薛定谔方程及提出背景

薛定谔方程

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为

；(1)

其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为

。(2)

假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达，

。

其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。所以，第个粒子的位置是。不含时薛定谔方程

不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想的函数形式为

；

其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．

代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：

。

类似地，方程 (2) 变为

。

历史背景与发展

爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。

1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。

薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。

但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发

表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。

薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这

种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。

含时薛定谔方程导引

启发式导引

含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：

假设

(1) 一个粒子的总能量可以经典地表达为动能与势能的和：

；

其中，是动量，是质量。

特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。

(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率成正比：

其中，是普朗克常数，是角频率。

(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数来表达。粒子的动量与伴随的波函数的波长有关：

；

其中，是波数。

用矢量表达，。

波函数以复值平面波来表达波函数

1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：

。

他想到

，

因此

。

并且相同地由于

，

因此得到

。

再由经典力学的公式，一个粒子的总能为，质量为，在势能处移动：

。

薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：

。

薛定谔的导引

思考一个粒子，运动于一个保守的位势。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程

；

其中，是哈密顿主函数。

由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：

；

其中，不相依于时间的函数是哈密顿特征函数，是能量。

将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到

；

哈密顿主函数随时间的全导数是

。

思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。这常数的等值曲面在空间移动的方程为

。

所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是

。

这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：

。

我们可以想像为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与成比例的波函数：

；

其中，是常数，是相依于位置的系数函数。

将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为

。

注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论；其中，是约化普朗克常数，是角频率。设定，粒子的波函数变为

；

其中，。

的波动方程为

。

将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到