹡ =D)为 maxZ =4y1+3y2
y1+2y2 2 y1 - y2 3 2y1+3y2 5 y1+y2 2 3y1+y2 3 y1 , y2 0
将y1﹡ ，y2﹡ 代入，知②,
③, ④为严格不等式
∴ x2 = x3 = x4 = 0
①
② 由y1﹡ ，y2﹡﹥0知
③ 原约束为等式
④
x1+3x5 =4
⑤
2x1+x5 =3
∴ x = (1, 0, 0, 0, 1)T
Z=5
性质6：LP检验数的相反数对应于DP的一组
基本解，其中第j个决策变量xj的检验数的相反 弛数变对量应x于i的D检P中验第数j的个相松反弛数变对量应yS于j的D解P，中第第ii个个松对 偶变量ySj的解。的反一之组，基D本P解的。检验数对应于LP
9x1+8x2+6x3≤500 5x1+4x2+7x3≤450 8x1+3x2+2x3 ≤300 7x1+6x2+4x3 ≤550
x1, x2,x3 ≥0
minω=500y1+450y2+300y3+550y4
9y1+5y2+8y3+7y4≥100 8y1+4y2+3y3+6y4≥80 6y1+7y2+2y3+4y4≥70
对偶单纯形法 思路：(max型)
单纯形法：找基B，满足B-1b0，但 C - CBB-1 A不 全 0，（即检验数）。
XB XB B
CB
XN XS b N Eb
CN 0
XB XB E
CB
XN XS B-1N B-1
CN 0
b B-1b
XB XB E
λ0
XN
XS
B-1N
B-1
CN-CB B-1N -CBB-1
b B-1b -CBB-1b
令Y=CBB-1
CN-CB B-1N≤0 -CBB-1 ≤0
YA ≥C
Y≥0
令Y=CBB-1两边右乘b，则Yb=CBB-1b=Z，有因Y≥0无上界，从 而Yb只存在最小值，得到另一个线性规划问题
x5 1 0 4 0 1 4 λj 6 -2 1 0 0 x1 1 -1/2 1 1/2 0 1 b x5 0 [1/2] 3 -1/2 1 3 λj 0 1 -5 -3 0 x1 1 0 4 0 1 4 c x2 0 1 6 -1 2 6 λj 0 0 -11 -2 -2
一个问题max
有最优解 无最优 无最优解
对(*)求偏导：
Z b
= CBB-1 = y
对偶解
y：b 的单位改变量所引起的目标函数改变量。
yi ：反映bi 的边际效益(边际成本)
经济解释： b1
W=yb=(y1 … ym )
…
= b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym
bm
bi ： 第 i 种资源的数量 yi ：对偶解 bi增加 bi ,其它资源数量不变时,目标函数 的增量 Z= bi yi
max{ B-1 b }=(B-1 b)l
B-1 b<0
令第 l 行的Xj l为换出变量.（建议取b为负数，取min）
(3)、确定换入变量 ① 若Xi l行的alj 全0 ，停，原问题无可行解。
② 若Xi l行的alj 有alj <0 ,
则求 θ=min{
alj <0
λj alj
}=
λk alk
Xk为换入变量
Y’AX’+Y’XS=Y’b Y’AX’-YSX’=CX’ 得
Y’XS= -YSX’ Y’，XS，YS ， X’ ≥0
Y’XS=0和YSX’ =0
当Y’XS=0和YSX’ =0时，
Y’AX’=Y’b Y’AX’=CX’ 显然有
CX’ =Y’b 由性质3知
X’和Y’是最优解
原始问题的变量 原始问题的松弛变量
对偶问题
在线性规划问题中，存在这样一个问题，即 每一个线性规划问题都伴随着有另一个线 性规划问题，称它为对偶线性规划问题或 对偶问题（Dual Problem，DP）
A
B
1
9
8
2
5
4
3
8
3
4
7
6
利润 100
80
C
资源限量
6
500
7
450
2
300
4
550
70
maxZ=100x1+80x2+70x3
DP的任一可行解的目标值是LP的最优值的上界 2、在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界
解，则另一个问题无可行解
3、若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界 解
