离散数学--第7章 图论-5(匹配)
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7.5 匹配
匹配问题是运筹学的重要问题之一，也是图论 的重要内容，它在所谓“人员分配问题”和“最 优分配问题”中有重要作用。 假定有一个男生有穷集合，其中每个男生认识一 些女生，在什么条件下每个男生都可以和他认识 的女生结婚？ 类似的工作分配问题：现有n个人，m份工作，每 个人有其擅长的工作。在什么条件下每个人都可 以得到一份他擅长的工作？如何分配？
1
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7.5 匹配
[例]
g1
2
男 生 b1
b2
认识的女 生 g1,g4,g5
g1
b1
b2 b3 b4 g2 g3 g4 g5
b3
b4
g2,g3,g4
g2,g4
配偶问题：二分图是否存在一个边集E使 得其中任意两边不邻接，且每个结点bi与E 的某个边关联。
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7.5 匹配
3
例
二分图G(V1,V2)的完全匹配: 是否存在单射 f: V1 V2 使得任意vV1, v与f(v)相邻。
交错路为一条 M可增广路。
例
v1 v6 v2 v3 v4
匹配， M {v1v6 , v2v5 }是一个对集；但不是
最大对集，有路 P:v3v2v5v4，通过 匹配， ( M E ( P)) ( E ( P) M )得比M 更大的对集。 匹配，P称为M 可扩路。 增广路
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v5
7.5 .2 最大匹配的基本定理
e5
[定义] 设M是G的一个匹配 ，若有e=(vi,vj)M，则称vi
和vj在M中饱和或M饱和。若G中的每一个顶点
都为M饱和，则称M为G的一个完美匹配。 注释（1）完美匹配是最大匹配，反之未必。 （2）匹配的概念与边的方向无关，故只需讨论无向图。 （3）图G的边不交匹配的最小数目即为图G的边色数
为图G的最大匹配。
[匹配数] G中最大匹配中的边数称为匹配数，记作
(G)。设G的所有匹配为M1、M2、… 、Mk，记
' (G) max | M i |
i 1,...,k
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7.5 .1 匹配的基本概念
e2 e6 e1
5
最大匹配： {e1,e5 ,e6} e7
e4 e3 匹配数：3
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
13
[证明] 必要性：对S V1，匹配M将S中的每个顶点与N(S)中顶点 配对，故|N(S)|≥|S|。 充分性： 对S V1，有|N(S)|≥|S|。可以按下面方法作出饱和V1的匹配 M。 先做任一初始匹配M1，若已饱和V1，定理得证。否则，V1中 至少有一个非饱和点x1，检查以x1为起点，终点在V2中的交错 路。考虑下列两种情形： （1）不存在任何一条交错路可以到达V2的非饱和点。这时从 x1开始的一切交错路的终点还是在V1。故存在A V1，使得 |N(A)|＜|A|，这与已知矛盾。 （2）存在一条以x1为起点，终点为V2的非饱和点的交错路P， 可见P是可增广路，于是作新匹配M2＝M1 P，显然M2饱和 x1，且|M2|＞|M1|。 因此，重复以上过程，可以找到饱和V1的全部顶点的匹配M。 定理的充分性得证。
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
[M交错路] 设G和M如上所述，G的一条M交错路 指G中一条路，其中的边在M和 EM 中交错出现 。
路是由属于M的匹配边和不属于M的非匹配边交替出现组成
8
[M可增广路] 设G和M如上所述，若G的一条 M交
错路的始点和终点都是 M不饱和的，则称该 M
[引理] 设P是匹配Ｍ-可增广道路，则PM是一个比M更大的 匹配，且| PM｜＝|M|+1.
