多项式的最大公因式

(1 x 1) f (x) ( 1 x2 2 x)g(x)
53
5
5
Theorem3 . 如果 f(x)|g(x)h(x),且
(f(x),g(x))=1,那么必有 f(x)|h(x).
Corollary .如果 f1(x)|g(x), f2(x)|g(x),且 (f1(x),f2(x))=1,那么必有 f1(x)f2(x)|g(x). n个多项式的最大公因式及互素的定义: 多项式f1 (x), f2 (x),, fn (x)的最大公因式 存在,且满足(( f1 (x), f 2 (x),, fn1 (x)), fn (x)) ( f1 (x), f2 (x),, fn (x)).
最大公因式的性质:
1.f(x)与g(x)的公因式d(x)是它们的最大 公因式的充要条件是 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
2. f(x)与g(x)互质的充要条件是 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1
作业:P45-5、6、7、8、9、10、 11、12、14
1-4 多项式的最大公因式
多项式的最大公因式是多项式整除理论 的一个重要组成部分, 这里不仅要求大 家掌握最大公因式的概念, 也要会求两 个或多个多项 式的最大公因式, 并熟练 运用互素多项式的性质以及判断两个多 项式互素的充要 条件.
Definition 1:公因式 如果 (x)既是
f (x)因式，又是g(x)因式，就称（x)是
f (x), g(x)的公因式。
最大公因式
设 d (x), f (x), g(x) P[x],
如果满足条件：
1.d (x)是f (x)与g(x)的公因式；
2. f (x)与g(x)的公因式全是d (x)的因式，
则称d (x)为f (x)与g(x)的最大公因式。
任意多项式f(x)就是f(x)与零多项式的最
f1 (x), f2 (x),, fn (x)互素 ( f1 (x), f2 (x),, fn (x)) 1
EXAMPLE2.以下命题是否正确,为什么?
1.如果P(x)|f(x)g(x),
那么p(x)|f(x)或p(x)|g(x); 2.若p(x)|f(x),则(f(x),P(x))=P(x); 3.若f(x)g(x)=f(x)h(x),则g(x)=h(x).
证明:存在性:若g(x)=0,f(x)与g(x)的 最大公因式是f(x),不妨设g(x)≠0, 若g(x)整除f(x) 则f(x)与g(x)的最 大公因式是g(x).
f (x) q1 (x)g(x) r1 (x)(r1 (x) 0) f (x), g(x)与g(x),r1 (x)具有相同的 最大公因式.
EXAMPLE3.求 f (x) 4x4 2x3 16x2 5x 9
和 g(x) 2x3 x2 5x 4 的最大公因式
d (x)及u(x),v(x) 使得d (x) u(x) f (x) v(x)g(x).
解 : f (x) g(x) 2x (6x2 3x 9);
g(x) (6x2 3x 9)( 1 x 1) (x 1), 33
rk1 (x) qk1 (x)rk (x) 0 rk (x)就是f (x)与g(x)的最大公因式. 且 存在u ( x) , v( x)使 得
rk百度文库(x) u(x) f (x) v(x)g(x)
▲多项式最大公因式的存在性和唯一性不因数 域的扩充而改变. *两个多项式的最大公因式在相差一个非零常 数倍的意义下是唯一确定的.
EXA1.设f (x) 3x4 9x3 3x2 12x 9 g(x) 3x3 10x2 2x 3
求( f (x), g(x)),并求 u(x),v(x)使得 ( f (x), g(x)) u(x) f (x) v(x)g(x).
用辗转相除法求得:(板书)
( f (x), g(x)) x 3
定义 ( f(x),g(x)) :
(1) ( f(x),g(x))是 f(x)和g(x)的公因式;
(2)若h(x)│ f(x), h(x)│g(x),
则 h(x)│ ( f(x),g(x));
(3) ( f(x),g(x)) 是首项系数为 1 多项式
Definition2:P[x]中两个多项式 f(x),g(x)称为互素的,如果
6x2 3x 9 (x 1)(6x 9)
d (x) x 1,u(x) 1 (x 1),v(x) 1 (2x2 2x 3)
3
3
EXAMPLE4. 设f(x)=d(x)f1(x), g(x)=d(x)g1(x),
证 明 : 若 (f(x),g(x))=d(x), 且 f(x) 和 g(x) 不 全 为 零 , 则 (f1(x),g1(x))=1; 反 之 , 若 (f1(x),g1(x))=1,则d(x)是f(x)与g(x)的一 个最大公因式.
(f(x),g(x)）=1. 换句话说: 如果两个多项式除了常数没有公因 式,则称这两个多项式互素.
Theorem2: P[x]中两个多项式 f(x)与
g(x)互素的充分必要条件是存在P[x] 的多项式u(x)和v(x)使得
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. 证明:必要性由Theorem 1 得到. 充分性：设存在P[x]的多项式u(x)和v(x) 使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. 显然f(x),g(x) 任意公因式d(x)整除1， 从而 (f(x),g(x)）=1.
思考题
定理2的推广命题 P[x]中两个多项 式f(x),g(x)的最大公因式为d（x）
的充分必要条件是存在P[x]的多
项式u(x)和v(x)使得
u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x).是否正
确?认为正确请证明,认为错误的 举出反例.
课堂小结
因式,公因式,最大公因式;互素.
用辗转相除法求两个多项式的最大公因式,
大公因式； 两个零多项式的最大公因式就是0； 零次多项式与任意一个多项式的最大公
因式是零次多项式。 如果有等式f (x) q(x)g(x) r(x)
成立，那么f (x), g(x) 和 g(x),r(x)
有相同的公因式。
Theorem1 对于P[x]中的任意两个多项 式 f(x),g(x), 在 P[x] 中 存 在 一 个 最 大 公 因 式 d(x), 且 d(x) 可 以 表 示 成 f(x),g(x)的一个线性组合.