minZ=x1+2x2 -x1-x2/2 ≥ 2 x1+5x2≥2 x1,x2≥0
maxω=2y1+2y2 -y1+y2 ≤ 2 -y1/2+y2 ≤ 2 y1,y2≥0
y1≤0 ,y2≥0 ,y3无约束
对偶问题的要点
▪ 规范形式的线性规划的对偶仍然是规范形式 ▪ 一个问题的约束数和变量数是另一个问题的变量数和约束
数 ▪ 一个问题的价值系数和资源变量与另一个问题的资源变量
和价值系数相对应，约束系数矩阵有互为转置的关系 ▪ 另一个问题等式约束与另一个问题变量无约束相对应 ▪ 一个问题约束（变量）的不等式符号与它的规范形式符号
yi ：反映bi 的边际效益(边际成本)
例1中y1 =2/9, 当机器台时数增加1个单位时， 工厂可增加利润2/9个单位。
正确理解影子价格，做经济分析。
1、调解生产规模。》0，扩大；《0，不增加该产品，或卖 掉资源。
2、生产要素对产出贡献分析。 3、第i个松弛变量》0，相应的第i个对偶变量=0，并不能说
x1, x2,x3 ≥0
最优解是X=（6，2，0）T，求对偶问题的最优解。
minω=10y1+16y2 y1+2y2≥3 2y1+2y2≥4 y1+y2 ≤1 y1, , y2≥0
min = 2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5 4
(P) 2x1 -x2+3x3+x4+x5 3 xi 0 ( i =1 … 5 )
性质2：弱对偶性 设X’，Y’分别为（LP）和（DP）的可
行解，则CX’ ≤Y’b
证： 因为X’，Y’分别是 （LP）和（DP）的可行解，则
AX’≤b ，X’≥0和Y’A ≥C，Y’≥0； 将不等式AX’≤b 两边左乘Y’，得Y’ AX’≤ Y’ b ； 将不等式Y’A ≥C两边右乘X’ ，得Y’ AX’ ≥ C X’ ； 则C X’ ≤ Y’ AX’≤ Y’ b 结论：1、 LP的任一可行解的目标值是DP的最优值的下界，
1、对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去 求对偶问题的最优解。
minω= Yb
YA ≥C
Y≥0
minZ=5x1-2x2+3x3 4x1+x2-x3≥4 x1-7x2+5x3≥1 x1,x2,x3≥0
maxZ=4x1+3x2 5x1-x2≤6 7x1+5x2 ≤8 x1+3x2 ≤10
x1, x2,x3 ,x4,x5≥0
原问题（对偶问题）
目标函数max
目标函数系数（资源限量） 约束条件系数矩阵Ａ（ＡＴ）
相反时，则另一个问题的变量（约束）的不等式符号与它 的规范形式符号相反
对偶问题的性质
maxZ=CX LP AX≤b X≥0
minω= Yb DP YA ≥C Y≥0
性质1：对称性 对偶问题的对偶是原问题
证：maxZ=CX， AX≤b ，X≥0
它的对偶问题是minω= Yb，YA ≥C，Y≥0 上述对偶问题等价于maxω=-Yb， -YA≥-C，Y≥0 它的对偶问题是min ω’ =-CX， -AX≥-b ，X≥0 上述对偶问题等价于maxZ=CX， AX≤b ，X≥0
解 无界解（有 可行解） 无可行解
应用 已知最优解
已知检验数
通过解 方程
检验数 乘以-1
一个问题min
有最优解 性质4 无最优解 性质4 无可行解 性质2
无界解（有 可行解） 求最优解 性质5
求得基本解 性质6
四、 对偶解的经济意义 (1)、Z= CBB-1b + (CN - CBB-1 N)XN (*) Z= Z(b) b为资源
λaklk
(4)、以alk 为主元，换基迭代
minZ=4x1+x2+3x3 x1+x2+x3≥5 x1-x2-4x3≥3 x1,x2,x3≥0
minZ=4x1+x2+3x3 -x1+x2+x3+x4=-5 -x1-x2-4x3+x5=-3 x1,x2,x3,x4,x5≥0
初 始
XB x4
x1
-1
y1,y2,y3≥0
设A=(P1, P2…Pm)中的前m列向量构成一个可行基， 记作B=(P1, P2…Pm)。矩阵A中后n-m列构成的矩 阵记作N=(Pm+1, Pm+2…Pn),A= (B,N).
