〔高中数学〕分类讨论思想PPT课件 通用

3.分类讨论产生的时机： （1）涉及的数学概念是分类定义的. （2）运算公式、法则、性质是分类给出的. （3）参数的不同取值会导致不同的结果. （4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的 结果. （5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质 引发不同的结论. （6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便 于解决. （7）实际问题的实际意义决定要分类讨论.
专题一 数学思想方法
第1讲 分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到 每个数学知识领域.
A={3，m2}，B={-1，3，2m-1}，若A B,则实
数
1
m的值为 .
解析 A B m2∈B m2=-1或m2=2m-1 m=1.
【例2】若不等式mx2+mx+2>0对一切实数x恒成立， 试确定实数m的取值范围. 解 （1）当m≠0时，mx2+mx+2>0对于一切实
数恒x 成立的充要条件是 m m 0,28m0解0得 m8.
探究拓展 当一般性的结论在个别个体上无法使
用，或个体属性特别时，往往要单独解决，这是
产生分类讨论的基础.就本例而言，an=Sn-Sn-1， 在n=1时，没有意义（a1无前项），只有单独求 a1=S1,而在求得a1与an (n≥2,n∈N*)之后，还应 考察a1是否适合an（n≥2,n∈N*）时的规律，若 适合则合并写出an,否则，分段表述an. 变式训练1 （2009·徐州、淮安调研）已知集合
x(a1)2 2a1.
由于x≥0，二次函数f(x)=［x-(a-1)］2+2a-1的 顶
点的横坐标为x=a-1,由此作如下讨论：2a1;
（2）当a<1时，二次函数f(x)在区间［0，+∞）
上
单调递增，
∴当MxA=0时取(a最1小)2 值2,a1a. min
综合可，知 da2a1
(a1), (a1).
∴f（b）=b. 从而 f(b)3 由 b23b4b,
4 得 b 4 (b 4 舍 )于 .去 a 是 1 ,b 4 .
3 （2）当2<a<b时，如图2所示，
函数f(x)在［a,b］上递增，
∴f（a）=a，f（b）=b. 图2
即
3 4 3
a b
2 2
3a 3b
4 4
a, b.
4
解之，得a=b=4,这与已知0<a<b矛盾，应舍去.
【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn=32n-n2，求其
通项公式an. 分析 依Sn的意义知：an=Sn-Sn-1，化简即可，但 要注意单独求a1=S1. 解 ①当n=1时，a1=S1=31. ②当n≥2,n∈N*时，an=Sn-Sn-1=32n-n2-32(n1)+(n-1)2=33-2n. 考察a1=33-2×1=31,a1也适合an=33-2n. 综上,an=33-2n （n∈N*）.
7
11
7 300 480 11 2 , 解得 300 v 480 ;
vv
7
11
当 v 480 时 , ① 式变形为 11
7 300 11 480 2 ,
v
v
解得 480 v 195 .
11
4
综上所述 , v 的取值范围是
39
, 195 4
.
探究拓展 解应用类的问题首先是构建数学模 型，其次是对所建立数学模型进行处理.本例中构 造了含两个绝对值的不等式，其解决办法是依据 绝对值的含义利用零点分段法将其化简，分类讨 论后还要将各种情况合并起来作为一个整体来作 答.对于实际应用类问题，还要将建立起来的数学 模型的答案回归到实际问题上去，保证不失去实 际意义.
值，故不需讨论区间与对称轴的关系）.
f(0)=m,f(1)=2-2m m.3 4,即3 2m3 4时 ，ymaxm;
当m≥2-2m,又
当m<2-2m,m34,即m32时，yma x 22m.
②若4-3m<0，即m 4时， 时，二次函数y的图象
3
开
x 1 0,
43m
口向下，又它的对称轴方程
所以函
数y在［0，1］上是减函数.
3007和48011.
v
v
（2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2
分钟，
所以 300 7 480 11 2 .
①
v
v
当 0 v 300 时 ， ① 式变形为 7
300 7 480 11 2 , 解得 39 v 300 ;
v
v
7
当 300 v 480 时 , ① 式变形为
（2）当m=0时，原不等式为2>0,显然对一切实数 x
恒成立. 综合（1）、（2）可得，当0≤m<8时，对一切实 数x不等式恒成立.
探究拓展 某些学生一见到有“二次”出现，往 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例 中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练2 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 分析 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下 求 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况 去
于是ymax=f(0)=m.
由ym（ax 1）2m、, （2m2,）mm可知232，., 这个函数的最大值为
பைடு நூலகம்
3
【例3】（2009·连云港调研）已知不等式 a 3 x 2 4
3 x 4 b的解集为［a，b］（a,b是常数，且 0<a<b）,求a、b的值. 分析 由于f(x)3x2 3x4的对称轴为x=2,区间
解 （1）当4-3m=0,即m 4时 ，函y 数 2x4,
3
3
它在［0，1］上是减函数，所以 y f(0)4.
（2）当4-3m≠0，即m
4时，
max
3
y是二次函数.
①若4-3m>0,即m 4时， 3 二次函数y的图象开口
3
向
x 1 0,
上，对称轴 43m 它在［0，1］上的最大
值只能在区间端点达到（由于此处不涉及最小
2.分类讨论的原则 （1）分类标准统一，对象确定，层次分明. （2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分. （3）分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结 果作以整合概述.