在 M 可增广路中，第一条边与最后一条边都不是M 中的 边，因而 M 可增广路中属于 M的边数比不在 M 中边数 少一条。
9
[定理7-2-1] (Berge) 设G=(V,E)，M为G中匹配，则 M为G的最
大匹配当且仅当G中不存在 M可增广道。 [证明] 必要性：如有M-可增广道路，则有更大匹配。矛盾！ 充分性 ：如果有最大匹配M’, |M’|>|M|. 考虑MM’，其中每个 结点的最多与Ｍ边和一个M’边关联，每条道路是M边和M’边
交互道路。
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
Fra Baidu bibliotek10
M实线边，M’虚线边
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
12
设S是图G的任一顶点子集，G中与S的顶点邻接 的所有顶点的集合，称为S的邻集（neighbour set），记作NG(S)。
[定理7-2-2 Hall定理]设G是有二部划分(V1,V2)的二
分图，则G含有饱和V1的每个顶点的匹配M的充
要条件是，对S V1，|N(S)|≥|S|。
MM’
其中回路包含相同数目的M边和M’边。由|M’|>|M|, 必 存在M’边开始， M‘边终止的M交互道路，即M-可增广 道路，矛盾！
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
例] 从匹配M={(v6,v7)}开始，求下图的最大匹 配
11
(a)
(b)
系统地检查不饱和点出发有无可增 广道路，如，v1出发有可增广道路 v1,v7v6,v8(可画以v1为根的交互树)， 由此得到匹配(a), v2出发没有，v3出 发存在v3v4，可得更大匹配(b), 其他 点出发不存在可增广道路，故(b)是 最大匹配。
b1 b2 g1 g2 g3 g4 g5
b3
b4 二分图存在完全匹配的必要条件是： 任意k个男生至少认识k个女生。 这个条件也是充分的。
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M
7.5 .1 匹配的基本概念
[匹配]设G是无环图，M E(G)，M≠ ，如果M中任意
4
两条边在G中均不相邻， 则M称为G的一个边独立集或匹
配。 [最大匹配]若对图G的任何匹配，均有|M |＜|M|，则 称M
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7.5 .1 匹配的基本概念
6
例
最大匹配
完美匹配
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7.5 .1 匹配的基本概念
[边覆盖] 一个图 G=(V, E) ，E´E，若G的任
7
一个顶点都与E´ 中的边关联，则称E´ 覆盖G， 或称E´ 为G的一个边覆盖（集）。
[极小边覆盖] E´ 是G的一个极小边覆盖 E´为G的一个边覆盖(E1)(E1E´E1不 是G的边覆盖) 若在E´集中去除任何元素E´不再是覆盖集
匹配问题是运筹学的重要问题之一，也是图论 的重要内容，它在所谓“人员分配问题”和“最 优分配问题”中有重要作用。 假定有一个男生有穷集合，其中每个男生认识一 些女生，在什么条件下每个男生都可以和他认识 的女生结婚？ 类似的工作分配问题：现有n个人，m份工作，每 个人有其擅长的工作。在什么条件下每个人都可 以得到一份他擅长的工作？如何分配？
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7.5 匹配
[例]
g1
2
男 生 b1
b2
认识的女 生 g1,g4,g5
g1
b1
b2 b3 b4 g2 g3 g4 g5
b3
b4
g2,g3,g4
g2,g4
配偶问题：二分图是否存在一个边集E使 得其中任意两边不邻接，且每个结点bi与E 的某个边关联。
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7.5 匹配
3
例
二分图G(V1,V2)的完全匹配: 是否存在单射 f: V1 V2 使得任意vV1, v与f(v)相邻。
交错路为一条 M可增广路。
例
v1 v6 v2 v3 v4
匹配， M {v1v6 , v2v5 }是一个对集；但不是
最大对集，有路 P:v3v2v5v4，通过 匹配， ( M E ( P)) ( E ( P) M )得比M 更大的对集。 匹配，P称为M 可扩路。 增广路
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v5
7.5 .2 最大匹配的基本定理
e5
[定义] 设M是G的一个匹配 ，若有e=(vi,vj)M，则称vi
和vj在M中饱和或M饱和。若G中的每一个顶点
都为M饱和，则称M为G的一个完美匹配。 注释（1）完美匹配是最大匹配，反之未必。 （2）匹配的概念与边的方向无关，故只需讨论无向图。 （3）图G的边不交匹配的最小数目即为图G的边色数
为图G的最大匹配。
[匹配数] G中最大匹配中的边数称为匹配数，记作
(G)。设G的所有匹配为M1、M2、… 、Mk，记
' (G) max | M i |
i 1,...,k
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7.5 .1 匹配的基本概念
