第三章飞行器的运动方程(0901)

第三章飞行器的运动方程 3.1 刚体动力学方程的推导 1.刚体飞行器运动的假设

1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；

2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标； 3）忽略地面曲率，视地面为平面； 4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；

5）假设机体坐标系的z o x --平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积0==zy xy I I 2.旋转坐标系中向量的导数

设活动坐标系b b b z y Ox 具有角速度ω （见图 3.1-1）。向量ω

在此坐标系中的

分量为r q p ,,，即

k r j q i p

++=ω （3.1-1） 其中i 、j

、k 是b x 、b y 、b z 轴的单位向量。

图3.1-1

设有一个可变的向量)(t a

，它在此坐标系中的分量为z y x a a a ,,，即

k a j a i a a z y x

++= （3.1-2）

由上式求向量)(t a

对时间t 的导数：

b x

ω

b y

b z

O

i

j

k

dt

k

d a dt j d a dt i d a k dt da j dt da i dt da dt a d z

y x z y x +++++= （3.1-3） 从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度ω

旋转时，刚体上任何一点P

的速度为

r dt r d

⨯=ω （3.1-4） 其中r

是从O 点到P 点的向径。

现在，把单位向量i

看作是活动坐标系中一点P 的向径，于是可得：

i dt

i

d

⨯=ω （3.1-5） 同理可得： j dt

j d

⨯=ω （3.1-6） k dt

k d

⨯=ω （3.1-7） 将式（3.1-5）、（3.1-6）及（3.1-7）代入式（3.1-3）中，可得：

)(k a j a i a k dt

da j dt da i dt da dt a d z y x z y x

++⨯+++=ω （3.1-8） 或写为： a t a dt a d

⨯+=ωδδ （3.1-9） 其中k dt da j dt da i dt da t a z y x

++=δδ t

a

δδ 称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量a 的变化率。而dt

a

d

则称为“绝对导数”，相当于站在固定坐标系

中的观察者所看到的向量a 的变化率。例如，若a 是某点的向径，则t

a

δδ

代表该

点的相对速度（相对于动坐标系），而dt a

d 则代表该点的绝对速度。

3.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器质心动力学方程

由牛顿第二定律得：

i V m dt d F |)(

=∑ （3.1-10）

式中：F

——外力

m ——物体的质量 V

——物体的速度

i |——表示相对于惯性坐标系

在图3.1-2中，考察飞机上的一个质量元m δ。

图3.1-2 飞机上的质量元 列出牛顿第二定律方程

dt

V d m F

δδ= （3.1-11）

式中：F

δ——作用在质量元上的外力

V

——质量元相对惯性坐标系的速度 作用在飞机上总的外力是这些微元的和，即 F F

=∑δ （3.1-12） 质量元的速度为

dt

r

d V V c += （3.1-13）

b

b z

式中：c V

——飞机的质心的速度；

dt

r

d ——微元相对于质心的速度。

将式（3.1-13）代入式（3.1-11），两边求和得：

m dt

r

d V dt d F F c δδ)( +∑==∑ （3.1-14）

假设飞机的质量是常数，式（3.1-14）可改写为

m dt r

d dt d dt V d m F c δ ∑+= （3.1-15）

或

m r dt d dt V d m F c δ

∑+=2

2 （3.1-16）

由于r

是从质心度量，所以和式0=∑m r δ 。式（3.1-16）简化为

dt

V d m F c

= （3.1-17）

这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来。

由式（3.1-9）得

)(|c B c V m dt

V d m F

⨯+=ω （3.1-18）

ω

,,V F 用机体坐标系上的分量表示为

k F j F i F F z y x

++= （3.1-19） k r j q i p

++=ω （3.1-20） k w j v i u V c

++= （3.1-21） 则有：

⎪⎭

⎪

⎬⎫-+=-+=-+=)()()(qu pv w m F pw ru v

m F rv qw u

m F z y x （3.1-22） 这就是在机体坐标系（活动坐标系）下刚体飞行器质心动力学方程。 4.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程。