3.分类讨论的步骤 （1）确定讨论对象的主体； （2）选取恰当科学的分类标准； （3）逐类讨论，获得阶段性成果； （4）归纳整合，得出结论.
分别为2和4、或4和2两种情况进行讨论.
4.已知正三角形的边长为3，到这三个顶点A、B、C
变式训练4 有三个新兴城镇，分别位 于A，B，C三点处，且AB=AC=13， BC=10.今计划合建一个中心医院， 为同时方便三镇，准备建在BC的垂直 平分线上的P点处（建立坐标系如图所示）. （1）若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应 位于何处？ （2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应 位于何处？ 解 （1）设P的坐标为（0，y）， 由图可知A(0,12),B(-5,0),C(5,0). 则P至三镇距离的平方和为 f（y）=2（25+y2）+(12-y)2=3(y-4)2+146，
变式训练3 设A点的坐标为(a,0），a∈R，求曲 线y2=2x上的点到点A距离的最小值d. 分析 本题是求两点间距离的最小值问题，代入 距离公式、转化为求二次函数的最值问题.注意抛 物线上的点（x,y）应满足x≥0. 解 设M（x,y）为曲线y2=2x上一点. 则MA (xa)2 y2 (xa)2 2x x2 2(a1)xa2
∴当y=4时，f(y)min=146. 即点P应位于（0，4). ∴当点P为（0，4）时到三镇距离的平方和最小. (2)P至三镇的最远距离为
25 y 2 (当 25 y 2 12 y ),
g(y) 12 y
(当 25 y 2 12 y ).
由 25 y 2 12 y , 得 y 119 , 24
绝对值的概念；根式的性质；一元二次方程的判 别式符号与根的情况；二次函数二次项系数的正 负与抛物线开口方向；反比例函数 y k (k≠0)的 比例系数k,正比例函数y=kx的比例系数x k，一次
数y=kx+b (k≠0)的斜率k与图象位置及函数的单 调
性的关系；幂函数y=xn的幂指数n的正、负与定义 域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax (a>0 且a≠1)、对数函数y=logax (a>0,a≠1)中底数a 的 范围对单调性的影响；等比数列前n项和公式中公 比q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类； 不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号 方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥 曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系；运用 点斜式，斜截式直线方程时斜率k是否存在；角的
4 含参数可按a、b、2的大小关系进行分类.
解 设 f(x)3x2 3x4
4
3(x2)2 1.
4
显然，其对称轴为x=2.
图1
（1）当a≤2≤b时，如图1所示，函数f(x)的最小
值
为1，∴a=1.
又a≤x≤b,
此时，函数f(x)在［a，b］上的最大值为f(1)或
f(b). f(1)72b时,∴f(b)为最大值. 又由于f(4x)在［1,b］上的值域为［1,b］，
于是
g
(
y)
25 y 2
12 y
( y 119 ), 24
( y 119 ). 24
因为
25
y
2
在
119 24
,
上是增函数
，
而 12 y 在 ( ,119 )上是减函数 ， 24
故当 y 119 时 ， 函数 g ( y )有最小值 . 24
此时点 P应位于 (0,119 ). 24
一、填空题
1.过点P（2，3）且在坐标轴上的截距相等的直线方 程是 y23x或y5x.
解析 从几何图形特征上看，分截距等于零、不
等于零两种情况，所求直线方程为
y3x或y5x. 2
2.直线l过点P（-2，1），点A（-1，-2）到直线l的
距离等于1，则直线l的方程为 4x+3y+5=0或x=-2.
（3）当0<a<b<2时，如图3所示，函数f(x)在
［a,b］
上递减，
∴f（a）=b，f（b）=a，
即
3 4 3
a b
2 2
3a 3b
4 4
b, a.
图3
4
解之，得 a b 4 , 这与0<a<b矛盾，应舍去. 综上可知,a=1,b3=4. 探究拓展 对称轴与目标区间的相对位置关系影 响函数最值的获取，本例是典型的“定轴，动区 间”类问题，要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨 论.另一类与之相对应的问题是“定区间动轴”问 题，见本例变式训练，备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之处. 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨 论分别叙述.
【例4】某城铁路线上依次有A，B，C三站，AB=5 km，BC=3 km.在列车运行时刻表上，规定列车8时 整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8
时 12分到达C站，在实际运行时，假设列车从A站正
时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站 的运行误差. （1）分别写出列车在B，C两站的运行误差； （2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超 过2分钟，求v的取值范围. 解 （1）由题意知,列车在B、C两站的运行误差 （单位：分钟）分别是
当点 P为(0,119 )时到三镇的最远距离为 24
最小 .
规律方法总结 1.分类讨论是“化整为零”——“各个击破”——
“积零为整”的数学方法，其原则是： （1）分类标准统一、对象确定. （2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分. （3）分层讨论，不能越级讨论.有时，还要对讨论
的结果综合起来概述. 2.需要分类讨论的知识点大致有：
解析 直线l的斜率不存在时，满足条件的方程为
x=-2,当斜率存在时，设l的方程为y-1=k(x+2),由 点到直线的距离公式，可得 k 4 , 所以直线l的方
3 程为4x+3y+5=0或x=-2.
3.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩
形，则它的体积为
4 3或8 3 99
.
解析 正三棱柱形状的确定需分侧面矩形长、宽