第五节极限运算法则

例8
求 lim12 22 n2 nn(12n)
解
ln im 1n2(122 2 n n2 )ln im 162nn(n n(1 n)2 (1n )1)3 2
2
例9 求 limarctanx x x
解 当x 时，1 为无穷小，而arctxa是n x
有界函数，所以
limarctaxn0 x x
例10设 f(x ) x 1 2 x 1 ,,
心邻域内有定义．若 x l0 ix0m (x)u0,u l ium 0 f(u)A 且存在0 0，当xU(x0,0)时， 有 (x)u0
则
lifm [(x ) ]lifm (u ) A
x x 0
u u 0
证 按函数极限的定义，需要证：对任意的
0，存在 0，当 0xx0
f[(x) ]A
由于 limf(u)A，对任意 0，存在 0 uu0
第五节 极限运算法则
一 极限运算法则 二 极限的不等性 三 求极限方法举例 四 小结与思考判断题
一、极限的运算法则
极限的四则运算法则
定理1 设 lim f (x) A,limg(x) B,则 (1)lim[f (x) g(x)] A B; (2)lim[f (x) g(x)] A B; (3)lim f (x) A,其中B 0. g(x) B
liF ( m x ) lifm ( x ) g ( x [ ) ] 0 从而，lif( m x ) lig ( m x ) A B 0
即 AB.
三、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
lx i m 3x42x32xx2 1lx i m3x4x221x13 0 x
例6求极lx限im3x42x22xx2 1 解 用 x 2 去除分子分母，然后求极限．
lx i m 3x 42x 2 2xx 21lx i m 3 4x 2 11 x x2
也可利用例5的结果求极限“非零无穷小的倒数为 无穷大”的结论得到例6的结果． 综合例4、例5、例6的结果，可有：
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正整 ,则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到
A或 B以及（3）中的某些情形：
（1）当 A时，而 B时，lifm (x ) g ( [ x ) ]
（2）当 A时，而 B0 时，lif m (x )g ( [ x ) ]
例4 求lim 2x33x25. x 7x34x21
解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3用 去除分 ,分子 出分 ,再 无母 求 穷 . 极 小限
2x3 3x2 lx im 7x3 4x2
5lim23xx53 1 x74xx13
2 7
.
(无穷小因子分出法)
例5 求极限 lx im 3x42x3 2xx2 1 解 当 x 时，分子分母都趋于无穷大， 用无穷大因子x 3去除分子分母，然后再求极限．
当0uu0时， f(u)A
又由于x l ix0m (x)u0, 对上面得到的 0 ，存在
1 0，当0xx0时，(x)u0
由条件当
0
xU(x0,0)
时，(x)u0
取 mi0n ,1} {，则当 0uu0时，
(x)u0及 (x)u00
同时成成立．即
0(x)u 0
成立，从而
f[( x ) ] A f( u ) A
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
思考题
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
2.设 f(x)Q P((x x)),且 Q (x0)0, 则有
limP(x)
limf(x) xx0
xx0
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limQ(x)
xx0
P(x0) Q ( x0 )
f(x0).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用．. 可用推广的
公式求．
例2 求lim 2x . x1 x2 1
解 lim 2x2,lim (x21)0
（3）当
A时，而
B时，
lim f (x) g(x)
（4）当
B时，而
A时，lim
f (x) g(x)
0
（5）当 B0 时，而 A0 时，lim f (x) g(x)
关于数列极限也有类似的四则运算法则
定理2 （复合函数的极限运算法则）
设函数 yf[(x)]是由函数 yf(u)与
u(x) 复合而成，yf[(x)]在点x 0 的某去
成立．
此定理给出了求复合函数的极限的公式．
lifm [(x ) ]lifm (u )
x x 0
u u 0
二、极限的不等性
定理3 若 lif m (x ) A ,lig m (x ) B ,且 f(x ) g (x ) 则 A 有 B
证明：令 F (x )f(x ) g (x ) 0
根据保号性定理，有
3、lx i m (11 x)2 (x121 x)_____._____
4、 lim (n1)n (2)n (3)_____ . _____
n
5n3
5、limx2sin1______.____
x0
x
6、xl im excoexsx ______. ____
7、lx i0m 4x34x22x22xx______. ____ 8、lim (2x3)20(3x2)30_____._____
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f(x)g(x)有极限， f(x)有极限，
由极限运算法则可知：
g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x )必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
一、填空题:
练习题
1、limx3 3______.____ x2 x3
2、limx1 ______.____ x13 x1
x1
x 1
商的法则不能用，但由推广的公式（5）可得
lim2x . x1 x2 1
（也可由无穷小的倒数为无穷大来求）
例3 求 lxim1 xx239. 解 当 x1时，分子、分母的极限都为零，此时
不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约 去无穷小因子的方法将函数变形后求极限
lix m 3 lim x 3 lim 1 1 x 1x 2 9x 1 (x 3 )x ( 3 ) x 1x 36
(A B ) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0 .
g( x) B B B B(B )
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx0时 ,
B ,
B B B 1 B
1
B
2
22
B(B)1B2,故 1
2 B(B)
2, B2
有界，
(3)成立.
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数 lim cf([x)]clim f(x).
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2
x3 1 3x5
limx3 lim1
x2
x2
lim(x2 3x5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1 .设 f( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,则有
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a nf(x0).
一、1、-5；
5、0； 二、1、2；
5、1 ； 2
练习题答案
2、3；
6、0； 2、2x ； 6、0；
3、2；
7、1 ； 2
3、-1；
4、1 ； 5
8、(3)30 . 2
4、-2；
7、m n . mn
x (2x1)50
二、求下列各极限:
1、 li(m 111.. .1)
n 2 4
2n
2、lim (xh)2x2
h0
h
3、lim ( 1 3 ) x 11x 1x3
4、lim1x3 x8 23 x
5 、 li(m xxxx ) x
6、
2x lim
1
4 x x 1
7、x li1mxm xm xnxn 2
x 0 ,求 lif m (x ).
x 0 x 0
解 x0是函数的 ,两分 个段 单点 侧极限
lim f(x )li(m 1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f(x)li(m x21 ) 1,
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lim f(x)1. x 0
y
y1x
1
o
yx2 1 x
四、小结与思考判断题
证 li f ( x m ) A , lg i ( x ) m B .
f ( x ) A , g ( x ) B . 其 0 , 中 0 .
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B ) 0.(1)成立.
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B ) (A )B () AB
当 a00,b00,m和 n为非负整数时
lx im ab00xxmn
a1xm1 b1xn1
am bn
0ab,00当 ,当 nnmm, , ,当nm,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例7
求
lxim x(24(x52x2
x)3 1)
解
lim (2x2x)3li8 m x68 x x4(5x21) x 5x6 5