九年级数学下册 第7章 锐角三角函数 7.6 用锐角三角函数解决问题 7.6.3 与仰角、俯角和方向

第7章锐角三角函数

7.6 第3课时与仰角、俯角和方向角有关的问题

知识点1 仰角和俯角

图7－6－26

1．xx·长春如图7－6－26，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )

A．800sinα米B．800tanα米

C.800

sinα米 D.800

tanα米

2．如图7－6－27所示，课外活动中，小芸在与旗杆AB的距离为10米的C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为45°.已知测角仪的高CD＝1.5米，则旗杆AB的高是________米．

7－6－27

图7－6－28

3．xx·邵阳如图7－6－28，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n秒后，火箭到达点B，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度为________km.

4．xx·达州在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．如图7－6－29，用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得雕塑顶端点C的仰角为45°.则该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值)

图7－6－29

知识点2 方向角

5．xx·百色如图7－6－30，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是( )

A．20(1＋3)米/秒B．20(3－1)米/秒

C．200米/秒D．300米/秒

7－6－30

7－6－31

6．如图7－6－31，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________(填“有”或“没有”)触暗礁的危险．

7．xx·青岛如图7－6－32，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C

地需绕行B 地．已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520 km ，C 地位于B 地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．(结果保留整数)

(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125

，3≈1.73)

图7－6－32

8．xx·潍坊 如图7－6－33，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁P 在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B 处，此时测得岛礁P 在北偏东30°方向，同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M 在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)

图7－6－33

图7－6－34

9．如图7－6－34所示，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为α，在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为β.如果甲、乙两楼之间的水平距离BC为10米，那么甲楼的高AB＝______________米．(用含α，β的代数式表示)

10．如图7－6－35，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C，B之间选择一点D(C，D，B三点共线)，测得旗杆顶部A 的仰角为75°，且CD＝8 m.

(1)求点D到AC的距离；

(2)求旗杆AB的高．

(注：结果保留根号)

图7－6－35

11．xx·襄阳为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇

到汉江水域考察水情

，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处，此时测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图7－6－36所示，求建筑物P到赛道AB的距离．(结果保留根号)

图7－6－36

12．xx·连云港如图7－6－37，湿地景区岸边有三个观景台A，B，C，已知AB＝1400米，AC＝1000米，点B位于点A的南偏西60.7°方向，点C位于点A的南偏东66.1°方向．

(1)求△ABC的面积；

(2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD，试求A，D 之间的距离(结果精确到0.1米)．

(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，2≈1.414)

图7－6－37

/ 教 师 详 解 详 析 /

第7章 锐角三角函数

7.6 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题

1．D [解析] 由题中条件可知，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝α，AC ＝800米，tan α＝

AC AB

，可得AB ＝800tan α米． 2．11.5 [解析] ∵小芸在与旗杆AB 的距离为10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为45°，∴AE ＝DE ＝10米．

∵测角仪的高CD ＝1.5米，∴旗杆AB 的高是10＋1.5＝11.5(米)．

3．(20 3－20) [解析] 在Rt △ALR 中，先根据AR ＝40 km ，∠ARL ＝30°，求出AL

＝20 km 和LR ＝20 3 km ，再在Rt △BLR 中，求出BL ＝LR ＝20

3 km ，所以火箭在这n 秒中上升的高度AB ＝BL －AL ＝(20

3－20)km. 4．解：设雕塑的高CD 为x 米．

在Rt △ACD 中，AD ＝x tan30°米，在Rt △BCD 中，BD ＝x

tan45°＝x 米，根据题意，得AD －BD ＝4米，即x tan30°－x ＝4，解得x ＝2 3＋2.

答：雕塑的高CD 为(2 3＋2)米．

5．A [解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝200，∠CBD ＝45°，∠ABD ＝60°，∴在Rt △ABD 中，AD ＝200 3；在Rt △BCD 中，DC ＝200，∴AC ＝DC ＋AD ＝200＋200

3，∴动车的平均速度是(200＋200

3)÷10＝20＋20 3＝20(1＋3)米/秒． 6．没有 [解析] 过点A 作轮船航线的垂线，垂足为B .∵OA ＝40海里，∠AOB ＝33°，∴AB ＝40·sin33°≈21.79海里＞20海里，∴轮船没有触暗礁的危险．

7．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D .