微元法的应用——利用质心求水压力
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解 分 三 步走 ： １．选取木棒所在铅直位置作为 轴 ， 为积分变量 ，它的 变化范 围［ｈ，ｈ＋Ⅱ］． ２．在 ［ ， ＋出］处寻找积分微元 ：ｄＦ ＝ｐｇｘｄｘ．
ｈ＋
３．Ｆ＝ｆｇｘｄｘ．
ｈ
对求得的水压力进行分析 ：
４－ａ
…
： ａ
… 号
ｐｇｘ 。．
其 中 ，．除为 细棒 的质 心 所 在 ． 试想 ：将此细棒水 平放 在质心 所在 高度 的水 中所 受到 的 水 压 力 Ｆ ＝ｐｇｘ ａ．
２０１２：１９５ — １９７．
［３］孙娜 ，蔡 文香．微 元法应用 及其研 究［Ｊ］．数学学 习 与 研 究 ，２００９（１０）：９０—９１．
［４］胡承望．微元 法的应用 研 究［Ｊ］．长 江大学 学报 （自 科 版 ），２００８（３）：１４２—１４３．
数 学 学 习与 研 究 ２０１８
质心到水面的距离为 Ｄ ＝ｈ＋÷ ６ｓｉｎ ；
因此，水压力Ｆ＝（ｈ＋÷ ｎｏ１）Ｐｇ‘。·６．
三 、结 语 本 文的这种方 法 可 以应 用 到很 多物 理 问题 的解 决 当 中 ，比如 ，求 不均 匀细棒 的质量 、物 体对轴 的转 动惯量 等都 可 以通过质心求得．
【参考文献 】 ［１］同济大学数学 系．高等数学［Ｍ］．北京 ：高等教 育 出 版 社 ，２０１４：２７４—２７６． ［２］黄 立 宏．高 等 数 学 ［Ｍ］．上海 ：复 旦 大 学 出版 社 ，
Байду номын сангаас
●
高 教 视 野
·
·
●
● ●
徽 法 废 用ｉ
利 用 质 心 求 水 压 力
◎沙婵娟 （山西大学数 学科 学学院，山西 太原 ０３０００１）
【摘 要】微元法是 分析和 解决数 学、物理 问题 的常用 方 法，它是采用“化零为整 ”的思想 ，通过 极小部 分分 析整体． 本 文采用微元 法计算 了不 同形状 物体 所 受水压 力．只要 物
体 的质 心 坐 标 确 定 ，便 可 通 过 微 元 法 快速 准 确 地 计 算 出 其 所 受的水压 力．
【关键 词】微元法 ；质心 ；水压力
一 、 引 言 微元法是解决很 多数学 和物 理问题 的常用 方法 ，这是 一 种深刻的思维方法 ，是对某 事件做整体 的观察后 ，先分割 逼 近 ，找 到 规律 ，再 累 计 求 和 ，最 终 了解 整 体 ． 微 元 法 解 题 的 一 般 步 骤 ： 第一步 ，取元．分割选 择恰 当微元 （空 间元 、时 间元 ）作 为 突破整体研究 的对象． 第二步 ，模 型化．将 微元模 型化 （如 ，视 作点 电荷 、质点 等 ），求解这个微元． 第三步 ，做积 分．以找 到的 微元 （近似 值 ）为 被积 表达 式 ，在分割 区域 上做相应 的积分． 二 、分 析 物体 所 受水 压 力 （一）细棒所受水压力 长度为 ａ的均 匀细棒水平放置于深为 ｈ的水 中，细棒所 受 压 力 Ｆ ＝Ｐ ·ａ ＝ ｇｈ·ａ． 问题 若 细棒铅直放置在水 中 ，水 深不 同的各点处压 强 Ｐ不同 ，细棒所受压力无法用上述方法计 算． 分析 当木棒 铅直放入水 中时 ，木棒 各点所 处深度不 同，所 以不 能按一 点处 的深 度 去计 算水 压力 ，整 体无 法处 理 ，所 以选 择 微 元法 化整 为零 ．
２．分割平板 所 占区域 Ｄ，在 Ｄ中任取一小块 ｄｏ．，ｄｏ＂上任 取 一 点 （ ，Ｙ），ｄＦ ＝ （Ｈ —Ｙ）Ｐｇ ·ｄｏ＂（压 力 元 素 ）．
３．因此 ，Ｆ ＝ Ｆ ＝ （日 一ｙ）ｐｇｄｏ－．
Ｄ
Ｄ
平板的质心和所求得的水压力之间的关系分析 ：
平板的质心纵坐标为ｙ ＝一｝ ｙ曲；
