工程电磁场第二章静电场(二)

第2章 静电场(二)

2.1 静电场的唯一性定理及其应用

静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法：

(1) 直接由电场强度公式计算；

(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。

E ⇒-∇

=⇒-

=∇ϕϕ

ε

ρϕE 2

唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。

2.1.1 唯一性定理

静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。

2.1.2 导体边界时，边界条件的分类

(1) 自然边界条件：

有限值

参考点=∞

→ϕr r lim

(相当于指定电位参考点的值)

(2) 边界衔接条件：σ

ϕεϕεϕϕ=∂∂-∂∂=n

n

22

11

21

(该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件

(a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。

该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。

S

n ∂∂-=ϕε

σ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部)

q dS r

S

=∂∂-⎰)(1

1

ϕε

(c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。

思考？

为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。

2.1.3 静电场唯一性定理的意义

唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据

2.1.4 等位面法

1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。

2 等位面法成立的理论解释：

等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：

(1)边界k 的等位性不变；

(2)边界k 内的总电荷量不变。(相当于给定了第二类边界条件)

3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用

现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。 解释：边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。

现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。 解释：(注意边界正方向的取向)

边界S 2为等位面；

边界S 2上的总电荷量不变。

2.2 平行双电轴法 1 问题的提出：

以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。

导体表面的面电荷密度未知，不可能由电场计算公式计算；电场分布不具有对称性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能给出解析解。本节从静电场的唯一性定理出发，采用其它求解方法(电轴法)。 2. 两根细导线产生的电场

设 电轴上单位长度的电荷量为τ，电位参考点为Q 。 电场分布为平面场，根据叠加原理，

110

01ln 22C d Q

P

+-

==

⎰

ρπε

τ

ρρ

πετ

ϕ 2

20

2ln 2C +--=ρπε

τϕ

C

P +=

+=1

20

21ln

2ρρπε

τ

ϕϕϕ

以y 轴为参考点, C=0, 则

2

2

220

1

20

)()(ln

2ln

2y

b x y b x P +-++=

=

πε

τ

ρρπε

τ

ϕ

*确定等位线方程： 常数令：=P ϕ

2

2

222

)()(K

y

b x y b x =+-++ 等位线方程为圆： 2

2

2

22

2

)1

2(

)1

1(-=+-+-

K bK y b K K x

圆心的坐标： ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=0,)11(22

b K K h 圆的半径为：122

-=K bK

a 当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。

a 、h 、

b 三者之间的关系满足:

2

2

2

2

2

22

2

2

)1

1(

)1

2(

h b K K b K bK b a =-+=+-=+

应该注意到: 线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即

))((2

2

2

b h b h b h a -+=-=

-- a 为等位线的半径；2b 两电轴间的距离；h 为等位圆圆心到坐标原点的距离。 附：

〖反演〗

没C 为一定圆，O 为圆心，r 为半径，对于平面上任一点M ，有一点M ’与它对应，使得满足下列两个条件： (1)O 、M 、M ’共线；

(2)OM ·OM ’=r 2

；

则点M ’称为点M 关于定圆C 的反演点，C 称为反演圆，O 称为反演中心，r 称为反演半径。 M 和M ’的关系是对称的，M 也是M ’的反演点。M 与M ’的对应称为关于定圆C 的反演。

*确定电力线方程：

根据 ϕ-∇=E 及E 线的微分方程为x

y E E dx

dy =

得E 线方程为 4

)2

(2

12

212

K b K y x +

=-

+

说明：电力线方程表明， E 线为圆，其圆心位于y 轴上。K 1的不同取值确定不同的电力线。

3 电轴法的基本思想

由三个思考题，引出电轴法的解题思想。

(1)若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？ (2)、感应电荷是否均匀分布？

(3)、若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。