第四章扭转(讲稿)

第 四 章 扭 转

I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算

n P T p

⨯

=02.7

KN 〃m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）

n

P T kW

⨯

=55.9 KN 〃m (7-2) P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）

2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法

图4-3

0=∑x M

0=-A n T M 左 A n T M =左

0=∑x M

0=+-B n T M 右 B n T M =右

（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则

图4-4

3、扭矩图

扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。

作法：轴线（基线）x ——横截面的位置

纵坐标—— M n的值

正、负——正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。

例题 7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。

图4-5

解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。

（2）作扭矩图，见图4-5，b

一、圆轴扭转时横截面上的应力

1、实心圆轴

（1）τ的分布规律

(a) (b) 图4-6

（2）τ的方向

由M n 确定，τ与M n 同向（见图4-6，a ） 注意τ⊥半径 （3）τ的计算

p

n I M ρτρ=

(7-3)

式中M n ---- 横截面上的扭矩；

ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; I p ----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为32

4

D I p π=

。

（4）τ计算公式的讨论：

①对于某一根受扭的圆轴而言，max τ一定发生在max n M 所在段； ②在确定的截面上，max τ一定发生在ρmax 处（周边上）； ③I p 的意义

从τ的计算公式讨论I p ：I p 愈大，τ愈小；

从应力分布状况讨I p ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。 设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。

2、空心圆轴 （1）τ的分布规律 （2）τ的计算

图4-7

计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同 空心圆轴的I p 空计算

()()4

4

4

11.01324

ααπ-≈-=

D D

I p 空

式中的D

d =

α （3）τ的方向

仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。 3、薄壁圆筒 （1） 界限及误差 当9.0≥=

D

d

α时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。

（2） τ的分布规律

图4-8

（3）τ的计算

t

r M n 2

02πτ=

（r 0见图4-8） （7-4）

三、圆轴扭转时斜截面上的应力

横截面上：max τ发生在周边各点，σ=0

圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。

在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:

图4-9

分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn 上的应力： 设斜截面mn 的面积为dA,则mb 面和bn 面的面积：

αcos ⋅=dA A mb αsin ⋅=dA A bn

选取参考轴η、ξ 写出平衡方程：

∑=0n

F

0cos )sin (sin )cos (=⋅'+⋅⋅⋅+ααταατσαdA dA dA

∑=0ξF 0sin )sin (cos )cos (=⋅'+⋅⋅⋅-ααταατταdA dA dA

利用ττ'=，整理上两式，得：

ατσα2sin -= (a)

αττα2cos = (b)

据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：

（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于τ。

τττ

αα=⋅===)0(2cos 01800

ττταα-=⋅===)90(2cos 027090

（2）由（a ）式知：

ττσα-=-==)45(2sin 0450

τττσα=-⋅-=-==)1()135(2sin 01350

即：

图4-11

这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。

（低碳钢）

（ 铸铁 ）

图4-11

四、圆轴扭转时强度条件

()[]ττ≤=

p

n W M max

max （7-5）----等直圆轴受扭时的强度条件

对于实心圆截面 33

2.016

d d W p ≈=

π

对于空心圆截面 )1(2.0)1(16

4343

ααπ-≈-=

D D W p 空

而 []τ：（1）可通过扭转试验测定：

τS ---塑性材料 τb ---脆性材料

（2）[]][6.05.0στ）（-=

例题4-2 已知：主传动轴AB 由45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm, 壁厚t=2.5mm,[τ]=60MPa,工作时承受M nmax =1.5KN 〃m 试：校核该轴的强度。