结 论 ：Ｆ ＝ Ｆ ． （二 ）平板所受的水压力 将一面积为 Ａ的均匀平 板铅直完 全放入 水 中，求 平板 一 侧所受水压力 问题 平板铅直放入水 中，形状不确定 ，如何计算一侧 所受 的水 压力． 分析 平板铅直放入水 中，并且形状不均匀 ，所 以无法 整体 处理 ，用微 元法 ，将 其分割 成若 干小 块 ，把每 －Ａ，块看 成点去得到近似后 ，再去求解整体 的水压力． 解 分 三 步 ： １．选平板 面积 为积分变 量 ，变 化范 围就是 平板 所 占区 域 Ｄ．
质心到水面的距离为 Ｈ—Ｙ ； 若 把 平 板 水 平 放 置 在 深 度 为 Ｈ ～Ｙ 的 水 中 ，则 平 板 所 受 压 力 为
Ｆ ；ｐｇ（Ｈ—Ｙ ）Ａ＝ ｌ 、 一÷，１ ｌＩｙｄｏ．Ｉ
＝ （ 一 ）＝Ｐｇ（ （口一ｙ）ｄｏ ＂）：
结 论 ： （１）长度为 ａ的均匀细棒 ，铅直放入水 中所受 的水 压力 等于把它水平放 置在质心 深处所受 的水 压力．而面积 为 Ａ， 铅直放入水 中的均匀平板一侧所受 的水 压力等 于把它水 平 放 置 在 质 心 深 处 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力 ． （２）只要细棒 的质心或者平板质心到水面 的距离确定 ， 则 平 板 所 受 的 水 压 力 就 可 确 定 ． （３）以上的方法只考虑 了细棒 的长度 或者平 板 的面积 以及质心的位置 ，所 以该 法对 不是铅 直放人 水 中 的物体也 成立 （例如 ，斜插 ）． （三 ）相关例题 例 １ 求长为 ２ ｉｎ，宽为 ３ ｎｌ，距离水面 ２ ｍ 的均匀矩形 平 板 一侧 所 受 的水 压 力 ． 解 平 板 的 面积 为 Ａ ＝２ ×３ ＝ ６； 质 心 到 水 面 的 距 离 为 ｄ ＝ ３．５； 所受压力为 Ｆ ＝Ｐｇ Ｘ ３．５×６：２ｌｐｇ． 例 ２ 边长为 ａ和 ｂ的矩形薄 片，与液面成ＯＬ角，斜插入 液体 内，长边平行于液面 ，位 于水 深ｈ处 ，设 ａ＞ｂ，液体 密度 为 Ｐ，试求薄板一侧所受 的水压力． 解 平 板 面 积 为 Ａ ： ａ·ｂ；
ｈ＋
３．Ｆ＝ｆｇｘｄｘ．
ｈ
对求得的水压力进行分析 ：
４－ａ
…
： ａ
… 号
ｐｇｘ 。．
其 中 ，．除为 细棒 的质 心 所 在 ． 试想 ：将此细棒水 平放 在质心 所在 高度 的水 中所 受到 的 水 压 力 Ｆ ＝ｐｇｘ ａ．
２０１２：１９５ — １９７．
［３］孙娜 ，蔡 文香．微 元法应用 及其研 究［Ｊ］．数学学 习 与 研 究 ，２００９（１０）：９０—９１．
［４］胡承望．微元 法的应用 研 究［Ｊ］．长 江大学 学报 （自 科 版 ），２００８（３）：１４２—１４３．
数 学 学 习与 研 究 ２０１８
质心到水面的距离为 Ｄ ＝ｈ＋÷ ６ｓｉｎ ；
因此，水压力Ｆ＝（ｈ＋÷ ｎｏ１）Ｐｇ‘。·６．
三 、结 语 本 文的这种方 法 可 以应 用 到很 多物 理 问题 的解 决 当 中 ，比如 ，求 不均 匀细棒 的质量 、物 体对轴 的转 动惯量 等都 可 以通过质心求得．
【参考文献 】 ［１］同济大学数学 系．高等数学［Ｍ］．北京 ：高等教 育 出 版 社 ，２０１４：２７４—２７６． ［２］黄 立 宏．高 等 数 学 ［Ｍ］．上海 ：复 旦 大 学 出版 社 ，
Байду номын сангаас
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高 教 视 野
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徽 法 废 用ｉ
利 用 质 心 求 水 压 力
◎沙婵娟 （山西大学数 学科 学学院，山西 太原 ０３０００１）
【摘 要】微元法是 分析和 解决数 学、物理 问题 的常用 方 法，它是采用“化零为整 ”的思想 ，通过 极小部 分分 析整体． 本 文采用微元 法计算 了不 同形状 物体 所 受水压 力．只要 物