对于基B，基变量为XB =(x1, x2…xm)T, 非基变量为XN =(xm+1, xm+2…xn)T 加入松弛变量XS
迭代 保持B-1b0，使C -CBB-1 A 0， 即CBB-1 A C
对偶单纯形法：找基B，满足C - CBB-1 A 0， 但B-1b不全0
迭代 保持C -CBB-1 A 0，使B-1b0
对偶单纯形法基本步骤 max型(min型)
(1)、作初始表，要求全部λj 0 (0)
(2)、判定： B-1 b全0，停。否则，取
CX*≤CX’ =Y’b≤ Y*b
性质4：对偶性 若LP有最优解，则DP也有最优解（反 之亦然），且LP和DP的最优值相等
证：设LP有最优解X*，对于最优基B必有C-CBB-1A≤0
和-CBB-1 ≤0，即有Y*A≥C和Y*≥0，就有Y*=CBB-1，从 而Y*是可行解，对于目标函数有
CX*=CBXB=CBB-1b=Y*b 由性质3知Y*是最优解。
x1
xj
xn xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym ym+1
ym+j yn+m
对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量
xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
maxZ=3x1+4x2+x3
x1+2x2+x3≤10 2x1+2x2+x3 ≤8
minZ=x1+5x2- 4x3+9x4 7x1-2x2+8x3-x4≤18 6x1-5x4≥10 2x1-8x2-x3=-14
x1无约束，x2 ≤0，x3,x4≥0
maxω=18y1+10y2-14y3 7y1+2y3=1
-2y1+6y2-8y3≥ 5 8y1-y3 ≤-4 -y1-5y2 ≤ 9
原问题无可行解，对偶问题有可行解又性质3知必有 无界解
性质3：最优性 设X’，Y’分别为LP和DP的可行解，则 当X’，Y’是LP和DP的最优解且仅当
CX’ = Y’b
证：若X’，Y’是最优解，B是最优基，则有 Y’=CBB-1，并且CX’ =CBB-1 b= Y’b
当CX’ =Yb’时，由性质2，对于任意可行解X*， Y*有
性质5：互补松弛性 设X’，Y’分别为LP和DP的可行解， XS，YS是它的松弛变量的可行解， 则X’和Y’是LP和DP的最优解且仅
当YSX’=0和Y’XS=0
证：X’和Y’是最优解，由性质3得 CX’=Y’b，由于XS， YS是松弛变量，则 AX’+XS=b Y’A-YS=C
将第一式左乘Y’，第二式右乘X’ ，得
表 x5 -1
x2 x3
[-1] -1
14
x4 x5 b
1 0 -5
0 1 -3
λj 4 1 3 0 0
a x2 1 1 1 x5 [-2] 0 3
-1 0 5 1 1 -8
λj 3 0 2 1 0
x2 1 0 5/2 -1/2 1/2 1
b x1 0 1 -3/2 -1/2 -1/2 4
λj 0 0 13/2 5/2 3/2
maxZ=6x1-2x2+x3
2x1-x2+2x3≤2 x1+4x3 ≤4 x1, x2,x3 ≥0
1、求出每步迭代对应对偶问题的基本解。 2、从最优表中写出对偶问题的最优解。 3、用公式Y’=CBB-1求对偶问题的最优解。
XB x1 x2 x3 x4 x5 b a x4 [2] -1 2 1 0 2
变 n个变量 量
第ｊ个变量≥０
第ｊ个变量≤０
第ｊ个变量无约束
约 m个约束 束
第ｉ个约束≥
第ｉ个约束≤
第ｉ个约束＝
对欧问题（原问题）
目标函数min
资源限量（目标函数系数） 约束条件系数矩阵ＡＴ（Ａ）
约 n个约束 束
第ｊ个约束≥
第ｊ个约束≤
第ｊ个约束＝
变 m个变量 量
第ｉ个变量≥０
第ｉ个变量≤０
第ｉ个变量无约束
其对偶解 y1﹡ =4/5 y2﹡ =D)为 maxZ =4y1+3y2
y1+2y2 2 y1 - y2 3 2y1+3y2 5 y1+y2 2 3y1+y2 3 y1 , y2 0
将y1﹡ ，y2﹡ 代入，知②,
③, ④为严格不等式
∴ x2 = x3 = x4 = 0
①
② 由y1﹡ ，y2﹡﹥0知
③ 原约束为等式
④
x1+3x5 =4
⑤
2x1+x5 =3
∴ x = (1, 0, 0, 0, 1)T
Z=5
性质6：LP检验数的相反数对应于DP的一组
基本解，其中第j个决策变量xj的检验数的相反 弛数变对量应x于i的D检P中验第数j的个相松反弛数变对量应yS于j的D解P，中第第ii个个松对 偶变量ySj的解。的反一之组，基D本P解的。检验数对应于LP
9x1+8x2+6x3≤500 5x1+4x2+7x3≤450 8x1+3x2+2x3 ≤300 7x1+6x2+4x3 ≤550
x1, x2,x3 ≥0
minω=500y1+450y2+300y3+550y4
9y1+5y2+8y3+7y4≥100 8y1+4y2+3y3+6y4≥80 6y1+7y2+2y3+4y4≥70