e2 e6 e1
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最大匹配： {e1,e5 ,e6} e7
e4 e3 匹配数：3
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
13
[证明] 必要性：对S V1，匹配M将S中的每个顶点与N(S)中顶点 配对，故|N(S)|≥|S|。 充分性： 对S V1，有|N(S)|≥|S|。可以按下面方法作出饱和V1的匹配 M。 先做任一初始匹配M1，若已饱和V1，定理得证。否则，V1中 至少有一个非饱和点x1，检查以x1为起点，终点在V2中的交错 路。考虑下列两种情形： （1）不存在任何一条交错路可以到达V2的非饱和点。这时从 x1开始的一切交错路的终点还是在V1。故存在A V1，使得 |N(A)|＜|A|，这与已知矛盾。 （2）存在一条以x1为起点，终点为V2的非饱和点的交错路P， 可见P是可增广路，于是作新匹配M2＝M1 P，显然M2饱和 x1，且|M2|＞|M1|。 因此，重复以上过程，可以找到饱和V1的全部顶点的匹配M。 定理的充分性得证。
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
[M交错路] 设G和M如上所述，G的一条M交错路 指G中一条路，其中的边在M和 EM 中交错出现 。
路是由属于M的匹配边和不属于M的非匹配边交替出现组成
8
[M可增广路] 设G和M如上所述，若G的一条 M交
错路的始点和终点都是 M不饱和的，则称该 M
[引理] 设P是匹配Ｍ-可增广道路，则PM是一个比M更大的 匹配，且| PM｜＝|M|+1.
在 M 可增广路中，第一条边与最后一条边都不是M 中的 边，因而 M 可增广路中属于 M的边数比不在 M 中边数 少一条。
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[定理7-2-1] (Berge) 设G=(V,E)，M为G中匹配，则 M为G的最
大匹配当且仅当G中不存在 M可增广道。 [证明] 必要性：如有M-可增广道路，则有更大匹配。矛盾！ 充分性 ：如果有最大匹配M’, |M’|>|M|. 考虑MM’，其中每个 结点的最多与Ｍ边和一个M’边关联，每条道路是M边和M’边
交互道路。
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
Fra Baidu bibliotek10
M实线边，M’虚线边
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
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设S是图G的任一顶点子集，G中与S的顶点邻接 的所有顶点的集合，称为S的邻集（neighbour set），记作NG(S)。
[定理7-2-2 Hall定理]设G是有二部划分(V1,V2)的二
分图，则G含有饱和V1的每个顶点的匹配M的充
要条件是，对S V1，|N(S)|≥|S|。
MM’
其中回路包含相同数目的M边和M’边。由|M’|>|M|, 必 存在M’边开始， M‘边终止的M交互道路，即M-可增广 道路，矛盾！
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
例] 从匹配M={(v6,v7)}开始，求下图的最大匹 配
11
(a)
(b)
系统地检查不饱和点出发有无可增 广道路，如，v1出发有可增广道路 v1,v7v6,v8(可画以v1为根的交互树)， 由此得到匹配(a), v2出发没有，v3出 发存在v3v4，可得更大匹配(b), 其他 点出发不存在可增广道路，故(b)是 最大匹配。
b1 b2 g1 g2 g3 g4 g5
b3
b4 二分图存在完全匹配的必要条件是： 任意k个男生至少认识k个女生。 这个条件也是充分的。
返回 结束
M
7.5 .1 匹配的基本概念
[匹配]设G是无环图，M E(G)，M≠ ，如果M中任意
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两条边在G中均不相邻， 则M称为G的一个边独立集或匹
配。 [最大匹配]若对图G的任何匹配，均有|M |＜|M|，则 称M
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7.5 .1 匹配的基本概念
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例
最大匹配
完美匹配
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7.5 .1 匹配的基本概念
[边覆盖] 一个图 G=(V, E) ，E´E，若G的任
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一个顶点都与E´ 中的边关联，则称E´ 覆盖G， 或称E´ 为G的一个边覆盖（集）。
[极小边覆盖] E´ 是G的一个极小边覆盖 E´为G的一个边覆盖(E1)(E1E´E1不 是G的边覆盖) 若在E´集中去除任何元素E´不再是覆盖集