体 的质 心 坐 标 确 定 ，便 可 通 过 微 元 法 快速 准 确 地 计 算 出 其 所 受的水压 力．
【关键 词】微元法 ；质心 ；水压力
一 、 引 言 微元法是解决很 多数学 和物 理问题 的常用 方法 ，这是 一 种深刻的思维方法 ，是对某 事件做整体 的观察后 ，先分割 逼 近 ，找 到 规律 ，再 累 计 求 和 ，最 终 了解 整 体 ． 微 元 法 解 题 的 一 般 步 骤 ： 第一步 ，取元．分割选 择恰 当微元 （空 间元 、时 间元 ）作 为 突破整体研究 的对象． 第二步 ，模 型化．将 微元模 型化 （如 ，视 作点 电荷 、质点 等 ），求解这个微元． 第三步 ，做积 分．以找 到的 微元 （近似 值 ）为 被积 表达 式 ，在分割 区域 上做相应 的积分． 二 、分 析 物体 所 受水 压 力 （一）细棒所受水压力 长度为 ａ的均 匀细棒水平放置于深为 ｈ的水 中，细棒所 受 压 力 Ｆ ＝Ｐ ·ａ ＝ ｇｈ·ａ． 问题 若 细棒铅直放置在水 中 ，水 深不 同的各点处压 强 Ｐ不同 ，细棒所受压力无法用上述方法计 算． 分析 当木棒 铅直放入水 中时 ，木棒 各点所 处深度不 同，所 以不 能按一 点处 的深 度 去计 算水 压力 ，整 体无 法处 理 ，所 以选 择 微 元法 化整 为零 ．
２．分割平板 所 占区域 Ｄ，在 Ｄ中任取一小块 ｄｏ．，ｄｏ＂上任 取 一 点 （ ，Ｙ），ｄＦ ＝ （Ｈ —Ｙ）Ｐｇ ·ｄｏ＂（压 力 元 素 ）．
３．因此 ，Ｆ ＝ Ｆ ＝ （日 一ｙ）ｐｇｄｏ－．
Ｄ
Ｄ
平板的质心和所求得的水压力之间的关系分析 ：
平板的质心纵坐标为ｙ ＝一｝ ｙ曲；
结 论 ：Ｆ ＝ Ｆ ． （二 ）平板所受的水压力 将一面积为 Ａ的均匀平 板铅直完 全放入 水 中，求 平板 一 侧所受水压力 问题 平板铅直放入水 中，形状不确定 ，如何计算一侧 所受 的水 压力． 分析 平板铅直放入水 中，并且形状不均匀 ，所 以无法 整体 处理 ，用微 元法 ，将 其分割 成若 干小 块 ，把每 －Ａ，块看 成点去得到近似后 ，再去求解整体 的水压力． 解 分 三 步 ： １．选平板 面积 为积分变 量 ，变 化范 围就是 平板 所 占区 域 Ｄ．
质心到水面的距离为 Ｈ—Ｙ ； 若 把 平 板 水 平 放 置 在 深 度 为 Ｈ ～Ｙ 的 水 中 ，则 平 板 所 受 压 力 为
Ｆ ；ｐｇ（Ｈ—Ｙ ）Ａ＝ ｌ 、 一÷，１ ｌＩｙｄｏ．Ｉ
＝ （ 一 ）＝Ｐｇ（ （口一ｙ）ｄｏ ＂）：
结 论 ： （１）长度为 ａ的均匀细棒 ，铅直放入水 中所受 的水 压力 等于把它水平放 置在质心 深处所受 的水 压力．而面积 为 Ａ， 铅直放入水 中的均匀平板一侧所受 的水 压力等 于把它水 平 放 置 在 质 心 深 处 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力 ． （２）只要细棒 的质心或者平板质心到水面 的距离确定 ， 则 平 板 所 受 的 水 压 力 就 可 确 定 ． （３）以上的方法只考虑 了细棒 的长度 或者平 板 的面积 以及质心的位置 ，所 以该 法对 不是铅 直放人 水 中 的物体也 成立 （例如 ，斜插 ）． （三 ）相关例题 例 １ 求长为 ２ ｉｎ，宽为 ３ ｎｌ，距离水面 ２ ｍ 的均匀矩形 平 板 一侧 所 受 的水 压 力 ． 解 平 板 的 面积 为 Ａ ＝２ ×３ ＝ ６； 质 心 到 水 面 的 距 离 为 ｄ ＝ ３．５； 所受压力为 Ｆ ＝Ｐｇ Ｘ ３．５×６：２ｌｐｇ． 例 ２ 边长为 ａ和 ｂ的矩形薄 片，与液面成ＯＬ角，斜插入 液体 内，长边平行于液面 ，位 于水 深ｈ处 ，设 ａ＞ｂ，液体 密度 为 Ｐ，试求薄板一侧所受 的水压力． 解 平 板 面 积 为 Ａ ： ａ·ｂ；