第八章 主应力法及其应用

R0 r Y ln R
代入（3）得切向压应力为 ……(5)
积分得
dR r Y R
R0 Y (1 ln ) R
……(6)
a
l ,宽度为
a
h，且
l a ，接触面摩擦条件为
s
，试使用切块法推导接触面上的
。 z
¦Σ
σ
z
（1）、切取基元体。切取包括接触面 在内的高度为坯料瞬时高度h、宽度为 dx的基元体（图中阴影部分）。 （2）、沿x抽方向的平衡微分方程。
σ 金属流动方向
σ
+
σ
x hl x d x hl 2ldx 0
0.5 a
x xe
τ
σy dx
(
σye
x
平行砧板间平面应变镦粗及垂 直应力σz的分布图形
8.3 圆柱体镦粗
圆柱体镦粗时，是一个圆柱坐标轴对称问题，设锻件的性能和接触 表面状态没有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z 无关， 轴），即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标 仅与r坐标有关。 已知圆柱形坯料墩粗至高度h，直径d（假设侧表 面为平直的），设｜τ｜=σs/2，试使用切块法推 导接触面上的 。
（6）
a 在x= 、y=0处， x 0 ，有 2 a c 2K
a 2x y (2K ) h 2 (2K a 2x -2 K 2 4 y2 ) x h h2
a 2x a 2x y (2K ) 2k (1 ) h 2h
C s
s d
h 2
z s
，再带入（6.10）式得
8、求接触面上压力分布公式 （6.12）带入（6.10）得
z s 1


1d h 2

p

y

h

例题：矩形板镦粗
x
a
已知： 长L、宽D、高为h，l>>a 接触面上的剪应力为，沿l方向应 变为0 。平面变形问题。 假设：变形无畸变（出现鼓形）， xy 与x无关
当z=ze时， z 0 ∴ c K1 ln(rb ze tan )
rb z tan z K1 ln( ) ……(7) rb ze tan rb rb 当z=0处， z 即为挤入深 p K ln( ) K1 ln( ……(8) ) 1 rb ze tan re 度为 ze 所需的单位变形力 ∵∴

z
s
即
z s
d z d
6、联立求解 将（6.7）带入（6.4）、（6.5）得：
d z
s
h
d
积分上两式，相应得：
z
s
h
C
7、计算（6.10）式的定积分常数 当

d 2
时
0
带入屈服准则（6.6）式
z
1、切取基元体 2、列平衡方程（沿ρ向）


d d d h d h 2 sin
d d h 2dd 0 2
2 0 整理并略去高次项得： d h
d
3、找σρ与σθ的关系 可以从ερ与εθ的关系再利用应力应变关系式判别出。对于 d 实心圆柱体镦粗，径向应变 ，而切向应变是
P F y dF l y (x)dx 1a =2kla(1+ ) 4h
4 2 2 1 ( y) c 2 K 2 2 y h
单位流 动压力
p
2 4 2 2 xc2 K 2 代入6 x h h 式得 （7） c 2 x y h
σx+dσx
镦粗 方向
σz σx 金属流动方向 h τ
（8）、求镦粗力P
2 a 2x s 2 s )dx F 0 3 2h 2 a la( s 2 s ) 2h 3 P P 2 a p = s 2 s F la 2h 3 P= z dF 2l
P P 1a =2k(1+ ) F la 4h
p


h
x

a
轴对称挤压型的变形力
2 z r tan( )dz r 2 d z 2 rdz 2r u tan( )dz 0
由静力平衡关系 ……(1)
u r tan( )
简化屈服方程
……(2)
2[ (1 tan 2 ) Y tan ] d z dz r
1式减2式得
2 x y xy

2 xy x
2

2 xy y
2
(1)
屈服条件
Mises条件
2 xy
p


x
y 4
2
4 2 4K s 3
2
h

a
2 x y 2 K 2 xy (2)
当y=0时，xy =0 1 xy y h
dx h
积分上式得
z 2 s
（6）、由边界条件定C 由边界条件知 ： x 可得边界常数： （7）、代入得：
C 2 a s2 s 2h 3
x C h
x a 2
0
z
x
a 2

