流体力学连续性方程和恒定总流动量方程

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dydzdt
2
连续性方程
上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即
ux x
dx
ux
x
dx
dydzdt
(ux )
x
dxdydzdt
同理，在dt 时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：
(uy ) dxdydzdt
y
(uz ) dxdydzdt
z
因此，dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
连续性方程
连续性方程的微分形式
设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、 dy和dz，如下图所示。
y
dx x 2
u u dx dy x 2
O z
假设微元平行六面体形
uy
dx 心的坐标为x、y、z，在
x 2
uz
ux
某一瞬时t经过形心的流
u u dx
dz x 2
体质点沿各坐标轴的速
t
在dt时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt
t
t
代入相等条件，得
ux
uy
uz
0
t x
y
z
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连续性方程
上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。
若流体是定常流动
0 t
上式变为：
ux uy uz 0
dt 时间内水流动量的变化
uur uur uur uur uur uur uur uur uur K K1'-2' K1-2 ＝ K 2-2' K1'-2 K1-1' K ＝ 1'-2 K 2-2' K1-1'
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恒定总流的动量方程
dt 时间内水流的动量变化
1’ 1
A1
u1
1’
dA1
1
dx
度分量为ux、 uy、 uz ， 流体的密度为ρ。
x 1
连续性方程
先分析x轴方向，由于ux和ρ都是坐标和时间的连续函数，即
ux=uxx (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，
略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微
元面积dydz流入的流体质量为
动量定理： 质点系的动量在某个方向的变化，等于作用于该 质点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。 即
K F •t
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恒定总流的动量方程 1. 恒定总流动量方程的建立
在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。
A1 1
A2
2
v1 v2
1
uuuur
K 断面1-1至2-2所具有的动量
12
8
恒定总流的动量方程
u1dt
dt 时间内流段1-1′动量
uur uur uur K＝ K 2-2' K1-1'
2
u2 2 2’ u2dt
2’ A2
dA2
ur
u1dtdA1 •u1
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恒定总流的动量方程
dt 时间内流段2-2′动量
uur
u2dtdA2 • u2
总流1-1′与2-2′断面 的动量
uur
uur
uur
K 11' u1u1dtdA1 dt u1u1dA1
x
dx 2
,
y,
z,
t
ux
x
dx 2
,
y,
z,
t
dydzdt
(x, y, z,t)
x
dx 2
ux
(
x,
y,
z,
t
)
ux x
dx 2
dydzdt
x
dx 2
ux
ux x
dx 2
dydzdt
同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为
x
dx 2
ux
ux x
dx 2
1' 1
2 2'
1' 1
2
2'
经过时u间uudutur后，流体从1-2运动至1′-2′，此时所具有的动量为 K1'2'
dt时段动量变化
uur uuuuur uuuur K K1'2' K12
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恒定总流的动量方程
1' 1
2 2'
1'
2
2'
1
uur uur uur uur uur uur K1'-2' K 2-2' K1'-2 K1-2 K1-1' K1'-2
uur
A1 uur
A1 uur
K 22' u2u2dtdA2 dt u2u2dA2
A2
A2
因为断面上的流速分布一般较难确定，所以上述积分不
能完成。如何解决这个积分问题？
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恒定总流的动量方程
上述积分问题 的解决
用断面平均流速v 代替点流速。定
义V的大小为v ，
方向为u的方向 。
r
uudA
按照动量定律原理，则
uur uur uur
Biblioteka Baiduuur
ur
ur
K＝K 22' K11'＝qv22 v2dt qv11v1dt＝ Fdt
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恒定总流的动量方程
uur ur ur
qv (2v2 1v1) F
ur
F 作用于控制体内流体上所有外力的矢量和。外力包
括：控制体上下游断面1、2上的流体总压力P1、P2、重力G 和总流边壁对控制体内流体的作用力R。其中只有重力为质
x
y
z
不可压缩流体
c
可压缩流体定常三维流动 的连续性方程。
ux u y uz 0 x y z
不可压缩流体三维流动 的连续性方程。
物理意义在同：一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同
一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
5
6
恒定总流的动量方程
在需要确定流体与外界的相互作用力时，连续性方程和 能量方程都无法解决，需引入动量方程。动量方程是自然界 的动量定理在流体力学中的应用。
A
2A
r
uudA 2 A A
造成的误差用动 量修正系数 来 修正。
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恒定总流的动量方程
引入动量修正系数后：
uur
ur
uur
ur
K 1-1'
uur
dt
A1
u1u1dA1 uur
dt1v12 A1
uur
qv11 v1dt
uur
K 2-2' dt A2 u2u2dA2 dt2 v22 A2 qv22 v2dt
ux
uy
uz
dxdydzdt
x
y
z
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连续性方程
由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因 为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变 化而产生的六面体内的流体质量变化相等。
设开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为
(x, y, z, t dt) dt
量力，其余均为表面力。即
ur ur ur ur ur
R
F P1 P2 G R
P2 v2
P1 v1
G
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恒定总流的动量方程
qv qv
( 2 v2 x (2v2 y
1v1x ) 1v1y )
Fx Fy
qv (2v2z 1v1z ) Fz
式中，Fx ,Fy ,Fz 为作用于控制体 上所有外力在三 个坐标方向的投 影（不包括惯性 力）。