2 s 3
z
2 a 2x s 2 s 3 2h
y h
x
x 2 x h 0 y 0 y
2 c1 =0,c2 h
2
0
（5）
2 xy y
积分得
2
0
xy c1 c2 y
积分得
2 x x 1 ( y) h y 2 ( x )
……(1)
r t Rd ( r d r )t ( R dR)d d 2 dR sin t 0
2
略去高阶微量，整理后得
dR d r ( r ) R 式中应力为绝对值表示
……(2)
因处于塑性状态，根据Mises屈服准则有
r ( ) Y
代入屈服准则式（2）得
h
2 4 2 2 2 x 1 ( y) 2 (x) 2 K 2 y h h
2 4 2 2 2 2 ( x ) x 1 ( y) 2 K 2 y h h
上式左式为X的函数，右式为Y的函数，令等于常数C
当
K
变形力
2 2 (x) c x h
x y


d d y 0 x
库仑摩擦定律：
k f n
——正应力
常摩擦定律：
k——屈服切应力
k k
k
——摩擦应力
n
k 3 / 3
f——摩擦系数。
p

h

8.2 矩形件压缩——平面应变镦粗型的变形力
在平行模板间镦粗矩形截面的钢坯，其长度为: ，高度为
(3)
得
（2）代入（1）得
2

2
K
2
2 xy
xy
xy
2

xy
2
x
2

xy
2
y
2
与x无关，且仅为Y的函数时，才可解
2 xy x
2
2 2 K 2 xy
xy
0
代入 平衡 方程 得
2 xy y (4) h xy 2 xy

解：
x xy 0 y x xy y 0 x y
对一式和2式 分别对Y和X 微分得
2 x 2 xy 0 2 y xy 2 xy y x 2 xy 0
第八章
工程法解析变形问题
主要内容

8.1 解析法的解本思路 8．2 矩形件压缩 8．3 圆柱体镦粗
8.1 解析法的解本思路
工程法是最早应用于塑性加工中计算变形力的一种方法，通常又称为 切块法（Slab method），或主应力法。它是一种近似解析法，通过对物体 应力状态作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性 条件，这些简化和假设如下：
联解（2），（3）得
……(3)
dR r Y R
……(4)
式中Y是材料的真实应力，可根据变形程度由真实应力-应变曲线求 得，但由于凸缘上不同R处有不同的变形程度，因此Y是R的函数。
取平均值 Y
假设整个变形区的真实应力为某一平均值 Y
r Y ln R C C Y ln R0 当R R0时, r 0,


2 d 2 d 2
两者相等，根据应力应变关系理论必然有
2 将（6.2）带入（6.1）可得 ： d h d
4、带入边界摩擦条件 边界上


s
2
d
s
h
d
5、引入塑性屈服条件 因 ， 此时Mises屈服准则和Tresca准则是一致的。，根 据应力应变顺序对应规律（考虑到符号）可知 z ，此 时的屈服准则略去摩擦力，即视 , z为主应力
拉延——凸缘变形区的应力分布
应用主应力法可以 求解凸缘区的应力 分布。设拉延过程 中板厚不变，且暂 不考虑外摩擦影响 从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态，由径 向合力为0得 Rd ( d ) R dR)d t t(
r r r
d 2 dR sin t 0 2
……(3) 联解（1）（2）（3）得
r z 百度文库 Y
……(4)
由几何关系得
r rb z tan
……(5)
代入（4）前述算式积分得
z K1 ln(rb z tan ) c
2[ (1 tan 2 ) Y tan ]……(6) K1 tan
化简后得：
d x
2 dx h
（3）、确定摩擦条件 采用常摩擦条件： s （4）、确定的
x、关系 z
采用平面变形条件下的屈服准则，当取σ3和σ1的绝对值时 ，该式为 2
x z
d x d z
d z 2 s
3
s
（5）、代入得：

1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平面应变问题和轴对称问题。 如平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等;

2．假设变形体内的应力分布是均匀的，仅是一个坐标的函数;
3．采用近似的塑性条件,工程法把接触面上的正应力假定为主应力，于是 2 对于平面应变问题，塑性条件( x y ) 2 4 xy 4k 2 可简化为: x y 2k 4．简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系: